2022-2023学年人教A版必修第一册 4.5.2　用二分法求方程的近似解 课件（28张）

1、4.5.2用二分法求方程的近似解学习目标1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,培养数学运算的核心素养.2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想的应用,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.知识梳理自主探究师生互动合作探究知识梳理自主探究知识探究1.二分法的定义对于在区间a,b上图象 且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.连续不断f(a)f(b)0 一分为二零点2.二分法求函数零点近似值的步骤师生互动合作探究探究点一二分法的概念解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点

2、两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故选B.例1 下列函数中不能用二分法求零点的是()方法总结判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.针对训练1:(1)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是()A.-2.1,-1B.4.1,5C.1.9,2.3D.5,6.1解析:(1)C中的零点不是变号零点,不能用二分法求.故选C.探究点二用二分法求函数零点的近似值

3、例2 求函数f(x)=x2-5的负零点.(精确度为0.1)解:由于f(-2)=-10,得f(-2)f(-3)0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下零点所在区间中点的值中点函数近似值(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.062 5(-2.25,-2)-2.125-0.484 4(-2.25,-2.125)-2.187 5-0.214 8(-2.25,-2.187 5)-2.218 75-0.077 1由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.方法总结(1)用二分法求函数的近似零

4、点,合理确定初始区间是关键,能够减少二分的次数.(2)二分法是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,并根据所要求的精确度,用此区间的所有值均可表示零点的近似值.(3)使用二分法所具备的条件“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.针对训练2:用二分法求函数y=x3-3的一个正零点.(精确度为0.1)解:由于f(1)=-20,因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表零点所在区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.375(1,1.5

5、)1.25-1.046 9(1.25,1.5)1.375-0.400 4(1.375,1.5)1.437 5-0.029 5(1.437 5,1.5)1.468 750.168 4从表中可知|1.5-1.437 5|=0.062 50.1,所以函数y=x3-3精确度为0.1的零点可取1.5或1.437 5.探究点三 利用二分法求方程的近似解解:设函数f(x)=2x+3x-6,因为f(1)=-10,又因为f(x)是增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间1,2内有唯一的零点,则方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解.设该解为x0,则x01,2,取x1=1.5,f(1.5)1.32

6、80,f(1)f(1.5)0,f(1)f(1.25)0,所以x0(1,1.25);取x3=1.125,f(1.125)-0.4440,f(1.125)f(1.25)0,所以x0(1.125,1.25);取x4=1.187 5,f(1.187 5)-0.1600,f(1.187 5)f(1.25)0,所以x0(1.187 5,1.25).因为|1.25-1.187 5|=0.062 50.1,所以1.187 5可作为这个方程的实数解.例3 证明方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度为0.1)方法总结用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方

7、程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.针对训练3:已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;解:(1)令f(x)=2x+2x-5,因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+21-5=-10,得f(1)f(2)0(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.2

8、5,1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.25,1.312 5)因为|1.312 5-1.25|=0.062 50.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,即方程2x+2x=5的近似解可取1.312 5.学海拾贝典例探究:在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,你至多称几次就一定可以找出这枚假币?解:将26枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那13枚金币里面;将这13枚金币拿出1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面;将这

9、6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;将这3枚金币任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则轻的那一枚即是假币.依据上述分析,最多称4次就可以发现这枚假币.应用探究:物理课上老师拿出长1 m的一根导线,此导线中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,较为麻烦.想一想,怎样工作最合理?要把折断处的范围缩小到34 cm左右,要查多少次?当堂检测C1.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是-3,5,则第三次所取的区间可能是( )A.1,5 B.-2,1C.1,3 D.2,5解析:因为第一次所取的

10、区间是-3,5,所以第二次所取的区间可能为-3,1,1,5;第三次所取的区间可能为-3,-1,-1,1,1,3,3,5.故选C.B解析:因为函数f(x)的图象在(1,2)上连续,且为增函数,f(1)0,则f(1)f(1.5)0,f(1.25)0,则f(1.5)f(1.25)0,所以该零点在区间(1.25,1.5)内.故选B.2.(2022山东济南模拟)在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中,设f(x)=3x+3x-8,f(1)0,f(1.25)0,则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)0,f(0.68)0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为.答案:0.74.在用二分法求方程的近似解时,若初始区间是1,5,精确度要求是0.001,则需要计算的次数是.答案:12备用例题例1 已知函数f(x)在R上单调递增,且对于任意的实数x都有f(f(x)-ex-x)=e-2-4成立,若y=f(x)的零点所在的区间是(n,n+1),则整数n的值为.答案:0例2