必修四简单的三角恒等变换

1、简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用2了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.sin a1 + cos a二知识梳理自主学习知识点一半角公式及其推导(1)a /1 - cos aS : sin 2 V 2C：2:cos 苧 士 -11+ COS fl/2(3):tan 0= 士21-C

2、OS a (有理形式).sin a思考 1 试用 cos a 表示 sin - cos - tan -2 2 2答案 / cos a= COS1 2s2 = 12sin22, sin2一二21 cos a=12 a 2si n2 cos a,2a /-cos a= 2cos 2 1,a cos 221 + COS a2o .1 + cos acos a=.2sin - 2a_2 tan -2ncos 2,1 COSa1 cos a21 + cos -1 + COSa , atan厂士 思考2证明tan奁念厂瓷aa:1 + cos a (无理形式)证明sin a1+ cos aa a2sin t

3、zcos 刁22=tan2cos2 寸-tana sin a 匚2=2同理可证tan1 COS a1 + cosa sin a 1 COS &tan21 + cos a sin a .知识点二 辅助角公式 asin x + bcos x = a2 + b2 sin(x + ab使 asin x+ bcos 乂=寸 + b2sin(x+ 妨成立时，cos 0=J=22, sin (j)二三，其中 0 称为 pa + b 2pa + b辅助角，它的终边所在象限由点(a, b)决定辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.思考1将下列各式化成Asin(3x+册的形式，其中A0, 30, |则s

4、in x 一 cos x= . 2sin x一n；,3sin x+ cos x = 2sin x + n. 3sin x cos x = 2sin x 6 ；sin x + ,3cos x = 2sin xn；sin x . 3cos x = 2sin x 思考2请写出把asin x+ bcos x化成Asin( wx+妨形式的过程.答案 asin x+ bcos x=ifa2+ b2：a2+ b2sin x+一 a2； b2cos x=；a2 + b2(sin xcos (j) + cos xsin 妨=.a2+ b2sin(x +Qttb, a(其中 sin 匚一a?* b?， cos A

5、a2+ bz) 题型一半角公式的应用例 1 i |.知 cos 二三.1： 亦 sin cos r 撮 2I tan J解costana为第四象限角,a-2为第二、四象限角.a 3 aasin2=，cos- =_,6 tang =_T，当2为第二象限角时，a当2为第四象限角时，asing.3T，acos2=atang 二跟踪训练1 TOC o 1-5 h z 4 5 n,0A0已知 sin 0= 5 且一 03 n 求 cos 3 和tan 2.5 n解/ sin 0= , 03 n2cos 0=_ p 1 - sin2 0=5.由 cos 0= 2cos20_ 1 得 cos20= 1 +

6、cos 0 15.5n J 34 22 2 -X2xn 2 sin- 22 sn-XcoS -X1 + cos x所以原等式成立.跟踪训练2证明:+ cos 4x 1cos2/ *cosjA = tan x. + cos 2x 1 + cos x 22sin 2xcos 2x cos 2x cos x证明左边=22cos 2x 1 + cos 2x 1 + cos xsin 2x cos x 2sin xcos x cos x1 + cos 2x 1 + cos x 2cos x 1 + cos xx x2si n ； cos 7sin x22=tan 2 二右边 所以原等式成立.题型三与三角

7、函数性质有关的综合问题n, n例 3 已知函数 f(x) = cos(- + x)cos(3 x), g(x) = 3 31 I-,2sin 2x 4.求函数f(x)的最小正周期;x+ sin x)f(x)=(2COS x ysi n x)(2cos1 + cos 2x 3 1 cos 2x123.2=4cos x4sin x=h(x)取得最大值的x的集合.求函数h(x) = f(x) g(x)的最大值，并求使=?COS 2x 4,2n_ Ttf(x)的最小正周期T=2 =.1 1(2)h(x)= f(x) g(x)= Acos 2x Asin 2x2 n=-Acos(2x + 4),当2x+

8、2knk Z)时，h(x)有最大值今.n此时x的取值集合为x|x=kn-, k Z.8跟踪训练3如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使 OAB的周长最大?解设/AOB= a, OAB的周长为I,贝ij AB = Rsin a, OB = Rcos a, I = OA+ AB + OB=R+ Rsin a+ Rcos aa=R(sin a+ cos a) + R2Rsi n( a+ n) +R.n n 3 n-0 an二 4a+ 47 I 的最大值为 2R+ R= ( 2+ 1)R,. n n n n此时，a+； =R 即 p a=, 4 24即当a二时， OAB的周长

9、最大.学以致用构建三角函数模型，解决实际问题例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中 AST是半径S 为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场，使矩形的一个顶点 TOC o 1-5 h z P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方f厂形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.一分析解答本题可设/ FAB = B并用B表示PR、PQ.根据S矩形PQCR= PQ PR列出关于B的函数式，求最大值、最小值.Tff解如图连接AP，设/ FAB= 0(0 90，延长RP交AB于M ,则 AM = 90cos 0 MP = 90s

10、in 0 所以 PQ= MB = 100 90cos 0, PR= MR MP = 100 90sin 0 所以 S 矩形 PQCR= PQ PR=(100 90cos 0(100 90sin 0 =10 000令 t = sin 0+ cos 0(1 tw . 2),t21贝I sin 9cos 0= 29 000(sin 0+ cos 0) + 8 100sin 0cos 0t2 一 1所以 S 矩形 PQCR= 10 000 9 000t + 8 100 2-108100 10 2 =-A(t- 9)+ 950.故当t=6时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t=y/2时，S矩形PQ

11、CR有最大值（14 050- 9 000羽）2.式与tan a相等的是（下列各）sin a1 COS 2 a s 1 + COS 2 a 1 +COS asin a1 COSA. 2 a1 COSD.V6 C.写奖333. 函数f（x）= 2sin |sing-的最大值等于（）3B.2C.D. 2na32n 化简4.已知1 + sin a_ 1 + COS a 1 COS a1sin a.1 + COS a+、 ： 1 COS a5.求函数 f(x)= 3sin(x+ 20 + 5sin(x+ 80的最大值.尹课时精练、选择题1 已知180 a360。则cos寸的值等于（）1 COS1 cos

12、2aB. 1 + cos aC.；-D.，: T2 使函数 f(x)= sin (2x+ 0)+ ,3cos(2x+ 0)为奇函数的nB.3n eq0的一个值是（）2ndE4a(3 n 2 n)3.已知 cos a- 5,则sin a等于（A 血A. 104 2 （4.函数f（x）= sin x+ cos x的最小正周期是（nB.n5.设 a = |cos 6 -23sin 6 ,b = 2sin 13 c6s 13c=cos 50 2，则有（B. abcD. bcacbaC. acba芦41 + tan，若cos a= 5，a是第三象限的角，则等于（1 tanAB.2二、填空题7.函数f(x

13、) = sin(2x一2yf2sin2x的最小正周期是 .&若 8sin a+ 5cos 3= 6,8cos a+ 5sin 3= 10,贝 U sin( a+ 3 =9.已知等腰三角形顶角的余弦值为_ 5,则底角的正切值为210. sin 20 + sin 80 sin 40 的值为三、解答题11 .已知函数 f(x)= 4cos xsin x+ 言丁一 1.求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间一 n, n上的最大值和最小值.12一 I sin3 sin a=n2 a0,答案Aca1 + cos a 61 cos 2 a解析23-sin 2 a 2sin acos aCOS答案Dan.

14、x3sin 2解析 T f(x)= 2sin 寸 sin2cos 2一八cos答案A.3 . 2x 3 .icos X-2 sin x sin ?- 2 sin x?3 .11. n 11-f (x)max - 2-2 sin x + qCOS x 2 - sin 匚 + 62aa 2(sin + cos - J解原式-_ a _ aa a 2sin f 22.2|cos 刁一2|sin2|cos ； |+ ,2|sin3 n n a 3 n n p 20 4,-C0S 20.原式二asin 2 +a 2cos 2aa 2sin cos 2.a、a aa3asi2 s0s2+ cos 2:co

15、ssin 2 cossin2=2cos a.20, sin 2 = 解析由题意知a(3 n n)答案B解析 T f(x)= sin4x + 1 sin2x4222=sin x sin x+ 1 = sin x(1 sin x) + 12 21 + sin a 1 5 cos a 245二、填空题答案 n厂 厂解析 / f( x)=-?sin 2x一?cos 2x一 . 2(1 一 cos 2x)sin a 35.310.答案-解析 原式=sin 2 3 420 + sin(60 丰20 sin(60 -206厂=sin 220 + (sin 60 cds 20 + cos 60 sin 20

16、) sin 60 cos 20 cos 60 sin 20 )+， sin 2x+ cos 2x 2=1 sin xcos x = 1 ;sin 2x41 cos 4x 17=1 4 x 2=8cos 4x+ 8,n n. .T =42答案C解析a= sin 30 cos 6 cos 30 sin 6 = sin(30 6) = sin 24 : b = 2sin 13 cos13 = sin 26 ,c= sin 25 ,ny=sin x在0,耳上是递增的./ acb.答案A解析是第三象限角，cos a=-5, 血 =-3asi n?1 +aa a a1 + tan八 coSq cos?+

17、sin八aa a a1 tan八si n八cos八 sin八1acos?a a a a cos? + sin? cos? + sin?a a a a cos? sin? cos? + sin?丁=或=兀=-2sin 2x+2cos 2X- 2 = sin(2x+-.2,47答案80解析 / (8sin a+ 5cos 俨+ (8cos a+ 5sin 3 =64 + 25+ 80(sin acos 3+ cos osin 3 =89 + 80sin( a+ = 6 + 10 = 136.80sin( a+ 3)= 47,47 sin( a+ 3 = 80.答案3 TOC o 1-5 h z 4

18、1解析 设该等腰三角形的顶角为a则cos a=4,底角大小为2(180 - a.七n 1 - cos(180 一 m)9(180(X)心心sin(180c- oc |524 ta+ cos a 2 + 5=.3sin 2x+ 2cos3x 1 = ,3sin 2x+ cos 2x=2sin 2x+ n ,所以f(x)的最小正周期为n.n n 一n n 2 n(2)因为一 6w xw 4,所以一 6 三 2x+ 63.n n于是，当2x+ 6 = 2,即x =f(x)取得最大值2;n n nr当 2x+6= 6, 即 x=12.解/ sin | - ik 3尸f(x)取得最小值一1.sin a53=|sina+八cos a= =sin o (cos 3+ cos osin 3+ sin a申 sin a+os a=.(n 4-sin 计 6 二5.nn n n2 A0 , 366,a - -COS a=a+ 6 6COS=cos a+ n