特选2023-2023江苏高考数学试卷-含答案

1、2023年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全卷总分值160分，考试时间120分钟棱锥的体积，其中为底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上12023年江苏省5分集合，那么 【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。22023年江苏省5分某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取 名学生【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是

2、将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。32023年江苏省5分设，i为虚数单位，那么的值为 【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由得，所以， 。42023年江苏省5分以下图是一个算法流程图，那么输出的k的值是 【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k循环前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5 最终输出结果k=5。52023年江苏省5分函数的定义域为 【答案】。【考点】函

3、数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。62023年江苏省5分现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。72023年江苏省5分如图，在长方体中，那么四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm

4、它也是中上的高。 四棱锥的体积为。由82023年江苏省5分在平面直角坐标系中，假设双曲线的离心率为，那么的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。92023年江苏省5分如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，假设，那么的值是 【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。 ，。 记之间的夹角为，那么。 又点E为BC的中点，。 。 此题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。102023年江苏省5分设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中假设，那么的值为 【答案】。【考点】周期

5、函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。 联立，解得，。112023年江苏省5分设为锐角，假设，那么的值为 【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。122023年江苏省5分在平面直角坐标系中，圆的方程为，假设直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，那么的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】圆C的方程可化为：，圆C的圆心为，半径为1。由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即。即为点到直线的距离，解得。的最大值是。132

6、023年江苏省5分函数的值域为，假设关于x的不等式的解集为，那么实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即， 。 解得，。不等式的解集为，解得。142023年江苏省5分正数满足：那么的取值范围是 【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为：。 设，那么题目转化为：满足，求的取值范围。 作出所在平面区域如图。求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 那么，要使它最小，须。 的最小值在处，为。此时，点在上之间。 当对应点时， ， 的最大值在处，为7。 的取值范围为，即的取值范围是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

7、出文字说明、证明过程或演算步骤152023年江苏省14分在中，1求证：；2假设求A的值【答案】解：1，即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 2 ，。 ，即。 由 1 ，得，解得。 ，。【考点】平面微量的数量积，三角函数的根本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】1先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 2由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和1的结论即可求得A的值。162023年江苏省14分如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点点 不同于点，且为的中点求证：1平面平面； 2直线平面【答案】证明：1是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。lb yl

8、fx 又平面，平面平面。 2，为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由1知，平面，。 又平面平面，直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】1要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由是直三棱柱和证得。 2要证直线平面，只要证平面上的即可。172023年江苏省14分如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标1求炮的最大射程；2设在第一象限有一飞行物忽略其大小，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由

9、【答案】解：1在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 2，炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，不考虑另一根。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和根本不等式的应用。【解析】1求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用根本不等式求解。 2求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。182023年江苏省16分假设函数在处取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点。是实数，1和是函数的两个极值点1求和的值；2设函数的导函数，求的极值点；3设，其中，求函数的零点个数【答案】解：

10、1由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 2 由1得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。3令，那么。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由2 可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由1知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在1 , 2 内有唯一实根。同理，在一2 ，一I 内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在一1，1 内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当

11、 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i 当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】1求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 2由1得，求出，令，求解讨论即可。 3比拟复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。192023年江苏省16分如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率1求椭圆的方程；2设是椭圆上

12、位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点Pi假设，求直线的斜率；ii求证：是定值【答案】解：1由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。2由1得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。 i由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。 ii证明：，即。 。 由点在椭圆上知，。 同理。 由得， 。 是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】1根据椭圆的性质和和都在椭圆上列式求解。 2根据条件，用待定系数法求解。202023年江苏省16分各项均为正数的两个数列和满足：，1设，求证：数列是等差数列；2设，且是等比数列，求和的值【答案】解：1，。 。

13、。 数列是以1 为公差的等差数列。2，。 。 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 假设那么，当时，与矛盾。 假设那么，当时，与矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 假设，那么，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的根本性质，根本不等式，反证法。【解析】1根据题设和，求出，从而证明而得证。 2根据根本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。数学(附加题)21选做题此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答假设多做，那么按作答的前两题评分解答时

14、应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4 - 1：几何证明选讲 2023年江苏省10分如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结求证：【答案】证明：连接。 是圆的直径，直径所对的圆周角是直角。 垂直的定义。 又，是线段的中垂线线段的中垂线定义。 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等。 等腰三角形等边对等角的性质。 又为圆上位于异侧的两点， 同弧所对圆周角相等。 等量代换。【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的

15、点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。 此题还可连接，利用三角形中位线来求证。B选修4 - 2：矩阵与变换 2023年江苏省10分矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值 【答案】解：，。 ，。 矩阵的特征多项式为。 令，解得矩阵的特征值。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。C选修4 - 4：坐标系与参数方程 2023年江苏省10分在极坐标中，圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程【答案】解：圆圆心为直线与极轴的交点，在中令，得。 圆的圆心坐标为1，0。 圆经过点，圆的半径为。 圆经过极点。圆的极坐标方

16、程为。【考点】直线和圆的极坐标方程。【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。D选修4 - 5：不等式选讲 2023年江苏省10分实数x，y满足：求证：【答案】证明：， 由题设。 【考点】绝对值不等式的根本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤222023年江苏省10分设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1求概率； 2求的

17、分布列，并求其数学期望【答案】解：1假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 共有对相交棱。 。 2假设两条棱平行，那么它们的距离为1或，其中距离为的共有6对， ，。 随机变量的分布列是：01 其数学期望。 【考点】概率分布、数学期望等根底知识。【解析】1求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。 2求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出两条棱平行且距离为1和两条棱异面，因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。232023年江苏省10分设集合，记为同时满足以下条件的集合的个数：；假设，那么；假设，那么。1求；2求的解析式用表示【

18、答案】解：1当时，符合条件的集合为：， =4。 ( 2 任取偶数，将除以2 ，假设商仍为偶数再除以2 ， 经过次以后商必为奇数此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知假设那么为偶数；假设，那么为奇数。于是是否属于，由是否属于确定。设是中所有奇数的集合因此等于的子集个数。当为偶数 或奇数时，中奇数的个数是。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】1找出时，符合条件的集合个数即可。 2由题设，根据计数原理进行求解。2023年普通高等学校统一考试试题江苏卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1函数的最小正周期为 【答案】【解析】T| eq f (2,

19、) | eq f (2,2) |2设为虚数单位，那么复数的模为 【答案】5【解析】z34i，i21，| z |53双曲线的两条渐近线的方程为 【答案】【解析】令：，得4集合共有 个子集【答案】8【解析】2385右图是一个算法的流程图，那么输出的的值是 【答案】3【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n46抽样统计甲、乙两位设计运发动的5此训练成绩单位：环，结果如下：运发动第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892那么成绩较为稳定方差较小的那位运发动成绩的方差为 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：方差为：7现在某类病毒记作，其中正整数

20、，可以任意选取，那么都取到奇数的概率为 【答案】【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，那么都取到奇数的概率为8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，那么 【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：249抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) 假设点是区域内的任意一点，那么的取值范围是 【答案】2， eq f(1,2) 【解析】抛物线在处的切线易得为y2x1，令z，y eq f(1,2

21、) x eq f(z,2) 画出可行域如下，易得过点(0，1)时，zmin2，过点( eq f(1,2) ，0)时，zmax eq f(1,2) yxOy2x1y eq f(1,2) x10设分别是的边上的点，假设为实数，那么的值为 【答案】 eq f(1,2) 【解析】所以， eq f(1,2) 11是定义在上的奇函数。当时，那么不等式 的解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，)【解析】做出 ()的图像，如以下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x0的图像。不等式，表示函数y的图像在yx的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)。xyyxyx24 xP(

22、5,5)Q(5, 5)12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，假设，那么椭圆的离心率为 yxlBFOcba【答案】【解析】如图，l：x，c，由等面积得：。假设，那么，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：，所以，离心率为：13在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点，假设点之间的最短距离为，那么满足条件的实数的所有值为 【答案】1或【解析】14在正项等比数列中，那么满足的最大正整数的值为 【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，那么：，得：a1 eq f(1,32) ，q2，an26n记，那么，化简

23、得：，当时，当n12时，当n13时，故nmax12二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本小题总分值14分，1假设，求证：；2设，假设，求的值解：1ab(coscos，sinsin)，|ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2，所以，coscossinsin0，所以，2，22得：cos() eq f(1,2) 所以，带入得：sin()sincos eq f(1,2) sinsin()1，所以，所以，16本小题总分值14分如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点求证：1平

24、面平面；2证：1因为SAAB且AFSB，所以F为SB的中点又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EFAB，EGAC又ABACA，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面2因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCBC，AF平面ASB，AFSB所以，AF平面SBC又BC平面SBC，所以，AFBC又ABBC，AFABA，所以，BC平面SAB又SA平面SAB，所以，17xyAlO本小题总分值14分如图，在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上1假设圆心也在直线上，过点作圆的切线， 求切线的方程；2假设圆上存在点，使，求圆心的横坐 标的取值范围解：1联立：，得圆心为：C(3，2)设切线

25、为：，d，得：故所求切线为：2设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a eq f(12,5) 18本小题总分值16分如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，1求索道的长；2问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？3为使两位游客在处互

26、相等待的时间不超过分钟，CBADMN 乙步行的速度应控制在什么范围内？解：1如图作BDCA于点D，设BD20k，那么DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m2设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如下图那么：AM130 x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000，其中0 x8，当x eq f(35,37) (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短3由1知：BC500m，甲到C用时： eq f(1260,50) eq f(126,5) (min)假设甲等乙3分钟，那么乙到C用时： eq f(126,5) 3 eq f(141,5) (min)，在BC上用时： eq f(86,5) (min)