几代习题课若当形参考答案

1、第 3 次课参考Exercise 1 设 是实数域上 3 维线性空间 V 的一个线性变换，它关于 V 的某个基的矩阵是63 241 210 5 3求 的极小多项式 m(x)，并将 m(x) 在 Rx 内分解为两个首项系数为 1 的不可约多项式的乘积：m(x) = m1(x)m2(x)；令 Wi = V|mi() = 0, i = 1, 2，证明：Wi 是 的不变子空在每一个子空间 Wi 中选取一个基，凑成 V 的基，使得 关于这个基的矩阵里只出现 3 个非零元素。解：间，并且 V = W1 W2；(1) 计算 的特征多项式，得到 fA() = ( 2)(2 + 1)，从而可以知道特征多项式与极

2、小多项式的不可约因子集相同极小多项式为：mA(x) = (x 2)(x2 + 1)故 m1(x) = x 2, m2(x) = x2 + 1。(2) W1, m1() = m1() = 0，即 W1，故 W1 是 的不变子空间。同理可证，W2 也是 的不变子空间。下面来证 V = W1 W2：已知存在 u(x), v(x) 使得 u(x)m1(x) + v(x)m2(x) = 1，即：Bezout 不等式u()m1() + v()m2() = V，上式两边同时对 作用，得到： = u()m1() + v()m2()又有：m2() (u()m1() = u()m() = 0m1() (v()m2

3、() = v()m() = 0故有：u()m1() W2，v()m2() W1。所以 W1 + W2，即 W1 + W2 = V。又对于任意的 W1 T W2， = = u()m1()+v()m2() = 0，TWW = 0所以，。12故 V = W1 W2。?2200011 0(3) 因为+ I = 0，所以 A 可以相似于 001。0 1 01需要在 W2 中选取一组基 2, 3，使得 限制在 W2 上的方阵表示?，即 2 = 3, 3 = 2。01为1 0注意到 W2 = Ker(2 + 1)，故只要 2, 3 满足 2 = 3，便有 3 =22 = 2。13所以任取 2 = 1W2，令

4、 3 = 2 = 3W2，再051取 1 = 0 W1。2200可知 关于 (1, 2, 3) 的方阵表示为001。0 1 0Exercise 2 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，试证明存在可对角化的线性变换 和幂零变换 ，使得 = + ,且满足 = 。如果已知 在 V 的某个基下的矩阵是3 1 12 2 12 20试求出 和 ，使得 = + 。解：设 在 V 的某个基下的矩阵是 A，特征多项式为f () = ( 1)n1 ( s)ns则存在可逆方阵 P ，使得 P 1AP = diag(A1, A2, . . . , As)，其中 Ai 为对应特征根 i 的若当块，阶数为 ni,

5、 i = 1, 2, . . . , s。令 D = P diag(1I, 2I, . . . , sI)P 1，N = P diag(A1 1I, A2 2I, . . . , As sI)P 1， 并设 D 所对应的线性变换为 ，N 所对应的线性变换为 ，则 可对角化。令 n = max(n1, n2, . . . , ns)，则 Nn = 0，即 是幂零变换。通过它们的定义，显然有 = + ，且 = 。3 1 1给定方阵 A = 2 2 1，计算得 | = ( 2) (2 1)。I A2 2011 = 1 对应的特征向量为0， = 2 对应的特征向量只有1。2211解方程 (A 2I)x

6、 =1 ，得到 x = 1。211 1 12 0 0于是 P =1 1 0 ， 的方阵表示为 P 0 2 0 P 1， 的方2 1 20 0 10 1 0阵表示为 P 0 0 0 P 1。0 0 02Exercise 3 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，举一个 5 阶矩阵为例，说明 的 r( n) 维不变子空间的一般方法。解：n 维复线性空间 V 上的线性变换 一定有 n 个特征根， 设它在基 1, 2, , n 下的矩阵是上三角阵 A = (aij)，其中 aij = 0，若 i j，则 L(1, 2, , r) 就了 V 的一个 r 维不变子空间。这是因为(b11+ +brr)

7、 = (b1a11+ +bra1r)1+(b2a22+ +bra2r)2+ +brarrr又若当型即可。就是一类特殊的上三角阵，所以只需找一组基化成若当标准例： 在基 1, 2, , n 下的矩阵为1 11 23 21 2A =1通过观察，可以得出 L(5) 为一维不变子空间，L(1, 2), L(3, 4) 为二维不变子空间，L(1, 2, 5), L(3, 4, 5) 为三维不变子空间，L(1, 2, 3, 4)为不变子空间，V 为五维不变子空间。Exercise 4 试证明满足 Am = I 的 n 阶矩阵 A（其中 m 是某个正整数）相似于对角矩阵。证明：注意到 Am I = 0， 即

8、 xm 1 是化零多项式。又 xm 1 = 0 是没有重根的，而 A 的极小多项式可以整除 xm 1，即 A 的极小多项式的根必为 xm 1 = 0 的根，所以 A 的极小多项式没有重根。故 A 可以对角化。定理 4.24Exercise 5 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换， 在基 1, 2, , n 下的矩阵是 A。(1) 怎样求包含 1 的最小不变子空间？(2) V, 6= 0，怎样求包含 的最小不变子空间？举一个 4 阶矩阵的例子，算一下。解：(1) 设 V0 是包含 1 的不变子空间，则必有 A1 V0, A21 V0, 。因而 L(1, A1, , An11) V0。又

9、k n, Ak 必可由 1, A1, 线性表出，所以 L(1, A1, , An11) 就是包含 1 的最小不变, An11子空间。实际上，取 1, A1, , An11 的一个极大线性无关组来表示即可。(2) 与上面的方法类似，但是要首先写出 在 1, 2, , n 下的坐标，然后再计算 1, A1, , An11。例：变换 在10111111 =, =, =, =1020314100013下的矩阵是1111111A = 04131令 =则首先要写出 在 , , , 下的坐标，2123411125123717然后计算 A =A =A =，2，3，2512000由于 , A, A2 线性无关而

10、 , A, A2, A3 线性相关，故包含 的最小不变子空间为 L(, A, A2)。Exercise 6 设 N1 和 N2 都是 3 阶幂零矩阵。证明 N1 与 N2 相似当且仅当它们有相同的极小多项式。如果 N1 和 N2 都是 4 阶幂零矩阵，上述论断是否还成立？为什么？举出两个 4 阶幂零矩阵说明之。证明：(1) 因为 3 阶幂零矩阵的若当只有以下三种形式： 0 0 001 00 1 00 0 0,00 0,0 0 10 0 000 00 0 0它们对应的最小多项式分别为 x, x2, x3 互不相同。所以 N1 与 N2 有相同的最小多项式 它们具有相同的若当它们相似(2) 4 阶

11、时，上面的结论就不成立了。0 100 10例： 和 是两个不同的若当，00 100但它们具有相同的最小多项式 x2。Exercise 7 设 6 阶复方阵 A 的特征多项式为 f (x) = (x 2)2(x + 3)4，极小多项式为 m(x) = (x 2)(x + 3)3，试写出 A 的 Jordan 标准形。如果极小多项式为 m(x) = (x 2)(x + 3)2，A 的 Jordan 标准形有几种可能的形式？解：(1) A 的 Jordan 标准形为223131334(2) 共有两种可能：22223131和3333133Exercise 8 设2000006 1 1A = 0010001求可逆矩阵 P 和 Jordan 标准形 J ，使得 P 1AP = J 。解：0010