探讨傅里叶变换的物理意义

1、探讨傅里叶变换的物理意义朱岳军（琼州学院电子信息工程学院，通信工程，三亚，572022）摘要:在现代物理教学中傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处 理中有着广泛应用。本文介绍了傅里叶变换的概念、性质、发展情况和它在物理学 中的应用及其意义。关键字:傅里叶函数变换应用意义1.引言在自然科学和工程技术上为了把复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常把 所谓变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变 换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算转化为代 数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要 的方法之一。傅里叶变

2、换时积分变换常见的一种变换，它是一种对连续时间函数的积分变 换，即通过某种积分变换，把一个函数化成另一个函数，同时还具有对称形式的逆 变换。它通过对函数的分析达到对复杂函数的深入和研究。它既能简化计算，如求 解微分方程，化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义，在物理学中有着广 泛的应用，因此它是处理物理问题的一个必不可少的运算工具。2.傅里叶变换的 提出1804年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始 从事热流运动的研究。他在题为热的解析理论一文中，发展了热流动方程，并 且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示 的想法。他的这种

3、思想，成为了傅里叶变换的起源。3.傅里叶变换的分析方法傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数） 或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体 形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照 时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组 这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度 去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的 周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那

4、么给定 一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要 几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变 换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明 看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。 幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义，频域的相位与 时域的相位有关系吗，信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号 的频率成

5、正比关系。傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是 说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模 型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信 号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相 位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正 弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中 的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿 轮转速、齿数与

6、杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。4.图像 傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯 度如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低;而对 于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率 值较高傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信 号，则其傅立叶变换就表示f的谱从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函 数转换为一系列周期函数来处理的从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转 换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域换句话说，傅立叶变换的物 理意

7、义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图 像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样 得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由 z=f（x,y）来表示由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度 上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对 应关系为什么要提梯度，因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是 图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系， 即使在不移频的情况下也是没有傅立叶频谱图上我们看

8、到的明暗不一的亮点，实际 上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可 以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱这样通过观察傅立叶变换 后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中 暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相 对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分 明且边界两边像素差异较大的对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是 以原点为圆心，对称分布的将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以 外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副 带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中 心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过 在该位置放置带阻滤波器消除干扰。5.结论：傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的 关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠 加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。它是一种特殊的积分变 换，