插值法-第二次程序题

1、v1.0可编辑可修改插值法题目1:对取门酊函数双其二1/(1 +为/2在区间卜1,1作下列插值逼近，并和&的图像进行比较,并对结果进行分析。用等距节点Xi -10. 1,020,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。用节点Xicos( 20,122。)，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点Xi-10. 1,020,绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点Xi-10. 1,020,绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析:(1)用等距节点Xi-1ih , h0. 1,020,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下:%计算均

2、差x=-1:1;n=length(X);syms zfor i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endN=zeros(n,n);v1.0可编辑可修改N(：,l)=y;for j=2:nfor k=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endendfor t=1:nc(t)=N(t,t)end%勾造插值多项式f=N(1,1);for k=2:na=1;for r=1:(k-1)a=a*(z-x(r);endf=f+N(k,k)*a;end%乍图a=-1:1;n=length(a);for i=1:nb(i)=1/(1+25

3、*a(i)*a(i);endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b, k ,a,fx, r);v1.0可编辑可修改n=length(c);for i=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i);end fx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d, k ,c,fx, r);结果与分析:由下图可以看出，在区间,上，插值多项式可以很好的逼近被插信函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Rungel象。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项r fE D()Rn(X) 3 n 1(

4、X)不趋近零。插值多项式不能收敛到被插信函数。(n 1)!v1.0可编辑可修改2i1(2) 用节点Xi cos( 故 ),(i0,1,2,20),绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clear;%耐直点for i=1:21x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);for i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endv1.0可编辑可修改%构造插值基函数syms z;temp=1;for i=1:nlx=1;for j=1:nif i=jtemp=(z-x(j)/(x(i)-x(j);lx=lx*temp

5、;endendl(i)=lx;end洲值多项式l=l;L=y*l;%乍图a=-1:1;n=length(a);for i=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i);endfx=subs(L,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b, k ,a,fx, x r);v1.0可编辑可修改结果与分析:如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较 接近原函数，没有出现 Runge现象。I 1- “2二-T I 1一 WU. ，二 -，- -IXLm-Runge函数XL插值多项式Newton插值多项式 TOC o 1-5 h z IIIIIIL

6、 *4J.&420口上OJ主要原因是其多项式误差为f(x)-L(X)卜” o2n(n1)!用等距节点Xi -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的分段线性插值函数 的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:1;n=length(x);syms zfor i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endv1.0可编辑可修改% 勾造分段线性插值多项式for i=1:n-1l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1)% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)/(x(i+1)-

7、x(i)*(z-x(i)end%乍图for i=1:n-1a=x(i):x(i+1);f=subs(l(i),z,a)plot(a,f, k)hold onend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Rung觇象v1.0可编辑可修改利用线性插值多项式的误差估计:用等距节点Xi -1 ih , h 0.1,0 i 20,绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:1;n=length(x);syms z;for i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endfor i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i

8、);v1.0可编辑可修改endfor i=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);for i=1:nG(i,i)=2;endfor i=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);for i=2:n-1d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsyms u v;u=diff(1/(1+25*v*v),v);a=subs(u,v,x(1);b=s

9、ubs(u,v,x(n);d(1)=(y(2)-y(1)/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1)*6;d=d;M=inv(G)*d;v1.0可编辑可修改for i=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)A3/+M(i+1)*(z-x(i)3/+(y(i)-M(i)*6)*(x(i+1)-z)/+(y(i+1)-M(i+1)*6)*(z-x(i)/;endfor i=1:n-1a=x(i):x(i+1);f=subs(s(i),z,a);plot(a,f, x r)hold onend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如

10、下：可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。10v1.0可编辑可修改题目2:对函数:COS7TX0在区间-1,1作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。用等距节点Xi-1 ih , h0. 1,020,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。2i1用节点Xicos( ), ii420,122。），绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。用等距节点Xi-1 ih , h0. 1,020,绘出它的分段线性插值函数的图像。11v1.0可编辑可修改用等距节点Xi -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的三次自然样条插值函数

11、的图像。程序及分析：(1)用等距节点Xi -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%十算均差x=-1:1;n=length(x);syms z;y=zeros(1,n)for i=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:ny(i)=0;endN=zeros(n,n);N(:,1)=y;for j=2:nfor k=j:n12v1.0可编辑可修改N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-

12、j+1);endendfor t=1:nc(t)=N(t,t);end%勾造插值多项式f=N(1,1);for k=2:na=1;for r=1:(k-1)a=a*(z-x(r);endf=f+N(k,k)*a;end%乍图v=linspace(-1,0,50);u=sin(pi*v);plot(v,u, k )hold onv=linspace(0,25);u=cos(pi*v);plot(v,u, k)hold onv=linspace,1,10000);u=0;plot(v,u, k)13v1.0可编辑可修改hold ona=-1:1;fx=subs(f,z,a);plot(a,fx,

13、r );结果与分析：等距节点20次Newtonffi值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上, 插值多项式精度都不是很高。出现了 Rung觇象。on14v1.0可编辑可修改2i1 用节点 Xicos(F)，(i 0,122。)，绘出它的 20 次 Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;力求插值节点for i=1:21x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);y=zeros(1,n);for i=1:nif x(i)y(i)=0;else15v1.0可编辑可修改y(i)=cos(pi*x(i);endend%插值

14、基函数syms z;temp=1;for i=1:nlx=1;for j=1:nif i=jtemp=(z-xQ)/(x(i)-xQ);lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end洲值多项式l=l;L=y*l;%乍图a=-1:1;fx=subs(L,z,a);plot(a,fx, x r);结果与分析：16v1.0可编辑可修改如下图所示，使用Chebyshe0项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newtok雨值多项式接近原函数，没有出现Rung觇象用等距节点X -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的分段线性插值函数 的图像。Matlab程序如下：clc;clea

15、r;x=-1:1;n=length(x);syms z;for i=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:1517v1.0可编辑可修改y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:ny(i)=0;end%勾造插值多项式for i=1:n-1l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1);% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)/(x(i+1)-x(i)*(z-x(i);end%乍图for i=1:n-1a=x(i):x(i+1);f=subs(l(i),z,a);plot(

16、a,f, x r)hold onend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Rung觇象但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。18v1.0可编辑可修改用等距节点Xi -1 ih , h 0. 1,0 i20,绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:1;n=length(x);syms zfor i=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15y(i)=cos(pi*x(i);end19v1.0可编辑可修改for i=15:ny(

17、i)=0;endfor i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);for i=1:nG(i,i)=2;endfor i=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);for i=2:n-1d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsyms u v;u=diff(sin(pi*v),v);20v1.0可编辑可修改a=subs(u,v,x(1);b=0;d(l)=(y(2)-y(l)/h(l)-a)/h(l)*6;d(n)=(b-(y(n)-y