2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验一试卷答案

1、2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案Page 10 of 10第 页共10页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷(一)答案Page of 10第2页共10页北京交通大学20132014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（一）试卷参 考 答 案（本题满分4分）从1到1000这1000个数字中任取一个，求取出的数字能被2或者被3整除的概率.解：设人=取出的数字能够被2或者3整除”，所求概率为P（A）.B= 取出的数字能够被2整除”，C= 取出的数字能够被3整除”.则 A = B = C.由概率的加法公式，得P A ）=P B . C ）=P

2、B P C - P BC1000 1000 1000 1000二.（本题满分8分）n （n 2个人围成一个圆圈，求甲、乙两人站在一起的概率.解：n个人围成一个圆圈，有方法（n-1J种，这是样本点总数.设人=”甲、乙两人站在一起”.甲乙两人站在一起，有2种可能，将甲乙两人排好后，再与其余n-2人，共n-1个“人”排成一个圆圈，有（n-2）!种方法，因此A事件所含的样本 点数为2Ms -2）!.所以PAT（本题满分8分）A报纸的占45%,订有B报纸在某城市中，共发行 3种报纸A, B, C,在这城市的居民中，订有的占35%,订有C报纸的占30%,同时订购 A, B报纸的占10%,同时订购B, C报

3、纸的占5%,同时订购A, C报纸的占8%,同时订购 A, B, C报纸的占3% ,试求下列事件的百分率：只订购A报纸的(4分)； 正好订购两种报纸的(4分).解：设A= 订购A报纸”；B = 订购B报纸”；C = 订购C报纸”.由已知，P(A)=0.45, P(B)=0.35, P(C )= 0.30 , P(AB)=0.10, P(BC)=0.05,P(AC ) = 0.08, P(ABC )=0.03.所求概率为P(ABC ).P ABC =PA-B -C =PA-AB_. C= PA-PAB - C =PA-PAB 一 AC=PA -P AB -P AC P ABC=0.45-0.10-

4、0.08 +0.03 = 0.30. 所求概率为P(ABC G ABCo ABC ).P ABC 一 ABC 一 ABC = P ABC P ABC P ABC =P AB -ABC P AC - ABC P BC - ABC=P AB P AC P BC -3P ABC=0.10 + 0.05 + 0.08 -3 父 0.03 = 0.14 .四.(本题满分8分)将6只颜色分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的球任意地放入6只颜色也分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的盒子中，每个盒子放一球.求球与盒子的颜色都不一致的概率.解：设8= ”球与盒子的颜色都不一致”.A= 黑球放入黑盒”，A2= 白球放入白盒”

5、，A3= 红球放入红盒”，A4 = 黄球放入黄盒”，A5 = 蓝球放入蓝盒，A = 绿球放入绿盒”，6则有 b=AA2A3A4AA6 =u A .所以有 i 1P（B ）=P U A =1 P U A IU H J6二1j PA . p AAj 一 、PAAjAk 、 P AAjAkA“ PAAAAAmP AA2AAAA小:i :m6二16 5!.4!.3!一乙一+ 乙 -乙 一+i 4 6! 1:166! 1.m：j 小女 6!2!6!-Z13 d 小：l ：m-261!16! 6!二1一 C1 5! C626hC33! C6 6!1!1+ 6! 6!1531! 2! 3! 4! 5! 6!

6、 一 144五.（本题满分8分）某地区有甲、乙、丙、丁四家商店，分别有员工80人、90人、60人及150人，其中女员工分别占，1各店员工总数的12213、一和一，现已知一名女贝工辞职了，求这名贝工是乙商店贝工的概率.345解:“辞职员工是甲店员工”“辞职员工是乙店员工”“辞职员工是丙店员工”“辞职员工是丁店员工”“辞职员工是女员工”则所求概率为P（A2B ）.由Bayes公式，得P4B =P A2 P B A?4P P（A P（B A ）i 190 2=380 3段1段2型。150 3380 2 380 3 380 4 380 512=0.2 92 6 82 9.2 6841六.（本题满分8分

7、）设 P（A）=0.4, P（B ）=0.5,P（C ）=0.5 .试分别就下面两种情况，计算概率P（A-C AB= C ）:2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷(一)答案Page of 10B3= 3枚导弹都命中目标”第4页共10页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷(一)答案Page of 10B3= 3枚导弹都命中目标”第4页共10页.随机事件 A、B、C相互独立；.随机事件 A、B相互独立，且随机事件 A、C互不相容；解：A c AC c 、 P(aCc(AB = C P(aC C AB 储(AC C C )P(A C AB u C )= -

8、u = -P(ABuC)P(ABuC)_ P abC p ab - p abc-p ab _ C - P ab p c -p abc(1),随机事件A、B、C相互独立时八c 八P(AB)-P(ABC)P(A -C AB ljC )=匚p(ab )+P(C )-p(abc)PAPB -PAPBPC0.4 0.5 -0.4 0.5 0.51P A P B P C -PAP B P C _ 0.4 0.5 0.5 - 0.4 0.5 0.5 - 6 (2),随机事件A、B相互独立，且随机事件 A、C互不相容时，即AC=0 ,并且由于ABC u AC,所以有ABC=0 .因此，八 c c 、p(ab)

9、p(abc)p(ab)P(A C AB 2 C )=p(ab )+ P(C) p(abc ) p(ab )+ PC )P A P B0.4 0.52P A P B P C 0.4 0.5 0.5 7 七.(本题满分8分)设甲，乙，丙三枚导弹向同一目标射击.已知甲，乙，丙三枚导弹击中目标的概率分别为0.4, 0.5,0.7 .如果只有一枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；如果只有两枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为0.6 ;如果三枚导弹全击中目标，目标被摧毁的概率为 0.9 . 求目标被摧毁的概率(4分).已知目标被摧毁，求恰有两枚导弹击中目标的概率(4分).解：(1)设人=甲导弹命中目标

10、”，A2= 乙导弹命中目标，内导弹命中目标”.B1= 恰有1枚导弹命中目标”，B2= 恰有2枚导弹命中目标”，2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案Page 10 of 10第 页共10页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案Page 10 of 10第 页共10页C= 目标被摧毁” .则有B1 = aAA 2 AlAA32AA2A,所以，P B1 )=P A1A2A3 一 AA2A3 一 A1A2A3: P AAA P AA2A3P NA2A3= PAiPA2PA3pApa2PA3PA1PA2PA3= 0.4 1 -0.5 1 -0

11、.71 -0.4 0.5 1 -0.71 -0.4 1 -0.5 0.7= 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7= 0.36 .又有b2 mA&KuA&AjAaa ,所以，P B2 =P AA2A - A1A2A3 - 2A3=PAA2A3P aAaP a1A2A3=p A1 p a2PA3p A1 p A2PA3p A1PA2PA3= 0.4 0.5 1-0.70.4 1 -0.5 0.71-0.4 0.5 0.7= 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7= 0.41 .又有B3=AA2A3,所以，P B3 = P A1A2A

12、3=P A1 P A2PA3= 0.4 0.5 0.7= 0.14 .因此，由全概率公式，得3P(C )=工 P(Bi Pc B )= 0.36 M 0.2 +0.41 M 0.6+0.14 M 0.9 = 0.444 .i 1所求概率为p（B20.P B2 P C B20.41 0.6P（B2 C =J=0.55 40 540 54P C0.4 44.（本题满分8分）某工厂宣称自己的产品的次品率为 20% ,检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？解：将抽取10件产品看作是一 10重Bernoulli试验，每次试验“成功”的概率为 p = 0.2

13、.设X:抽取10件产品中的次品数，则X B（10, 0.2）所以，PX =3 =C13） 0.23 0.87 =0.2013因此随机事件“ x =3”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率.（本题满分8分）设连续型随机变量X的分布函数为F (x )= A + Barctanx ,(0 x 收试求：.系数A与B （3分）；.概率p-1 X 1 （3分）；.随机变量X的密度函数（2分）.解:.由 lim F(x)=1, lim F(x)=0,得 x J 二二x一J-二二3T= lim F x = lim A B a r c t a n= A 一 B TOC o 1-5 h z x j 二

14、二x j 二二2310 = lim F x = lim A-Barctan=A-B冗A+ B=111解方程组2 ，得A=, B= 22nA B=02.2所以，1F xarctan x二.P，1 : X 1 ；=F 1 -F -111arctan-112a rc t a-iiJI.X的密度函数为f（x）=Fx）=十.（本题满分8分）某地区成年男子的体重X2（以kg计）服从正态分布 N（N,仃）.若已知P(XM70 )=0.5, P(X M60 )=0.25 ,求N与CT的值;如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过65 kg的概率.解:X _ 口 70 口、由已知P(X E70

15、)=P -65H-P(X65H-P(r154i7rh-P=1 ( 0.3376 )=(0.3376 )=0.6631 .设X:该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过65kg的人数.贝XB(5, 0.6631 ).设B = 5人中至少有两人的体重超过65 kg .则 P B )=P X _2 )=1 -P X 1 - P X =0)=P X =11 -C5 x0.66310 x0.33695 -C5 父0.66311 x0.33694 =0.9530 .(已知 中(0.675 ) = 0.75,(0.34 ) = 0.6631 )十一.(本题满分8分)一袋中有5个编号分别为1, 2, 3, 4,

16、 5的乒乓球，从中任意地取出三个，以X表示取出的三个球 中的最大号码，写出 X的分布律和 X的分布函数，并画出其分布函数的图形.解:X的取值为3, 4, 5,并且C5A，px=44C5泵 PX=5=C3C510所以，X的分布律为X345136P101010X的分布函数为F(x)=*1041015Mx（分布函数的图形省略.）十二.（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为九=4的Poisson 分布.现有一种预防感冒的新药,它对于22%的人来讲，可将上面的参数九降为九=1（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数K降为九=3 （称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的

17、.现有一人服用此药一年， 在这一年中,他患了 2次感冒，求此药对他是 疗效显著”概率有多大？解：设Ai= 此药疗效显著, A2= 此药疗效一般, A3 = 此药无效,B =某人一年中2次感冒.由题设，可知如果事件Ai发生，则X服从参数为九=1的Poisson分布；如果事件外发生， 则X服从参数为儿=3的Poisson分布；如果事件A3发生，则X服从参数为九=4的Poisson 分布.因此，由Bayes公式，我们有PAB = 3PA1PBAP P(Ak PB A )I 1= 0.2 2 0 6.0.22 e23 j34 工0.22 e 0.37 e0.41 一e22十三.（本题满分8分）设随机变量X的密度函数为2x八2 i x _20 x nfX仅）=冗,0其它求随机变量Y =sin X的密度函数fY（y ）