全国高中数学函数的奇偶性与周期性

1、2.4 函数的奇偶性与周期性、填空题1设 f ( x)是周期为 2的奇函数，当 0 x1时， f ( x)2x（1 x） ，则 f25511f f2 f2 f 12 2 22.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解析112 2. 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1答案 12 2.设函数 f (x) (x2 1)(x a)为奇函数,则 a=.解析由函数 f (x) (x2 1)(x a)为奇函数得到 f (0)=0, 即(02 1)(0 a) 0. 所以 a=0.答案 03设函数 f ( x)是奇函数且周期为 3，f ( 1) 1，则 f(2 011) 解析 因为 f(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以

2、 f(1) 1，f (2 011) f (3 670 1) f (1) 1. 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。答案 14已知奇函数 f ( x)的图象关于直线 x 2对称，当 x0,2 时，f (x)2x， 则 f ( 9) . 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解析 由题意，得 f (x) f(x)，f(x)f( 4x)，所以 f(9)f(49)f(5) f ( 5) f (1) 2.答案 25.若 y=f(x)是奇函数 ,且在 (0)内是增函数 ,又 f (3)=0, 则 xf (x)0 的解集是. 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解析因为 f(x) 在(0 )内是增函数 ,f(3)=0, 所以当 0 x3 时,f(x)

3、3 时 ,f(x)0.又因为 f(x) 是奇函数,其图象关于原点对称 ,所以当-3x0;当 x-3 时 ,f(x)0.可见 xf(x)0 的解集是 x|-3x0 或 0 x3.答案 x|-3x0 或 0 x36函数 f(x) 是奇函数，且在 1,1 上是单调增函数，又 f( 1) 1，则满足 f ( x) t 22at 1对所有的 x1,1 及 a1,1 都成立的 t 的取值范围是 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解析 由题意，f (x)maxf (1) f ( 1) 1，所以 t 2at11，即 t 2at 0 对 a 1,1 恒成立，t 0 时，显然成立；t 0时，由 t 2a 恒成立，得 t 2；

4、 t 0时，由 t 2a恒成立，得 t 2.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。综上，得 t2 或 t0 或t 2.答案 ( ， 2 0 2 ，)7设 f(x) 是定义在 ( ， )上的奇函数， 且 f(x 2) f(x) ，当 0 x1 时， f(x) x，则 f(7.5) .茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解析由题意得 f(x 4)f(x 2) 2 f(x 2) f(x) ，所以 f(x) 是以 4 为 周期的函数， 所以 f(7.5) f(7.5 8) f( 0.5) f(0.5) 0.5. 鹅娅尽損鹌惨 歷茏鴛賴。答案 0.58已知函数 f(x)log 4(4 x1) kx( kR)是偶函数，则 k 的值为解

5、析 由 f ( x) f( x)，得 log 4(4 x 1) kx log 4(4 x 1) kx，即 2kx 1 4xx 1 1log 4 4x log 4(4 x1) log 44xx，所以 k 2. 籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。答案 129若偶函数 f ( x)在( ， 0)内单调递减，则不等式 f (1)f (lg x)的解集是 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解析 因为 f ( x)是偶函数，所以 f(x)f(| x|) ，于是由 f(1)f(lg x)，得 f (1) 1，即 lg x1，解得 x10.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。答案0，110 (10 ，)铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。10已知函数 f (

6、x)是定义在 R上的奇函数，当 x0 时，f ( x) 1 2x，则不等11式 f ( x) 0，则由 f(x)12 x2，这与 x0时， 2 x1矛x 1 x 1 盾若 x0，则由 f ( x)为奇函数，得 f ( x) f ( x) 1 2x 2，得 2x221，解得 x1. 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。答案 (， 1)11定义在 R上的偶函数 f(x)满足 f ( x1) f ( x) ，且在 1,0 上是增函数， 给出下列关于 f ( x)的判断： 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。f ( x)是周期函数；f(x)关于直线 x1 对称；f(x)在0,1 上是增函数；f(x)在1,2 上是减函数；f(2)

7、 f(0) 其中正确的序号是 解析 f(x1)f(x)，f(x)f (x1)f(x11)f(x2)，f(x)是周期为 2 的函数，正确又f (x2)f (x)f(x)，f(x)f (2x)， yf(x)的图象关于 x1 对称，正确又 f ( x)为偶函数且在 1,0 上是增函数，f(x)在0,1 上是减函数又对称轴为 x1， f(x)在1,2 上为增函数， f(2) f(0) ，故错误，正确 答案 12函数 yf(x)与 yg( x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域 内的任何 x，有f(x)f(x)0，g(x)g(x)1，且当 x0时，g(x)1，则2f x蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。F

8、(x)g2fx x1f (x)的奇偶性为解析因为 f (x) f(x)，g( x)gx所以 F( x) 2f x2f x 2f x f ( x) f (x)g x 111 gx買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。2f x g x g x 1f (x)3由 yf x4 为奇函数，得 f(x) 图象关于点3，0 对称，所以不正确 由3333fx4 fx4 ，得 f(x) fx32 ，又 fx2 f(x)，4所以f (x)2f x g x 2f x 2f x g x 12f x 2f x綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2f ( x) g2 x 1f(x)g2 x 1f(x)F(x)所以 F(x) 是偶函数答案 偶函数13已

9、知定义在 R 上的函数 yf (x) 满足条件 f x2 f ( x) ，且函数 y23f x4 为奇函数，给出以下四个命题：函数 f(x) 是周期函数；函数 f(x)的3图象关于点 4，0 对称；函数 f(x)为 R上的偶函数；函数 f(x)为 R上的4单调函数，其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号 ) 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。3解析由 f x f(x)，得 f ( x3)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。23f x 2 f x2黉碩饨荠龈话骛。答案 32 ，所以 f(x) 是偶函数，正确由正确知不正确 構氽頑二、解答题14设 f(x)exaex(aR，xR) 讨论函数 g( x) xf ( x)的

10、奇偶性；若 g( x)是个偶函数，解不等式 f (x 要使 f(x)在 1 a 2上单调递增，结合 f (x) 的图象(略)知 a 2 1 a21所以1 a 3 故实数 a的取值范围是 (1,3.16. 已知函数 f (x)，当 x，yR时，恒有 f(xy)f (x)f(y)(1) 求证：f ( x)是奇函数；1(2) 如果 xR，f(x)0，并且 f(1) 2，试求 f(x)在区间2,6 上的最值尧 侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解析 (1) 证明：函数 f(x)的定义域为 R， 其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令 yx，f(0) f(x)f(x)令 xy0，f(0) f(0) f(0

11、) ，得 f(0) 0. f(x)f(x)0，得 f (x)f(x)， f(x)为奇函数(2) 法一：设 x，yR，f(xy)f(x)f(y)， f(xy)f(x)f (y)xR，f ( x)0 ， f(xy)f(x)0，f (xy)x，f (x) 在(0 ， )上是减函数2)f (x)解析 (1) a1时， f ( x) exex是偶函数，所以 g(x)xf ( x)是奇函数； a 1时，f (x)exex是奇函数，所以 g(x)xf ( x)是偶函数 a1，由 f ( x)既不是奇函数又不是偶函数，得 g(x)xf ( x)是非奇非偶函数 (2) 当 g( x)是偶函数时， a1，f(x)

12、exex 是 R 上的单调增函数，于是由 f (x 2) f(x) 得 x 2 x，即 x x20，解得 1 x2. 輒峄陽檉簖疖網儂號泶。2x2 2x x 015. 已知函数 f(x)= 0 x 0 是奇函数 .x2 mx x 0(1) 求实数 m的值 ;(2) 若函数 f(x)在区间 1 a 2上单调递增，求实数 a的取值范围 .解析 (1) 设 x0,所以 f (- x)= ( x)2 2( x) x2 2x.又 f ( x)为奇函数 ,所以 f (- x)=- f(x).于是 x0时 f(x) x2 2x x2 mx 所以 m=2.又 f ( x)为奇函数， f (0) 0， f(x)

13、在(， )上是减函数f ( 2)为最大值， f (6) 为最小值1f(1) 2，f(2)f(2) 2f (1) 1， f(6) 2f (3) 2 f (1) f (2) 3.所求 f(x)在区间2,6 上的最大值为 1，最小值为 3. 法二：设 x10， f (x2x1)0. f (x2)f(x1)0 时， 2xx12 2x x12 2，当且仅当 2xx1，即 x 22时取等号 恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。1当 x1，且 m1) 阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。(1) 求 m的值；(2) 求 g(x) 的定义域；(3) 若 g(x) 在 2，2a 的取值范围 氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。解析 (1) f ( x)是奇函数， f(x)f(x)，log a1mxx1 log a1mxx1 log1xmx1 ，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。1mx1 mx x 1 2 2 x11mx，x1(mx) 1，怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。 ( m即(x1)( ax1)1? ax1x1? ax x1，熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。x1