奥数一年级教案第11讲火柴棍问题

1、第十一讲 火柴棍问题挑战例题例 1 今日第一个问题的设计者是美国闻名科普大师马丁 加德纳（Martin Gardner ）,他用 10 根火柴摆成了一条“ 金鱼” ,正在向上游；现在要求你只移动其中的 3根火柴棒,使这条“ 金鱼” 立刻“ 掉头”,由向上游变为向下游；分析解答 这条金鱼基本上是由正三角形作为基本骨架的,所以中间重复性特别高； 于是我们利用重复性来让它掉头；假如将鱼看成上、中、下三行,就需要上和下行调换,同时中间行翻个个儿；其实这样并不麻烦,只要将中间行最右边的一根移到最左边,上下两行也如法炮制,金鱼就显现了；图中的虚线表示这些火柴是移动之后的样子；例 2 我们知道,用4 根火柴

2、可以摆成一个正方形；但摆两个正方形可用不了8根火柴,7 根就够了； 那同样地, 用 24 根火柴摆正方形, 可以只摆出 1个,也可以摆成 2 个、3个,仍能摆出更多正方形,请用 24根火柴摆成 6 个、 14 个、 20 个、 42 个正方形；再想想,假如想要摆成 110个大小相等的正方形,该如何做？分析解答 摆成 6 个正方形是最简洁的,每个正方形用 4 根火柴； 想要摆成 14 个正方形,需要把这正方形挨在一起,以便共用一些火柴；6 个正方形假如想要摆成再多,火柴必需要重叠起来了,这样可以分成更多的小格,摆成更多正方形；下面分别是摆成的20 , 42, 110个正方形；42 个正方形110

3、 个正方形20 个正方形我们可以看出,假如只用 4 根火柴摆成最外面的框架,其他的 20 根放置在中间能得到最多的三角形,一共有 11 11 10 10 9 9 8 81 1 506 个正方形；例 3 用 9 根火柴可以摆成 3个三角形,如下图所示；现在请你在原图上每次移动其中的3根火柴,让三角形的个数不断增加,4 个, 5 个 始终到 10 个；分析解答变成 4 个或 5个三角形并不难,只要将原先的三角形拼到一起即可；而想要摆出 6 个三角形,就需要把火柴叠到一起了,就像刚才摆正方形一样,这样也会构成更多的小三角形；如右图,分别是由 摆成 4 个、 5 个、 6 个 三角形的图形；下面我们连

4、续让交叉的火柴更多,以便摆出更多4 个三角形5 个三角形6 个三角形三角形；7 个三角形8 个三角形9 个三角形10 个三角形例 4 霍钗同学拿来三根火柴,用它们摆成了两个直角,如下图所示；柴获看到了,他把火柴拿来,同样是用三根,摆成了4 个直角；霍钗觉得不服,又移动了一下,变成了 5个直角,柴获又把它摆成了 6 个直角,两人开头较劲了；最终,他俩竟然分别摆出了8 个和 12个直角,真是不行思议；你能做到吗？2 个直角4 个直角6 个直角5 个直角分析解答摆成 8个直角并不难, 只要有两个 “ 十” 字即可, 如右图所示；但是 12 个直角摆起来并不简洁,我们看到每两根垂直的火柴8 个直角至多

5、可以产生4 个直角, 现在已经是有一根火柴和其他两根互相都垂直了；能做到让3 根火柴之间相互都垂直吗？打破常规, 问题仍是有可能的,想要让 3根火柴在平面上相互垂直是不行能的,但是在空间中,当3根火柴分别占上下、前后、左右方向的时候,问题就特别简洁了；12 个直角例 5 霍柴用 14 根火柴可以搭成像右边这样的一间房子,由3个正方形和 2 个正三角形组成的房子；不过柴获说,他只用9根火柴,就能搭成同样有3 个正方形和 2 个正三角形的房子,他是如何做的呢？分析解答就像上题一样,由于火柴数量太少了,假如拘泥于常规,确定想不出 来；假如想要最大限度地共用一些火柴的话,一个不错的方法是把房子搭成真正

6、立体的房子,如右图所示的房子, 就有 3 个正方形和侧面 你想到了吗？例 6 2个正三角形, 但是只用了9根火柴,柴获将 5根火柴摆成一横排,霍钗说只要加上 吧,你能拼成几个,多多益善啊；3根竖排的火柴,就能拼成一些汉字；试试看分析解答尽管汉字大多都横平竖直,但是用火柴拼汉字通常仍是很不准的；仔细想想平常见到的字,有哪些是有5 条横线的呢？发挥一点想象力,至少应当摆出2 个来,事实上这样的汉字有4 个,旱、旨、匡、呈,这是老师出题的时候发觉的,仍能再想出一些的话,应当好好犒劳一下自己啦；例 7 下面是一道特别经典的火柴问题：只移动一根火柴,如何能够产生一个正方形？分析解答移动两根产生正方形特别

7、简洁,但是只移动一 根呢；要留意一点,虽说是正方形,却不见得肯定非要用四根火柴杆拼在一起；别忘了,火柴杆也是有宽度的,如图稍稍移动一根火柴,在 4 根火柴杆末端之间显现了一个小小的正方形红色的小正方形,你想到了么；例 8 霍钗用火柴摆了两道算式,但都是错误的；柴获说只要每个算式移动1根火柴,就能让算式成立,你也来试试吧；分析解答 1,右边想要得到问题并不麻烦,第一个算式7721 4 ,明显左边要比右边大,移动的方法肯定是将左边减小,右边增大,于是将左边其中一个7 变成7 ,变成 21 14 即可；其次个算式有点蹊跷,但是怎么看好像左右都差不多,不妨干脆把左边移动一根 1到右边减号上,这样两边的

8、算式就完全一样了；通常我们有一套标准的用小棍来表示数字符号的方式,经常显现在各种液晶屏上,例如电子表、倒计时牌、电梯里；这套表示方法在一年级的摆火柴棍一 当中我们就见到过,不妨再来看一下：这套数字中最复杂的是 8 ,它用到了全部的方格,形成了“ 日” 字,其余的数都是 8 的一部分,在这里通过移动或者加减一根火柴,5 和 6、 5和 9、 8和 9、 8 和 6 、 8 和 0、 3和 9、 1和 7 等等都可以相互变化,利用这样的数字表示,我们来看下面一个问题：例 9 微调一下算式, 下面的算式原来是正确的,要求移动其中的一根火柴,使等式仍旧成立；分析解答图中的算式是用标准形式摆出的数字,所

9、以移动起来很简洁；经过试 验,可以从 6 当中取下一根放到减号上,变成下面的算式：当然想要移动一根,微调一下让算式成立,方法绝不仅仅这一种；例如也可以将原式的62 改成 52,而将移下的一根放到99上,使之变成 89,等式同样成立；或是将原式右端的99变成 95,而移掉的一根添加到左端5上面,变成9也是可以的；方法多种多样,不妨把每种都画出来看看；课后展现1 霍钗用 12 根火柴摆出含有6 个正三角形的正六边形,不过柴获看了以后说,他只要移动其中的 4根,就能把它变成3 个正三角形,你也来试试看吧；3 题图 1 题图2 题图2 柴获用火柴摆成了9 个小三角形,他数了数,连上大三角形的话,一共有

10、13个；霍3 钗说他只要取走5根火柴,就能让三角形只剩下5 个,他是怎么做的呢？用 8 根火柴能拼出 4 个三角形、 1个大的和 1个小的正方形,你来试试看吧；4根火柴,霍钗用 8根火柴摆两个正方形特别简洁,如下图；柴获说只要移动其中的4 能让图中不但有两个正方形,仍能再多8 个三角形,你能做到吗？4 题图5 题图5 霍钗为了回报柴获前一次的刁难,他拼了上面的图形,并且说只要拿掉其中的3根火柴,就能把它变成三个汉字；不过柴获仍是毫不费劲就做出来了,你行吗？6 柴获拿着 5根火柴又来找霍钗；他将其中的3根火柴横排,然后将剩余的2 根交给霍钗,让他添在上面拼汉字,霍钗拼啊拼啊,最终最终拼出了 看能拼出多少个汉字来；6 个汉字；你也来试试,7 柴获用 6 根火柴组成一个“ 田” 字,移动其中不超过2根火柴,就可以变成另一个汉字,例如“ 白” 字；但霍钗说他能排出 能排出几个？20 多个字来；