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文档简介
1、第十五讲 向量的线性相关性线性组合与线性表示线性相关与线性无关线性相关与线性表示线性相关性的矩阵判定法小结 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组例如一、线性组合与线性表示向量组 , , , 称为矩阵A的行向量组 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应例 三元线性方程组可以也可以用行向量表示不难看出:第一个方程的三倍,减去第二个方程,就是第三个方程。这种关系也可以用向量来表示:定义3.2线性组合 向量 能由向量组 线性表示并求出一个这样的线性表示。解 当c=0时当c=-1时并求出一个这样的线性表示。解
2、 一个向量满足什么条件可由一个向量组多种表示?一个线性相关与线性无关向量满足什么条件可由一个向量组唯一表示?要回答这些问题,就必须学习向量组的线性相关与线性无关注意定义3.二、线性相关与线性无关则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关证当c=-1时所以所给向量组线性相关解例3.4证定理说明定理向量组 (当 时)线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示证明充分性 设 中有一个向量(比如 )能由其余向量线性表示.即有三、线性相关与线性表示故因 这 个数不全为0,故 线性相关.必要性设 线性相关,则有不全为0的数使 因 中至少有一个不为0,不妨设则有即 能由其余向量线性表示.证毕.推论 向量组线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示。定理3.3证明四、线性相关性的矩阵判定法推论1推论2 当sn时,任意s个n维向量一定线性相关。证解其列向量线性无关,添加分量即为由无关组添加分量仍然无关,可知线性无关。. 向量、向量组与矩阵之间的联系,线性方程组的向量表示;线性组合与线性表示的概念;. 线性相关与线性无关的概念;线性相关性在线性方程组
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