2016数学竞赛训练题((上册))

1、Xa Sin- x0函数与极限1 设函数 y = y(x)满足 y (x-l)/ + x2 y = ex9 且 /(O) = 1. 若 Iinl( Y一 A = ,贝IJa =.TO Jr2己知/W = 在X = F处为无穷间断成在*1处(-u)(-/?)为可去间断点,则3.求 IIm l.zlfYT叫X G-I丿y 其中 60l.4、设当x0时，方程Zlv + 4 = 1有且仅有一个解，求&的取值围求 Iim丄1,.,0 H i- 4厂 6、设/(x)在上连续a.b,证明：Iim J(x)dx = f (0)o TOC o 1-5 h z * j0r+-2证明：/(X)在上连续a9b,因而有

2、界，所以3f0,当xea,b时有()M o 7己知Iim lnl + . ZeV) I = 4,则 Iim =.x* 2, -1I-COSXWO X设函数 f,y)可 微，A,(,y) = -Cy),(O,) = l ,且 满足Iim7!XW +丄)H/(o0Il宀求 f(x9y).r,+ r9求曲线U而严 。)的斜渐近线方程。设函数/(X)在匕甸上连续，在(小二阶可导，且f(a) = f(h)=O 9岸(G) 0,广9) 0,证明：3it2e(a,b)9 使得八弘)v0J(z)0Ih设函数/(x)满足/(D = 1,且对XnI时，有z(x) = , Lz ,证明：2 +广(X) Iim /(

3、)存在；(2) Iim f(x) +-Q-OCX4 12、设f(u,v)具有二阶连续的偏导数，且满足马+马=2,用变董代换U=XytOU v心尹T)将/(心变成gg),试求满J*詰的常数忡。13.设/(a) =,试讨论f()在人 =()处的连续性。Iimx n-X+ 0 x014.设/(.y) = ，_-V tan(x2 + y2),(x, y) (0,0)X2 +X,证明：/(x,y)在(0,0)处0, g) =(0,0)可微，并求15求吧国4宀岭分析:由于刘册厂皿茁)”為FfE Z(VrT7-e-) = I(E-Ii-I)Jt-O】+ 1)xy则/(J) =.4.已知函数H = H(LZ)

4、可微且 di = (2-2yz)dx+(y2-2xz)dy(2-2xy)dz9 则U(X.y,z)5 已知函数 f(x) = 3x-l-22()d 则/=6 / (Sin2 x) = tan2 X9 求/(X)-x) = xf,(x)-f 求/(x)设/(“)在-OOV V+oo可导，且 /(O) = O,又f nx) = ；O 19设y=m血处的改变量为giz心)3-0)，wo)，求血)10.由方程 Je,r +(x0)确定y是X的函数，求dxy = y()是由X- Xt dt = O确定的函数, 12、设函数“ =f(9y9z)是可微函数，如果:丄 =X y求/皿),证明：u 仅为 r =

5、 5a2 + y2 + Z2的函数。中值定理与导数的应用设函数f(t力可微，且对任意,y,t,满足f(txjy) = t2f(x,y)f (l,-2,2)是曲 面: Z = /(x,y)的一点，求当(1，-2) = 4时，在点化处的法线方程.设连续函数/(“)在R处可导,且/(0) = 0, f,(0) = -3o试求：！型 /(J/ +)F + z，)dYdydZ.yz*i3、设函数/(X)在(l,+)上可微，且对.丫1满足广(X)= : T (M 证明：lim(x) + x) = +oo. a-() + 1)x4、设二元函数u(x,) = 75 -2 -y2 + Xy ,其定义域为 D =

6、y)X2 + y275)设点M(Xo,y0)求过点MO的方向向量7,使笔为最大，并记此最大值Ol MO为 gCWo)设MU在D的边界 + y2 -Xy = 75上变动，求g(0,y0)的最大值.5、设函数/(x)在aib 连续，且存在Ce(CKh)使得/(c) = 0,证明：*w(,b)使 得m=Z(IWIfOob-a6设 Dr: X2 + y2 r29 则 Iim f /卞 cos(xy) dxdy =.ro广第7.设函数f (x,y) = ex(ax + b-y2),若/(-1,0)为/(x,y)的极大值，求常数,b满足 的条件。八(1盼)证明方程2” =2 + 1有且仅有三个实根9、设函

7、数./V)在a,b 有连续的导数，且存在CW(M),使得f (c) = Ot证明：存在 e(a,b)t 使得 f() = -Z r- z i-tnb_a设在上半空间zo上函数有连续的二阶偏导数，X IlX =2x+y + z + xru =x+y(r), =x + + z(r),其中 r = yxr+y2+z2 9Iim (r)存在， Iim【心,y,z)=O, divgrudu(x, y) = 0,求心,y,z)的表达rO*(x,y.z)(O.O.O式。设/(X)在,+oo)上二阶可导，且 f(a) 0, f,(a) 时，/(x)0,证明在(“,P),方程/U) = 0有且仅有一个实根.设

8、/(x,y)有二阶连续偏导数，g(x.y) = Jexx2+y2),且/(x,y) = -x-y + o(x-l)2+r),证明g(x,y)在(0,0)取得极值，判断此极值是 极大值还是极小值，并求出此极值.设f (Jd在0,1上连续，f (0)= f (1),求证：对于任意正整数R,必存在 ye0,l,使 /(xn) =/(xn+1).H设/(Q有连续的二阶导数/(0) = /(0) = 0,且/%)0,求Iinl也,其中/心)是ZL/力曲线y = JXX)在点(XJM)处切线在X轴上的截距.15、(10分)讨论是否存在0,2上满足下列条件的函数，并阐述理由：f 在 0,2上有连续导数， f

9、 (0)= f (2)=1,I fx) l 1, f(x)dx.不定积分与定积分2.设曲线是平面X-y+ z = l与球面x2 + y2 + z2=的交线，试求积分3、求最小的实数C,对于连续函数/，总有(7)JC f(x)dx立。4、设球l -.x2 + y2+z2R2和球+z22(0)的公共部分体积为寻时， 求l的表面位于2的部分5,的面积.5、设/() = jrr,(A-l),求曲线/(X)与X轴所围封闭图形的面积S.6、是否存在0,刃上的连续函数f(x),使得：L I/W 与 Jo (x)-COS6x- 立7、设在上半平面D = y)y9函数/(x,y)具有连续偏导数，且对任意的/()

10、都有/(兀ty) = 2f(x,刃证明：对D的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有8、设函数/(x)在区间0,1上具有连续导数，/(0) = 1,且满足其中 Df = (x,y)yt-xiOxt (0j,)do11.设 /(x)为周期函数，证明：f(aCOSx+bSinx)dx = 2 fc2 +b2 Sinx)dx o12.设: 2 + y2 + z2 1,计算( + p + dvo13、求曲线积分 / =(y2+z2)dx+(z2+x2)dy + (-2+2)cU ,其中厶是球面 X2 + y2 + z2 = 2bx与柱面X2 + y2 = 2ax(Qab)的交线在zXO的部分，L的方向规

11、 定为：从Z轴正向往下看曲线厶所围成的球面部分工总在厶的左边。设。是由锥面z = 7+y2与半球面z = yR2-x2-y2围成的空间区域，工是。的 整个边界的外侧，试求：Adydz lzd + ZdVdVV微分方程1】求微分力程(- - j)arctan = x的通解。 dxX2】设方程= r7(-)的通解为 一J (C为任意常数)，求函数血)。X yIn CT3 求微分方程 yt CoS y = (1 + COSXSin M)Sin y 的通解。4】求微分方xy, Jr(Ly = - XI满足l ,1 = 1的解UCr,),其中为常数，并证明：Iini讥、a)足 ,o-0方程y, = 1 + 的解。5设二阶线性微分方程yay,+by = cex均为常数)有特解y = ex( + xe2x) t求此方程的通解.6、设函数 Jl(X) = (-1)+, - 1-2 (n X(0) = O, y,(0) = - 的特解，求广义积分J1 miny1(),y2(x)dx.求方程(2 + X)2 y + (2 + x)y, + y = Xln(2 + x)的通解.&求以函数V(X) = xv+3Sin3x为特解的四阶常系数齐次线性微分方程的表达式和通解。9解微分方程卅+ (;