二次函数知识点解题方法计划

1、二次函数知识点及解题方法计划二次函数知识点及解题方法计划二次函数知识点及解题方法计划WORD格式.二次函数知识点及解题方法总结一、二次函数见解：1二次函数的见解：一般地，形如2yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数a0，而b，c能够为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数2yaxbxc的构造特色：等号左边是函数，右边是对于自变量x的二次式，x的最高次数是2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的张口越小。2的符号张口方向极点坐

2、标对称轴性质a向上0，0yx0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的轴0增大而减小；x0时，y有最小值0a向下0，0yx0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的轴0增大而增大；x0时，y有最大值02yaxc的性质：上加下减。的符号张口方向极点坐标对称轴性质a向上0，cy轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c0a向下0，cy轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c02yaxh的性质：左加右减。的符号张口方向极点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的a0向上h，0X=h增大而减小；xh时，y有最小

3、值0a向下h，0X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值00专业资料整理WORD格式WORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.2yaxhk的性质：的符号张口方向极点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的a向上h，kX=h0增大而减小；xh时，y有最小值ka向下h，kX=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k0三、二次函数图象的平移4.平移步骤：方法一：将抛物线分析式转变为极点式2yaxhk，确立其极点坐标h，k；保持抛物线2yax的形状不变，将其极点平移到h，k处，详细平移方法以下：向上(k

4、0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左平移|k|个单位(h0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2【或下(k0)h)2+k位方法二：2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变为yax2bxcmyaxbxc2）：yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc（或yaxbxcm2（或ya(xm)2b(xm)c）变为ya(xm)b(xm)c5.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”归纳成八个字“左加右减，上加下减”专业资料整理WORD格式四、二次函数22yaxhk与yaxbxc的比较从分析式上看，22yaxhk与y

5、axbxc是两种不同样的表达形式，后者经过配方能够获取前222者，即yaxb4acb，此中b4acb2a4ah，k2a4aWORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数22yaxbxc化为极点式ya(xh)k，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，此后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们采用的五点为：极点、与y轴的交点0，c、以及0，c对于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次

6、函数2yaxbxc的性质b2b4.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x，极点坐标为b4acbx时，y2a，当2a2a4a2b时，y随x的增大而增大；当xb时，y有最小值4acb随x的增大而减小；当2a2a4axb2b5.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x，极点坐标为b4acbx时，y2a，当2a2a4a2b时，y随x的增大而减小；当xb时，y有最大值4acb2a2a4a随x的增大而增大；当x七、二次函数分析式的表示方法6.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；7.极点式：2ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；8.两根式：yaxxxx（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横

7、坐标）.()()12注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但其实不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的分析式才能够用交点式表示二次函数解析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0专业资料整理WORD格式当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大WORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定

8、张口方向，a的大小决定张口的大小6.一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴在a0的前提下，b，即抛物线的对称轴在y轴左边；当b0时，02ab，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，02ab，即抛物线对称轴在y轴的右边当b0时，02a在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即b，即抛物线的对称轴在y轴右边；当b0时，02ab，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，02ab，即抛物线对称轴在y轴的左边当b0时，02a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点ab的符号的判断：对称轴xb在2ay轴左边则ab0，在y轴的右边则ab0，归纳的说就是“左同右异”常数项c当c0时

9、，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是唯一确立的二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，平常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的分析式必然依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简单一般来说，有以下几种状况：9.已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；WORD格式可编写版专

10、业资料整理WORD格式.8.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；9.已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达11.对于x轴对称22yaxbxc对于x轴对称后，获取的分析式是yaxbxc；22yaxhk对于x轴对称后，获取的分析式是yaxhk；12.对于y轴对称22yaxbxc对于y轴对称后，获取的分析式是yaxbxc；22yaxhk对于y轴对称后，获取的分析式是yaxhk；13.对于原点对称22yaxbxc对于原点对称后，获取的分析式是yaxbxc；22yaxhk对于原点对称后，获取的分析式是ya

11、xhk；14.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180）222yaxbxcb；yaxbxc对于极点对称后，获取的分析式是2a22yaxhk对于极点对称后，获取的分析式是yaxhk对于点m，n对称22yaxhk对于点m，n对称后，获取的分析式是yaxh2m2nk依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必然不会发生变化，所以a永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依据题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确立其对称抛物线的极点坐标及张口方向，此后再写出其对称抛物线的表达式WORD格式可编写版专业资料整理WORD

12、格式.十、二次函数与一元二次方程10.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点状况）：一元二次方程22axbxc是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特别状况.0图象与x轴的交点个数：b24ac0时，图象与x轴交于两点当Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，此中的x1，x2是一元二次2方程200ABxx21b4ac.axbxca的两根这两点间的距离a当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1当a0时，图象落在x轴的上方，不论x为任何实数，都有y0；2当a0时，图象落在x轴的下方，不论x为任何实数，都有y011.抛物线2yaxbxc的图象与y轴必然订交，交点坐标为(0，

13、c)；二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式；依据图象的地点判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的地点，要数形联合；二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，乞降已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数相关的还有二次三项式，二次三项式2(0)x的二次函axbxca自己就是所含字母数；下边以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次三

14、项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.图像参照：专业资料整理WORD格式WORD格式可编写版专业资料整理y=2x2y=3(x+4)2WORD格式.y=2x2y=x2x2y=2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2xx2y=-2y=-x2y=-2x2y=2x2+2y=2x2-4y=3x2y=3(x-2)2专业资料整理WORD格式y=-2(x+3)22y=-2(x-3)y=-2x2WORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.十一、二次函数

15、的应用刹车距离二次函数应用何时获取最大收益最大面积是多少二次函数察看要点与常有题型13.察看二次函数的定义、性质，相关试题常出此刻选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2mm2y(m2)x2的图像经过原点，则m的值是综合察看正比率、反比率、一次函数、二次函数的图像，习题的特色是在同向来角坐标系内察看两个函数的图像，试题种类为选择题。2bx如图，假如函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数1ykx的图像大概是（）yyyy110 xo-1x0 x0-1xABCD察看用待定系数法求二次函数的分析式，相关习题出现的频次很高，习题种类有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3

16、)，(4,6)两点，对称轴为5x，求这条抛物线的分析式。3察看用配方法求抛物线的极点坐标、对称轴、二次函数的极值，相关试题为解答题，如：已知抛3物线2yaxbxc（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是2（1）确立抛物线的分析式；（2）用配方法确立抛物线的张口方向、对称轴和极点坐标.察看代数与几何的综合能力，常有的作为专项压轴题。【例题经典】专业资料整理WORD格式由抛物线的地点确立系数的符号例1（1）二次函数2cyaxbxc的图像如图1，则点M(b,)在（）aWORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（2）已知二次函数y=ax

17、2+bx+c（a0）的图象如图2所示，?则以下结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只好取0.此中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个(1)(2)【谈论】弄清抛物线的地点与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的要点例2.已知二次函数y=ax1，0)，且1x12，与y轴的正半轴2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x的交点在点(O，2)的下方以下结论：abO；4a+cO，此中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D4个答案：D用待定系数法求二次函数分析式例3.已知：对于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数

18、y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的极点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形挪动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym21）写出y与x的关系式；2）当x=2，3.5时，y分别是多少？3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形挪动了多长时间？求抛物线极点坐标、对称轴.1x2+x-5例5、已知抛物线y=2+x-522WORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.1）用配方法求它的极点坐标和对称轴2）若该抛物线与x轴的两个交点为

19、A、B，求线段AB的长【谈论】此题（1）是对二次函数的“基本方法”的察看，第（2）问主要察看二次函数与一元二次方程的关系例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于(,0)Ax，B(x2,0)两点1(x1x2，交y轴负半轴于C点，且知足3AO=OB)(1)求二次函数的分析式；(2)在二次函数的图象上能否存在点M，使锐角MCOACO若?存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明原因(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1x2=30又x1O，x1O30A=O，Bx2=-3x1x1x2=-3x12=-3x1102=1

20、.xx1=-1x2=3点A(-1，O)，P(4，10)代入分析式得解得a=2b=3二次函数的分析式为y-2x2-4x-6(2)存在点M使MC0ACO解：点A对于y轴的对称点A(1，O)，直线A，C分析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的范围为-1x0或Ox5当点M的横坐标知足-1xO或OxACO12的图象经过点A（c，2），专业资料整理WORD格式例7、“已知函数yxbxc2求证：二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了没法鉴其他文字。1）依据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数分析式？若能，请写出求解过程，WO

21、RD格式可编写版专业资料整理WORD格式.并画出二次函数图象；若不可以够，请说明原因。2）请你依据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适合的条件，把原题增补圆满。谈论：对于第（1）小题，要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数分析式，就要把本来的结论“函数图象的对称轴是x=3”看作已知来用，再联合条件“图象经过点A（c，2）”，就能够列出两个方程了，而分析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数分析式。对于第（2）小题，只需给出的条件能够使求出的二次函数分析式是第（1）小题中的分析式就能够了。而从不同样的角度考虑能够增添出不同样的条件，能够考虑再给图象上的一个随意点的坐标，能够给

22、出极点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。12的图象经过点A（c，2），图象的对称轴是x=3，得解答（1）依据yxbxc212bcc2,c2b3,122b3,解得15.12所以所求二次函数分析式为32.yxx图象以以下图。2122）在分析式中令y=0，得x320，解得x135,x235.x2所以能够填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0).5令x=3代入分析式，得,y2125所以抛物线32yxx的极点坐标为(3,),225专业资料整理WORD格式所以也能够填抛物线的极点坐标为)(3,等等。2用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCD（E如图），此中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积WORD格式可编写版专业资料整理WORD格式.【评析】此题是一道代数几何综合题，把相像三角形与二次函数的知识有机的联合在一同，能很好察看学生的综合应用能力同时，也给学生研究解题思路留下思了空维间例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系以下表：x（元）152030?y（件）252010?若日销售量y是销售价x的一次函