电路一课件章电阻的一般分析方法

1、第3章 电阻电路的一般分析方法 重点： 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 结点电压法3.1 电路的图求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构。 首先，选择一组合适的电路变量（电流和/或电压），根据KCL和KVL及元件的电压电流关系（VCR）建立该组变量的独立方程组，即电路方程，然后从方程中解出电路变量。对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。 学习图论的初步知识，以便研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量。 一图的基本概念 电路的“图”：是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合。每条支路的两端都连到相应的结点上。支路用线段描述

2、，结点用点描述。注意：在图的定义中，结点和支路各自为一个整体，但任意一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不等于同时把它连接的结点也移去，所以允许有孤立结点存在。若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去。例:有向图：赋予支路方向的图。电流、电压取关联参考方向。无向图：未赋予支路方向的图。3.2 KCL和KVL的独立方程数 一KCL的独立方程数 列KCL方程：12345612340=0 ?对所有结点都列写了KCL方程，而每一条支路与两个结点相联，并且每个支路电流必然从其中一个结点流出，流入另一结点。因此，在所有KCL方程中，每个支路电流必然出现两次，一次为正，一次为负。上述4个

3、方程中任意3个为独立的。1234561234结论: 对于具有n个结点的电路，任意选取(n-1)个结点，可以得出(n-1)个独立的KCL方程。相应的(n-1)个结点称为独立结点。 二KVL独立方程数 路径：从一个图G的某一结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图G的一条路径。连通图：当G的任意两个结点之间至少存在一条支路时，G为连通图。回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点都相异，这条闭合的路径为G的一个回路。 例： 有13个不同的回路，但独立回路数要少于13个。对每个回路列KVL方程，含有非独立方程。 回路1（1，5，8）回路2（2，

4、6，5）回路3（1，2，6，8）利用“树”的概念寻找一个电路的独立回路组。 12345867树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和部分支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。 例:12345867135865867245735862586树支：树中包含的支路为树支。连支：其它支路为对应于该树的连支。树支与连支共同构成图G的全部的支路。树支数：对于一个具有n个结点的连通图，它的任何一个树的树支数必为（n-1）个。 连支数：对于一个具有n个结点b条支路的连通图，它的任何一个树的连支数必为 (b-n+1)个。 由于连通图G的树支连接所有结点又不形成回路，因此，对于图G的任意一个树，加入一个连支后，

5、形成一个回路，并且此回路除所加的连支外均由树支组成。 单连支回路：由树支和一条连支所形成的回路。 单连支回路也称为基本回路 。 每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其他基本回路中。独立回路数：对于一个结点数为n，支路数为b的连通图，其独立回路数为（b-n+1）。 基本回路组：由全部单连支形成的基本回路构成基本回路组。 基本回路组是独立回路组。根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程。平面图：如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图为平面图。否则为非平面图。 平面图的全部网孔是一组独立回路，故平面图的网孔数为其独立回路数。 2b法：对一个具有b条支路和

6、n个结点的电路，当以支路电压和支路电流为电路变量列写方程时，总计有2b个未知量。根据KCL可以列出（n-1）个独立方程、根据KVL可以列出（b-n+1）个独立方程，根据元件的VCR又可以列出b个方程。总计方程数2b，与未知数相等。 例b=3 , n=2 , l=3变量：I1 , I2 , I3a: -I1-I2+I3= 0b: I1+I2-I3= 0KCL一个独立方程KVLI1R1-I2R2=E1-E2I2R2+I3R3= E2I1R1+I3R3= E1二个独立方程规律： KCL: n - 1R1E1I1R2E2I2I3R3ba3.3 支路电流法 (branch current method

7、)支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程。KVL: b - (n - 1)由上式可得KVL方程的另一形式，即任一回路中，电阻电压的代数和等于电源电压的代数和，即：式中Rkik为回路中第k个支路电阻上的电压，和式遍及回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取“”号。右边usk为回路中第k支路的电源电压（也包括电流源引起的电压）。在取代数和时，当usk与回路方向一致时前面取“”号；当usk与回路方向不一致时取“+”号；列出支路电流法的电路方程的步骤：注意：电阻电压和电源电压表达式中符号的选取。（1）选定各支路电流的参考方向；（2）根据KCL对（n-1）个

8、独立结点列出方程；（3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路的绕行方向，列出用支路电流表示的KVL方程。3. 5 回路电流法 (loop current method)基本思想：以假想的独立回路电流为独立变量。各支路电流可用回路电流线性组合表示。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2支路电流可由回路电流求出回路电流分别为il 1， il 2 列写KVL方程电阻压降电源电压升绕行方向和回路电流方向取为一致i1= i l 1i2= i l 2- i l 1i3= i l 2回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方程分析电路的方法。回路1：R1 il1-R2(il2 - il1)

9、-uS1+uS2=0回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0得(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2支路电流i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2i1= i l 1i2= i l 2- i l 1i3= i l 2R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻）令R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻）R12= -R2 ， R21= -R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻）uSl1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和uSl2= uS2 回路2中所有电压源电压升的代

10、和(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2R11=R1+R2 自电阻R22=R2+R3 自电阻R12=-R2 ， R21=-R2 互电阻R11 il 1+R12 il 2= uSl1R21 il1+R22 il2= uSl2推广到 l 个回路其中Rjk: 互电阻+ : 流过互阻两个回路电流方向相同- : 流过互阻两个回路电流方向相反0 : 无关R11il1+R12il2+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2i

11、l2+ +Rll ill=uSllRkk: 自电阻(为正) ，k =1 , 2 , , l 网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。例1用回路法求各支路电流。解(1) 设独立回路电流(顺时针)(2) 列 KVL 方程(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4对称阵，且互电阻为负(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路电流： I1=IaIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2

12、R3+_ US4R4I4(5) 校核选一新回路 U =E?, I2=Ib-Ia, I3=Ic-Ib, I4=-Ic 将VCVS看作独立源建立方程； 找出控制量和回路电流关系。4Ia-3Ib=2-3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2 4Ia -3Ib = 2 -12Ia+15Ib-Ic = 09Ia -10Ib+3Ic= 0U2=3(Ib-Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A例2用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V3U2+3U212 12I1I2I3I4I5IaIbIc将代入，得各支路电流为：I1= Ia=1.19A解得* 由于含受控源，方程的系

13、数矩阵一般不对称。, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92AI4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=-0.52A例3列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法1(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+Ui_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+* 引入电流源的端电压变量* 增加回路电流和电流源电流的关系方程方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。I1=IS-R2I1+(R2+

14、R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I31、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。列写回路电流方程的步骤：2、按通式写出回路电流方程。注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压升的代数和。3、电路中含有受控源时应按独立源来处理；含有无伴电流源时，可使该电流源仅仅属于一个回路。R11il1+R12il2+ +R1l ill= uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill= uSl2Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill= uS

15、ll (2) 列KCL方程： iR出= iS入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3un1un2-i3-i4+i5=-iS3012(1) 选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。3. 6 结点电压法 (node voltage method)例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4un1un2012例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3整理，得令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为G11

16、un1+G12un2 = isn1G21un1+G22un2 = isn2标准形式的节点电压方程un1un2012例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4G11=G1+G2+G3+G4 节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和un1un2012例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上 所有支路的电导之和 G12= G21 =-(G3+G4) 节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号un1un2012例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5

17、R2R5R3R4iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和一般情况G11un1+G12un2+G1nunn=iSn1G21un1+G22un2+G2nunn=iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn=iSnn其中Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 iSni 流入节点 i 的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij = Gji 互电导，等于接在节点i与节点 j 之间的所支路的电导之和，并冠以负号。(n个独立节点)un1un2uS

18、1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-若电路中含电压源与电阻串联的支路：uS1整理，并记Gk=1/Rk，得(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3用节点法求各支路电流。例120k10k40k20k40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5I1=(120-UA)/20k= 4.91mAI2= (UA- UB)/10k= 4.36mAI3=(UB +240)/40k= 5.46mAI4= UB /40=0.546mA各支路电流：解：UA=21

19、.8V UB=-21.82VI5= UB /20=-1.09mA(1) 把受控源当作独立源看 , 列方程(2) 用节点电压表示控制量。例2 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。 u= un1 解12iS1R1R3R2gu+u -试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法1: 设电压源电流变量，列方程方法2： 选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231(G1+G2)U1-G1U2= - I-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0-G4U2+(G4+G5)U3 = I U1-U3 = USU1= US-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0-G2U1-

20、G3U2+(G2+G3+G5)U3=0G3G1G4G5G2+_Us231I例3增加一个节点电压与电压源间的关系1、指定参考结点，其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。列写结点电压方程的步骤：G11un1+G12un2+G1nunn= iSn1G21un1+G22un2+G2nunn= iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn= iSnn2、按通式写出结点电压方程。注意：自导为正，互导总为负的，并注意注入各结点电流的符号。3、电路中含有受控源时应按独立源来处理；含有无伴电压源时可选择该电压源的一端作为参考结点。支路法、回路法和节点法的比较：(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，

21、而独立节点较容易。(3) 回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。支路法回路法节点法KCL方程KVL方程n-1b-n+100n-1方程总数b-n+1n-1b-n+1b(1) 方程数的比较本章小结1、独立的KCL方程数（n1）个2、独立的KVL方程数（ b n + 1）个3、独立回路组树支数（n1）个连支数（bn+1）个单连支回路：一个连支和几个数支构成的回路独立回路组：由所有单连支回路组成的回路组。4、2b法以各支路的电压和电流为求解变量。KVL方程数（ b n + 1）个KCL方程数（ n 1）个VCR方程数（ b ）个（2 b ）个5、支路电流法以各支路的电流为求解变量。各支路电压用支路电流来表示。KVL方程数（ b n + 1）个KCL方程数（ n 1）个（ b ）个列出支路电流法的电路方程的步骤：（1）选定各支路电流的参考方向；（2）根据KCL对（n-1）个独立结点列出方程；（3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路的绕行方向，列出