2011级武科大数值计算基础复习指导及试卷

1、数值计算基础课程复习指导第 1 章 绪论1、有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的概念；2、有效数字与绝对误差，有效数字与相对误差的关系；3、如何判断有效数字，如何估算绝对误差限与相对误差限。第 2章 解线性方程组的直接法1、直接法解线性方程组的思想，如何使用高斯消去法、列选主元消去法、全选主元消 去法；2、直接三角分解法解线性方程组的思想，矩阵的LU分解的条件，如何对矩阵进行LU 分解。如何使用直接三角分解法、平方根法和追赶法法解线性方程组。第 3章 代数插值法与最小二乘法1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性；2、如何使用待定系数法、拉格郎日插值法、牛顿插值法构造插值多

2、项式及确定余项；3、1.(x), (x)的性质及应用；i4、差商的定义、性质及应用；5、如何使用分段线性插值及确定余项；5、如何使用待定系数法构造埃尔米特插值多项式及确定余项；6、如何使用曲线拟合的最小二乘法进行线性拟合。第 4章 数值积分与数值微分1、机械求积与代数精度的概念，如何判定一个求积公式的代数精度；2、如何通过代数精度法与插值法构造求积公式；3、牛顿-柯特斯公式的定义及构造的方法，牛顿-柯特斯系数的性质；如何使用梯形公 式、辛卜生公式、柯特斯公式计算定积分及确定余项；4、复化求积法；如何使用复化梯形公式、复化辛卜生公式、复化柯特斯公式计算定积 分及余项；5、变步长求积法的思想，如何

3、使用变步长梯形求积法和龙贝格求积法计算定积分；6、高斯求积公式的定义及构造方法；7、数值微分的数值方法，如何使用二点公式、三点公式计算微分。第 5章 常微分方程数值解1、常微分方程数值解法的基本思想，欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法公式的构造方法；2、如何使用欧拉方法、后退欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法计算常微分方程；3、局部截断误差与方法精度的定义，如何判断一个方法是几阶方法。第 6 章 逐次逼近法1、向量范数与矩阵范数的基本概念，常用的向量范数与矩阵范数，矩阵谱半径的基本 概念。2、如何使用简单迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，如何判断迭代法的收敛性。3、如何使

4、用简单迭代法、牛顿迭代法解非线性方程。如何判断迭代格式的收敛阶。数值计算基础考试样卷一、单项选择题(每小题3分，共 15分)，则称 x 有 4 位有效数字.1、数值x的近似值x*=0.1215X10-2，若满足x - x* (A) 1 X 103(B) 1 X 10422(C) 1 X 105(D) 1 X 106222、若A为矩阵A的k阶主子矩阵，则矩阵A满足()时，则存在唯一单位下三角阵kL和上三角阵R，使A = LR。(A)|A|丰 0 (B)某个|Ap 0(C)|A丰 0(k= l,.n-1) (D)|A丰 0(k = 1,n)kkk3、 通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满足

5、(),则P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值 y0=0(B) 所有一阶均差为 0(C) 所有二阶均差为 0(D) 所有三阶均差为 04、 牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足()，则解的迭代数列一定收敛。(A) f (x ) f(x )00 0 0 0(C) f(x0)f(x0)0(D) f(x0)f(x0)R5、改进欧拉法的平均形式公式是( )y = y + hf (x , y )pkkk y = y + hf (x , y ) ckk py = y + hf (x , y )pkk +1 ky = y + hf(x,y )yk+1=2( yp+yc)ckk+1 p

6、yk+1=| (yp + yc )y = y + hf (x , y )pkkky = y + hf(x ,y )ckk +1 py = y (y + y )k+12 P cy = y + hf (x , y )pkk k y = y + hf (x , y )ckk+1 py =(y +y)k+12 P c二、填空题(每小题3 分，共15分) TOC o 1-5 h z 1、 sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是.2、设f(x)可导，求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是3、设 f (x) = 2x2 + 4，则 f 1，2 =.4、在区间【a，b上的插值型求积公式系数A ,A

7、，,A满足A + A + b A =,01n01n5、 二阶龙格一库塔法的局部截断误差 .三、解答题(每小题10分，共50分)1、用列主元消去法解线性方程组23-22、用牛顿法求恋6的近似值，取初始值x0 = 2，进行二次迭代。3、已知有y=f(x)的函数表如下x123y137求其代数插值多项式并给出其余项。4、给出数值积分公式：1J hf (x)dx 沁 Af (-h) + Bf (- h)- h3确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少?5、用欧拉法解初值问题，要求保留 4 位有效数字。y二 x + y(0 x 1, h 二 0.5)、y(0)=1四、综合题

8、(每小题10 分，共20分)1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为hy = y + 一f (x ,y ) + f (x ,y )，并证明该方法是二阶方法。 n+1n 2n nn+1 n+12、设l0(x)是以n+1个互异点/。叫七,x”为节点的拉格朗日插值基函数 ( x - x )(x - x ).(x - x )l (x)=丄2no (x 一 x )(x 一 x ).(x 一 x )01020n试利用牛顿插值法证明：T /、 v （x 一 x ）（x 一 x ）（x 一 x ）（x 一 x ）（x 一 x ）.（x 一 x ）l （x） = 1 +0 +01+ +01”一0（

9、x 一 x ）（ x一 x）（ x一 x ）（ x一 x）（ x一 x ） . . x.（ 一 x ）01010201020 n数值计算基础考试样卷 TOC o 1-5 h z 参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共 15分） 1、D2、D 3、C4、B5、D二、填空题（每小题3 分，共15分） 111、X10-2+1 =X10-1 = 0.006252 x 816x f (x )2、 x = x kkk+1k1 f( x )k_ 2405 -3119_31195 2405220322033、64、 b-a5、 O(h3)三、解答题(每小题10 分，共50分)1 、解：2r3+ 3 r131

10、193119142414201r3 + /0133338225909003377 J8分2分回代得x 二 529,x 二 4,x 二一11322122、解：f (x)二 x2 6, f(x)二 2x,申(x)二 x f (x)帀二一(x + 6), x2n +116= (x + ) 2 n x n7分3分1(5+12)=492 2520=2.450 x = 2 0165x 二(2 +)二 二 2.5001 2223、解法一： 待定系数法3 分）设 P (x)二 a + a x + a x 2,则2 0 1 2a + a + a = 10 1 2 a + 2a + 4a = 3 n012a +

11、3a + 9a = 7012a=10v a 二11a=12即 P (X)= X 2 X + 1 2法二：Lagrange插值法P (x) = y l (x)2 i ii=0=(x 2)(x 3) i * (x 1)(x 3) 3 * (x 1)(x 2)=(1 2)(1 3) (2 1)(2 3)，(3 1)(3 2)（1 分）（3分）（3分）（1分）法三： Newton 插值法xiyi一阶差商二阶差商112323741N (X) = f (X ) + f X ,X (X X ) + f X ,X ,X (X X )(X X )2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 =1 + 2( x 1)

12、+ (X 1)( X 2)3 分）（4 分）=X2 X + 1余项为R2（x）=广尹-(X 1)( X 2)( X 3)63 分）4、 解令f （X） = 1, X时，该公式精确成立，则2分A + B = 2h4分1A+B=031分131hf (X)dx 沁-hf (h) + - hf (- h) h223令 f (X) = X 2左= I hx2dx =-h2 h 3，右=1 h - (-h)2 +323 h - (1 h)223令 f (x)二 x3左=I hx 3 dx 二 0 ,-h右=丄 h - (- h)3 + - h -(丄 h)3 二一4 h 4 丰左22391分即公式的代数精

13、度为2 次1 分5、解：使用欧拉法计算公式为y 二 y + hf (x , y ) n+1nn n6分2分二 y + h(x + y )nnn二(1 + h) y + hxnn二 1.5 y + 0.5 xnny = 1.5 y + 0.5 x100=1.5 x 1 + 0.5 x 0=1.500y =1.5y +0.5x2 1 1=1.5x1.5000+0.5x0.52分= 2.500四、综合题(每小题10 分，共20分)1、解：hy(x 丿-y(x ) = f x+1 f (x,y(x)dx 沁f (x ,y(x ) + f (x y(x .)nnn+1n+1hn y = y +-f(x

14、,y ) + f(xn 1 n 2nn1, y 1 )n +1n+14分阶次的证明：即证 y(x ) - y = O(h3)n 1n 1 TOC o 1-5 h z y(x ) = y(x ) + y(x )h +丄h2 + O(h3)(1)2 分n +1nn2hy = y + - f (x , y ) + f (x , y )n + n 2 n nn +n +令 y = y(x )，右边的 y = y(x)nnn +n +hy = y(x ) + - f (x , y(x ) + f (x, y(x )n +1n 2 n nn+1n +1=y(x ) + - y(x ) + yx ) + 丄 h + O(h2) n 2 n n 1=y(x ) + y(x )h + 丄2 + O(h3) nn2(2)2分(1)(2),得y(x ) y二 O(h3)n +1n +12分2、证明：显然/ (x )二 1, / (x )二 0, / (x ),./ (x )二 00 0 0 12分(x )( x )0 i =00=(x )(x )(x x )(x x )(x x )i001020 k则 0(x )的牛顿插值多项为：x ,x,x = f001ki=02分(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ).(x xN (x)