自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化

1、 3- PAGE 50 導數與導函數 微積分基礎篇 使用 Maple 3- PAGE 51 3導數與導函數大自然許多多的物理理現象均均牽涉到到短時間間內量的的變化，例如汽汽車的瞬瞬間加速速度，或或者是運運動選手手的暴發發力等等等。如果果數據可可以簡化化成一個個數學函函數，那那麼這個個函數的的導函數數(deerivvatiive)即是量量測這些些瞬間變變化率的的一個量量規，而而導數即即是用量量規所量量測到的的數值。本章將將介紹導導函數的的求法、它們的的物理觀觀念，以以及有關關Mapple用用來計算算導函數數之指令令等等。3.1 切線線與導函函數3-23.2 導函函數的求求法3-173.3 Maa

2、plee的微分分指令3-223.4 三角角函數的的導函數數3-283.5 鏈鎖鎖律3-333.6 高階階導函數數3-373.7 隱微微分法3-4413.8 微分分量與近近似值3-4463.1 切線與與導函數數本節介紹紹了函數數圖形於於某一點點的切線線，以及及切線與與導函數數之間的的關係。首先從從幾何上上的觀點點來探討討切線於於幾何上上的意義義。3.1.1 切切線假設與為為函數圖圖形上的的兩點，如圖33.1.1所示示。由(1.44.1)式可知知，連接接P、Q兩點之之直線LL的斜率率為(3.11.1)xyPQ圖3.1.1 割線的斜率直線L稱稱為割線線(seecannt llinee)，而而割線方方

3、程式可可以簡單單的由兩兩點式或或點斜式式來求得得。當趨趨近於時時，直線線的斜率率將趨近近於函數數在之切切線(ttanggentt liine)的斜率率，由(3.11.1)式可得得函數在在之切線線的斜率率為(3.11.2)如果令，則當時時，。所所以(33.1.2)式式可改寫寫成(3.11.3) 定義33.1.1切線線的斜率率設為函數數圖形上上的一點點，則通通過P點之切切線的斜斜率為Maplle的stuudennt程式式庫裡提提供了sshowwtanngennt指令令，用來來繪製函函數於某某一點之之切線。它的用用法與選選項與pplott指令相相似，但但需額外外指定所所欲繪製製切線之之點。讀讀者必須

4、須注意，在使用用shoowtaangeent指指令之前前，必須須先載入入stuudennt程式式庫。showwtanngennt(ff(x),x=x0,xx=x11.x22,opttionns)以opttionns為選選項，範範圍取，繪出切切於的切線線【例題33.1.1】試試求切圖圖形於點點之切線線的斜率率。【解】因因，由定定義3.1.11可知知，故可知知通過點點之切線線斜率為為2。現在再嚐嚐試利用用shoowtaangeent指指令來繪繪出此條條切線，並由圖圖上來驗驗證所得得之斜率率的正確確性。載入sttudeent繪繪圖程式式庫。 wiith(stuudennt):繪出通過過之切線線，並指

5、指定繪圖圖的比例例為1:1。由由圖中約約略可見見切線的的斜率為為2，剛好好符合本本題的計計算結果果。 shhowttanggentt(x2,xx=1,x=00.22, y=0.2,sscallingg=coonsttraiinedd);繪製函數數的切線線，除了了使用sshowwtanngennt指令令之外，也可以以利用割割線的繪繪圖來一一步步的的逼近切切線，如如此更可可說明了了函數圖圖形之切切線於幾幾何上的的意義。接下來來以函數數為範例來來做說明明。首先先於函數數圖形上上取P、Q兩點，求出通通過P、Q兩點之之直線方方程式並並做圖，然後將將Q點往P點移動動，看看看通過PP、Q兩點的的直線會會有什

6、麼麼變化。載入pllotss與stuudennt繪圖圖程式庫庫。 wiith(ploots): wiith(stuudennt):定義。 f:=x-(x-33)22+9;繪出的圖圖形，由由圖中可可見其圖圖形為一一開口向向下的拋拋物線。 pllot(f(xx),xx=0.6);設定P為為圖形上上的一點點，其坐坐標為。 P:=11,f(1);設定Q為為圖形上上的另一一點，其其坐標為為。 Q:=33,f(3);利用sttudeent程程式庫裡裡的sllopee指令計計算連接接P、Q兩點之之直線的的斜率，得到斜斜率為22。 m:=sllopee(P,Q);利用點斜斜式，可可以求出出通過PP、Q兩點的的

7、直線方方程式為為。 eqqn:=f(11)+mm*(xx-1);繪出的圖圖形，並並把圖形形設給變變數g11。注意意在指令令之後加加上冒號號，目的的在不顯顯示任何何輸出，但會執執行運算算。 g11:=pplott(f(x),x=00.66):繪出通過過P、Q兩點的的直線與與的函數數圖。很很明顯的的，直線線交於與兩點，由此可可驗證所所求的直直線方程程式正確確無誤。 diispllay(ploot(eeqn,x=00.66, y=0.10),g11);現在把QQ點移近近P點，取取。 Q:=22,f(2);計算P、Q兩點連連線的斜斜率，得得到斜率率為3。 m:=sllopee(P,Q);這是通過過P、

8、Q兩點之之直線方方程式。 eqqn:=f(11)+mm*(xx-1);繪出通過過P、Q兩點的的直線與與的圖形形。由圖圖中可看看出直線線交於與兩點。 diispllay(ploot(eeqn,x=00.66, y=0.10),g11);接下來，再將QQ點往左左移，令令。 Q:=11.1,f(11.1);計算得PP、Q兩點連連線的斜斜率為33.9。 m:=sllopee(P,Q);這是通過過P、Q兩點之之直線方方程式。 eqqn:=f(11)+mm*(xx-1);繪出與通通過P、Q兩點的的直線圖圖。由圖圖中可觀觀察到PP、Q兩點的的連線近近似一條條切於P點的切切線。 diispllay(ploot

9、(eeqn,x=00.66, y=0.10),g11);最後，取取。直覺覺上，現現在的QQ點相當當接近於於P點。 Q:=11.011,f(1.001);P、Q兩兩點連線線的斜率率為3.99。綜觀上上面的計計算，若若把Q點越往往P點移動動，其連連線的斜斜率越接接近4.0。 sllopee(P,Q);這是利用用定義33.1.1來求求切線斜斜率的數數學式。 Liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);用vallue指指令來對對上式求求值，可可得斜率率之函數數為。 L:=vaaluee(%);因P點的的x坐標為為1，故故可找出出當時，切於P點的切切線斜率率為4。此值值與先前前的預測測頗

10、為吻吻合。 evval(L,xx=1);事實上，利用(3.11.2)式亦可可求出相相同的結結果。右右式是以以(3.1.22)式所所求出的的數學式式。 Liimitt(ff(x)-f(x0)/(x-xx0),x0=x);用vallue指指令求值值，可得得相同的的答案。 vaaluee(%);showwtanngennt指令令可以更更快速的的繪出函函數於某某點的切切線。右右圖顯示示直線切切函數於於(1, 5)。 shhowttanggentt(f(x),x=11,x=0.6, y=0.10);本例已經經求出斜斜率的函函數為，而有趣趣的是，在哪一一點斜率率會是零零？還有有，斜率率為零的的點會有有哪些

11、特特性？接接下來將將初淺的的探討這這兩個問問題。solvve指令令可求得得於時，斜率為為0。 soolvee(-22*x+6=00,x);繪出切於於的切線線與函數數圖。由由圖中可可看出，斜率為為0之點點正是函函數的極極大值。 shhowttanggentt(f(x),x=33,x=0.6, y=0.10);，故可知知的極大大值為99。 f(3);用stuudennt程式式庫裡的的maxximiize指指令來驗驗證，亦亦可得到到相同的的極大值值。 maaximmizee(f(x),x);由上面的的討論可可觀察到到，函數數的極值值(exxtreema，意指極極大或極極小值)可能位位於函數數斜率為為

12、零之處處，這是是一個重重要的觀觀念，關關於這個個部分留留到4.2節再再做詳細細的介紹紹，目前前讀者僅僅需要知知道於幾幾何上有有這項性性質即可可。3.1.2 導導函數與與導數如果刪掉掉定義33.1.1中x的下標標，即可可得到微微積分學學裡一個個重要的的函數導函函數(dderiivattivee)。而而的導函函數之物物理意義義，即是是之切線線的斜率率函數。 定義33.1.2 導函函數函數的導導函數定定義為，而的定義義域為使使得該極極限存在在的所有有x所組成成求導函數數的過程程稱為微微分(ddifffereentiiatee)，而而其方法法則稱為為微分法法。通常常以或來代表表微分運運算子(difff

13、errenttiall opperaatorr)，因因此。【例題33.1.2】設設，試依依導函數數的定義義式來計計算。【解】(展展開平方方項)(消去相相同的項項)(約去hh)雖然於例例題3.1.22中，導導函數的的計算頗頗為煩瑣瑣，然而而大多數數的導函函數公式式卻是經經由這個個推導過過程而得得的。導導函數的的計算公公式留於於3.22節再做做討論，在此先先看看如如何利用用Mapple模模仿例題題3.11.2的的步驟來來計算導導函數。定義。 f:=x-x2+33*x-4;計算。注意Maaplee已做了了少量的的化簡，再輸出出右式。 Liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);用ex

14、ppandd指令展展開上式式，可化化簡得。 exxpannd(%);valuue計算算得上式式的極限限值為，與例題題3.11.2所所得的答答案相同同。 vaaluee(%);【例題33.1.3】設設，試依依導函數數的定義義式來計計算。【解】(通分)(約去hh並化簡簡)(約去hh)函數的極極值是導導函數的的一個有有趣的應應用。於於3.11.1節節已提過過，導函函數即代代表切線線的斜率率，而函函數的極極值則可可能(但不一一定)位位於切線線斜率為為零之處處。下面面的範例例說明了了如何利利用導函函數來求求解方程程式的極值。定義。 f:=x-x3+xx2-3*xx+2;繪出的函函數圖。由圖中中可看出出有

15、兩個個斜率為為零之處處，而這這兩個位位置也就就是函數數極值之之所在。它們約約略位於於與。於數學上上，這兩兩個極值值稱為區區域極值值(loocall exxtreema)或相對對極值(reaaltiiveeextrremaa)，有有別於全全域極值值(gllobaal eexteermaa)，因為為它們並並不是整整個函數數的極值值。 pllot(f(xx),xx=-33.22);利用定義義3.11.2來來求的導導函數。 Liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);用vallue指指令求解解上式，可解得得導函數數為，這這個函數數也就是是之切線線斜率的的函數。 vaaluee(%);定

16、義為的的導函數數。 fpp:=uunappplyy(%,x);繪出與的的函數圖圖。讀者者可以發發現為三三次曲線線，而為為二次曲曲線。此此外，於於函數相相對極值值的點其其對應的的斜率(即的值)均為零零。 pllot(f(x),fp(x),x=-3.2,y=-7.8);用fsoolvee指令可可以解得得斜率為為零之處處的數值值解。 sool:=fsoolvee(fpp(x)=0,x);將所求得得的解代代入中，解得相相對極大大值為55.4116，而而相對極極小值為為0.7731。您可以以與上圖圖比對看看看這兩兩個值是是否與圖圖形吻合合。 maap(ssubss,ssol,f(x);函數的導導函數本本

17、身亦為為一函數數，而導導函數上上的某個個點的值值則稱為為導數，下面說說明了導導數的定定義。 定義33.1.3 導數數函數在的的導數記記為，亦亦即 若函數在在的導數數存在，亦即 (3.1.44)則稱f在在可微分分(diiffeerenntiaablee)。若若於定義義域內的的每一點點皆可微微分，則則函數稱稱為可微微分函數數(diiffeerenntiaableefunnctiion)。一般般而言，若f在可微分分，則必必可繪出出一條通通過點的的切線。這也意意味著此此切線於於不能有有斷裂，或者是是不連續續的情況況發生。【例題33.1.4】試試討論(a)，(b)於的可微微分性。【解】(a)因為當時為為

18、一定值值，故於於為可微微分。事事實上，因為平平滑且連連續，所所以一定定可以找找到一切切線切函函數於任任意點，故處處處可微分分。(b) 當時，(試驗證證之!)因於時並並不存在在，故於於不可微微分。一般而言言，函數數於不可微微分通常常發生於於下面三三種情況況：函數的圖圖形於為為一尖角角或折點點。函數於不不連續 (斷點點)。函數於的的切線為為一垂直直線 (斜率為為)。下面的範範例分別別探討了了這幾種種常見的的情況。利用piieceewisse指令令定義。 f:=x-piieceewisse(xx -(2-xx)(1/33)+11,x2,(x-22)(1/33)+11);繪出的函函數圖。由圖中中隱約可

19、可見於之之處，函函數切線線的斜率率為一垂垂直線。 pllot(f(xx),xx=0.4,y=-0.55.22.5);計算於的的右極限限與左極極限，二二者均得得到1，故可知知於連續。 liimitt(f(x),x=22,leeft), liimitt(f(x),x=22,riightt);依定義33.1.2來計計算，其其值為無無限大，故並不不存在，所以於於不可微微分。 liimitt(ff(2+h)-f(22)/h,hh=0);定義。 g:=x-5-abss(x2-44);繪出的函函數圖。由圖中中可看出出於之處處圖形有有一尖點點存在，因而可可預測於於不可微微分。 pllot(g(xx),xx=0

20、.4);於的雙邊邊極限存存在，故故可知於於此處連連續。 liimitt(g(x),x=22);依(3.1.4)式來測測試是否否存在，計算得得。 liimitt(gg(2+h)-g(22)/h,hh=0,lefft);。因左右右極限不不相等，故可知知並不存存在。 liimitt(gg(2+h)-g(22)/h,hh=0,rigght);直接以定定義3.1.33來求，Mapple回回應unndeffineed，故故可知於於並沒有有定義，亦即不不存在。 liimitt(gg(2+h)-g(22)/h,hh=0);定義 。 p:=x-piieceewisse(xx1, 2*x);繪出的函函數圖。雖然為

21、為一片段段函數，但右圖圖中顯示示於之處處既連續續，且無無尖角、折角，或者是是跳躍的的情形發發生，故故可預測測於之處可可微分。 pllot(p(xx),xx=-22.33);，因為雙雙邊極限限存在，故可知知於之處可可微分。 liimitt(pp(1+h)-p(11)/h,hh=1);定義 。 q:=x-piieceewisse(xx1, x-2);繪出的函函數圖。雖然於於之處為為連續，但於此此處有折折角發生生，故可可預測於於之處不不可微分分。 pllot(q(xx),xx=-22.44);因雙邊極極限並不不存在，故可知知也不存存在，因因而於之處不不可微分分。 liimitt(qq(1+h)-q(

22、11)/h,hh=0);由上面的的討論可可知，函函數於某某一點為為可微分分(diiffeerenntiaablee)的必必要條件件之一為為-函函數於該該點必須須要連續續(coontiinuoous)。事實實上，函函數的連連續性與與是否可可微分有有著密切切的關係係，下面面的定理理說明了了這兩者者的關係係。 定理33.1.1 可微微分與連連續若函數在在為可微微分，則則在連續。因此由定定理3.1.1可知知，若在在可微分分，則在在連續，但此定定理反過過來並不不成立，亦即若若在連續，則在並不一一定可微微分。事事實上，前面的的幾個範範例已說說明了這這個事實實，讀者者可由這這些範例例來做驗驗證。習 題 3.

23、1於習題116中中，依導導函數的的定義式式來求。1. 2. 3. 4. 5. 6. 於習題779中中，給予予一函數數f與函數數圖形上上的一點點p，試計計算f於p點之切切線斜率率。7. ; 於點點。8. ; 於點點。9. ; 於點點。10. 考慮下下面的函函數圖。xy(1) 於，哪一一個函數數的導函函數之值值較大?(2) 於，哪一一個函數數的導函函數之值值較大?11. 若，是否否意味著著必須成成立?為為什麼?12. 試以幾幾何上的的觀點來來說明為為什麼於於的導函函數不存存在?3.2 導函數數的求法法於上節中中，已介介紹了如如何以導導函數的的定義式式(3.22.1)來求得函函數的微微分。但但因其計

24、計算的過過程頗為為煩瑣，故許多多微分法法則也就就相繼發發展而出出。本節節將介紹紹一些微微分的基基本公式式，以方方便導函函數的計計算。限限於篇幅幅的關係係，本書書並無法法對每一一個定理理都詳加加證明，有興趣趣的讀者者可以參參考相關關的微積積分書籍籍。 定理33.2.1 常數數的微分分為零設為一常常數函數數，則定理3.2.1的證證明並不不難，把把代入(33.2.1)中中，可得得故可得證證。以幾幾何的觀觀點來看看，常數數函數的的圖形為為一水平平線，無無論位於於何處，其切線線的斜率率均為零零，故也也可由此此推測常常數函數數的導函函數為00。 定理33.2.2 乘冪律律 (ppoweer rrulee)

25、若n為正正整數，則 雖然於定定理3.2.22中，指指數n為正整整數，但但事實上上，n為實數數時，本本定理亦亦成立。定理3.2.2可以以利用二二項式公公式(3.22.2)來證明。令，則則消去分子子與分母母中的共共同因子子h，於括括號內除除了第一一項之外外，每一一項均含含有h。當時這這些項的的極限值值均為00，故可可得(3.22.3)利用Maaplee的limmit指指令也可可以驗證證這個結結果：定義。 f:=x-xn;這是求解解導函數數的公式式。 Liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);利用vaaluee指令求求解極限限值並化化簡之，可得與與定理33.2.2相同同的結果果。

26、siimpllifyy(vaaluee(%); 定理33.2.3 常數數與函數數相乘之之微分若c為一一常數，且f為可微微分函數數，則ccf 亦亦為可微微分函數數，且 定理3.2.3可以以直接將將代入定定義(33.2.1)中中來驗證證明。 定理33.2.4和與差差的公式式 若f與gg為可微微分函數數，則 ， 定理3.2.44說明了了函數之之和或差差的導函函數，等等於各別別函數之之導函數數的和或或差。【例題 3.22.1】試求 的導導函數。【解】 (定理理 3.2.4)(定理理 3.2.1、3.2.3)(定理理 3.2.2)現在利利用Maaplee來驗證證所求得得的結果果：定義。 f:=x-6*x

27、33-4*x+33;利用(33.2.1)式式，可求求得與先先前之計計算相同同的答案案。 liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);【例題 3.22.2】設，試求求通過ff上之一一點的切切線方程程式。【解】因代表函函數圖形形之切線線斜率，故只要要計算出出，即可可利用點點斜式來來求出通通過點的的切線方方程式。依定理理3.2.2，可可得因此，當時，函數圖圖形之切切線斜率率m為由點斜式式，可得得切線方方程式為為現在，以以Maaplee來驗證證上面的的計算過過程：定義。 f:=x-x(1/3);由(3.2.11)式可可求得。 liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);

28、將代入，可求得得，故可可知於時時，函數數圖形之之切線斜斜率為。 suubs(x=11,%);由點斜式式可知切切線方程程式為。 y:=1+(x-1)/3;繪出的圖圖形與切切線的圖圖形。由由圖中可可看出切切線切函函數圖形形於這點點，故可可驗證計計算的正正確性。 pllot(f(x),y,x=00.44);值得注意意的是，函數乘乘積或商商的導函函數並不不等於各各別函數數之導函函數的商商或和。下面的的定理列列出了函函數乘積積與商之之導函數數之公式式，相關關的證明明可以參參考本節節的習題題。 定理33.2.5積的公公式 (prooducct rrulee) 若f與與g皆為可可微分函函數，則則 定理3.2

29、.6 商的公公式 (quootieent rulle) 若f與與g皆為可可微分函函數，且且，則 【例題 3.22.3】設 ，試試求。【解】(定理理 3.2.6)(1)接下來來，利用用Mapple以以導函數數的定義義式來驗驗證所求求得的結結果。定義。 f:=x-(xx-2)/(xx2-1);以3.22.1式式求導函函數，MMaplle回應應與(11)式相相同的結結果。 liimitt(ff(x+h)-f(x)/hh,h=0);到目前為為止，本本書均以以導函數數的定義義式來要要求Maaplee計算函函數的導導函數。事實上上，Maaplee的內建建指令ddifff提供了了更方便便的方法法來計算算微分

30、，於下節節裡，我我們將介介紹它的的使用方方法與技技巧，讀讀者更能能藉此瞭瞭解Maaplee在符號號運算上上的潛能能，以及及它所帶帶來的便便利性。習 題 3.2於習題116中中，試計計算各式式的導函函數。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 設設，試求求出切ff於的切線線方程式式。8. 試試以導函函數的定定義式(3.22.1)來導出出積的公公式9. 試試以定理理3.22.5來來證明定定理3.2.66。(提提示：可可以寫成成)。10. 如果，這這個關係係是否意意味著?試解釋釋之。3.3 Mapple的的微分指指令Maplle提供供了微分分指令ddifff與微分分運算子子D來處理理函數的的微分。

31、difff是用來來計算函函數的微微分，而而D則是針針對函數數運算子子所設計計，用以以求出運運算子的的微分式式。以下下兩個小小節分別別介紹這這兩個微微分指令令。3.3.1 微微分指令令 diiffMaplle以difff來計計算函數數的微分分。diiff可可以把一一函數對對單一變變數微分分，或者者是對多多個變數數微分。而Diiff指指令則保保留了微微分的原原式，而而不對微微分式求求值。difff(f(x),x)或difff(ff(x),xx)計算微分分式Difff(f(x),x)保留微分分的原式式，不對對微分式式求值Maplle的微微分指令令計算。 diiff(x33,x);計算。 diiff(

32、x-2)/(x2-11),xx);除了指定定的變數數之外，Mapple視視其它的的符號為為常數。於此例例中，指指定x為變數數，而aa,b與c均為常常數。 diiff(a*xx2+b*xx+c,x);Difff指令(以大寫寫的D開頭)有別於於difff指令令，Diiff並並不對微微分式求求值，而而只會回回應所輸輸入的微微分式。如果想想求出微微分式的的值，可可以使用用vallue指令令來達成成。此外外，數學學上慣用用以來表表示單變變數函數數f對x微分。若f為多變變數函數數，則習習慣上以以來表示示f對x的偏微微分(pparttiall diiffeerenntiaatioon)。值得注注意的是是，M

33、aaplee的輸出出是以較較廣義的的偏微分分符號來來取代慣慣用的。Difff以標準準的數學學式來顯顯示所輸輸入的微微分指令令。於數數學上，慣用來來代表對對單變數數函數做做微分，但Maaplee則以偏偏微分符符號來表表示所有有的微分分式。 Diiff(x22+b*x,xx);用右式的的語法，可以建建構一個個完整的的數學式式。 Diiff(x22+b*x,xx)=ddifff(x2+bb*x,x);微分。讀讀者可以以注意到到，函數數和的微微分等於於微分的的和。 diiff(f+g)(x),x);這是微分分的乘法法公式。 diiff(f*g)(x),x);這是微分分的除法法公式。 diiff(f/g

34、)(x),x);normmal指指令則可可以把兩兩個分式式合併成成一個分分式。您您可以對對照一下下，右式式正是定定理3.2.66的公式式。 noormaal(%);3.3.2 微微分運算算子D()在介紹微微分運算算子之前前，讀者者必須先先瞭解MMaplle的函函數運算算子(ffuncctioonall opperaatorr)。Mapple的的內建函函數如ssin、coss、abss與sqrrt等皆皆為函數數運算子子，而函函數運算算子加上上引數(如、等)即成為為一個標標準的函函數，如如圖3.3.11所示。sin(x)函數運算子引數sin為內建的函數運算子圖3.3.1 函數運算子與其引數的關係函

35、數運算算子加上上引數即即成為一一個標準準的函數數。 (ssin+sqrrt)(x);如果於MMaplle裡自自定一個個函數，其語法法為f:=xx-22*x+3則其中的的x-2*xx+3即即為自定定的函數數運算子子。因自自定的函函數運算算子通常常頗為冗冗長且不不易記憶憶，故習習慣上，常會把把它設給給一個變變數(如如f:=x-2*xx+3)，而以以這個變變數來代代表這一一整個函函數運算算子。圖圖3.33.2說明了了函數運運算子與與其引數數的關係係。f(6)函數運算子引數f:=x-2*x+3函數運算子設定f為函數運算子利用函數運算子來計算圖3.3.2 自定的函數運算子與其引數的關係x-22*x+3是

36、一一個函數數運算子子。 x-2*x+33;在函數運運算子之之後加上上一個引引數，MMaplle即可可求得其其函數值值。 (xx-22*x+3)(4);設定f為為函數運運算子xx-22*x+3。 f:=x-2*x+33;利用所定定義的函函數運算算子來計計算的值值。於此此例中，讀者可可以發現現f與sinn兩個函函數運算算子實有有異曲同同工之妙妙。 f(4),sinn(Pii);熟悉了MMaplle的函函數運算算子之後後，再來來看看微微分運算算子D。Mapple的的微分運運算子係係針對函函數運算算子所設設計，給給予一函函數運算算子，微微分運算算子D即可求求出這個個運算子子的微分分式。因因此，DD是用

37、在在計算函函數運算算子的微微分，而而difff則是是用來計計算數學學運算式式的微分分。由此此可知，difff的運運算結果果是一個個運算式式，而DD的運算算結果則則是一個個運算子子。D(f)求函數運運算子ff的一階階微分運運算子微分運算算子D()接下來的的範例介介紹了微微分運算算子的各各種用法法，其中中有部份份的範例例取材於於三角函函數的微微分，這這個部分分的微分分理論很很快的於於下節中中便會介介紹，但但讀者可可以先參參考一下下微分運運算子DD()的的用法。sin為為Mapple的的一個內內建函數數運算子子，微分分此一運運算子可可得coos，而而coss本身也也是一個個函數運運算子。 D(sin

38、n);difff則是用用來計算算數學式式的微分分。 diiff(sinn(x),x);D(siin)回回應coos，故故D(ssin)(x)回應。 D(sinn)(xx);同時對數數個函數數運算子子的組合合微分。注意其其結果是是一組函函數運算算子。 D(sinn+coos+ssqrtt);函數運算算子加上上引數即即成一般般的數學學表示式式。 D(sinn+coos+ssqrtt)(xx);D指令不不僅可以以用在MMaplle的內內建函數數運算子子，同時時也可以以用在自自定的函函數運算算子，其其用與上上面的幾幾個例子子相同於於。定義一函函數運算算子f。 f:=x-x3+xx+1;的結果亦亦為一函

39、函數運算算子。於於右邊的的範例中中，我們們把運算算結果設設給另一一變數gg。 g:=D(f);求的值，得到在在時的導導數。 g(k);計算。 D(f+gg)(xx);計算於時時的導數數。 D(f*gg)(11);除去f與與g的定義義。 unnasssignn(f,g);因f並沒沒有任何何定義，故回應應原式。 D(f);這是函數數運算子子的一階階微分，並於零零這一點點求值。此式相相當於。 D(f)(0);此式相當當於。 D(f)(x);利用coonveert指指令可以以將微分分運算子子的表示示式轉換換成傳統統的數學學表示式式。 coonveert(%,ddifff);D(siin)得得coss，

40、而coos(00)=11。 D(sinn)(00);習 題 3.3於習題118中中，試以以Mapple的的difff指令令計算各各式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 試試以Maaplee的微分分運算子子D來計算算習題118，並驗證證所得的的結果是是否相同同。於習題110112中，試以MMaplle的微微分運算算子D來計算算各式。10. ，求。11. ，求。12. ，求。13. 設。(1) 試繪出出的圖形形，範圍圍取。(2)繪繪出的圖圖形，範範圍取。(3) 的點約約位於何何處? 試由所所繪的圖圖形來說說明。(4) 試以soolvee指令求求出所有有的解，並由函函數圖形形來驗

41、証証所求得得的答案案。(5) 的最高高點與最最低點約約位於何何處? 試由由函數的的圖形來來說明。(6) 於的最高高點與最最低點之之處，的的值為何何? 試由由函數的的圖形來來說明。3.4 三角函函數的導導函數本節將探探討如何何計算三三角函數數的導函函數，而而於推導導的過程程中，所所有的角角度均以以弳度為為單位。附錄EE附有三三角函數數簡單的的複習，有需要要的讀者者可逕行行參考。於本節節一開始始先來推推導的導導函數，其它三三角函數數的導函函數均可可藉由的的導函數數與微分分的基本本公式來來導出。由導函函數的定定義，(導函函數的定定義)(將展開)(提出與)(3.44.1)稍後將證證明 與 (3.44.

42、2)故(3.4.11)式可可以化簡簡成(3.44.3)的導函數數可仿照照上例，由(3.4.22)式，可可得 (3.4.44)的導函數數可由(3.44.3)與(3.4.44)式來來推導而而得：於是，可可得(3.44.5)其它三角角函數的的導函數數之證明明將留做做習題： (3.4.66) (3.4.77) (3.4.88) 定理33.4.1 (aa) (b)定理3.4.1 的的證明頗頗為有趣趣，以下下先證出出(a)的部份份，而(b)的的證明則則留做習習題。如如圖3.4.11所示，先於紙紙上繪一一個半徑徑為1的的四分之之一圓，並交xx軸於A點。繪繪一線段段交圓於於B點，而而垂直於於x軸。xyCBAO

43、h半徑r=1圖3.4.1 定理3.4.1 (a)的證明由圖中可可看出OAB的的面積扇扇形OAAB的面面積OAAC的面面積因三角形形面積為為底乘高高除二，而扇形形面積為為，其中中r為半徑徑，為角角度。所所以OAB的的面積，扇形OAAB的面面積，OAC的的面積故可得將上式同同乘，再再取倒數數，可得得 (3.4.99)(3.44.9)式係在在的區間間內所推推導而得得，事實實上，在在區間內內，(33.4.9)式式亦成立立，因為為當時，故由由夾擊定定理可推推得 (3.4.110)定理3.4.1 (b)式的的證明可可由(33.4.10)推導而而得，這這個部分分留做習習題。有有趣的是是，如果果把(33.4.

44、9)的的每一個個函數繪繪於的範範圍內，則更可可以了解解夾擊定定理所表表現的真真實意義義：繪出與11的函數數圖。圖圖中顯示示最頂端端的水平平線為，而最底底端的曲曲線為，而的圖圖形則被被夾擊在1與之間。由圖中中可看出出當時，。 pllot(coos(hh),ssin(h)/h,11, h=-Pii/2.Pii/2,y=00.4.1.2);接下來，再來看看幾個MMaplle計算算三角函函數之導導函數的的範例。這是的定定義式。 Liimitt(ssin(x+hh)-ssin(x)/h,h=00);利用vaaluee求值，得到。 vaaluee(%);直接以ddifff指令計計算。 diiff(sinn

45、(x),x);以微分運運算子DD也可以以求得相相同的結結果。 D(sinn)(xx);繪出(紅紅色)與其導導函數(即，綠色色)的圖形形。由圖圖中可看看出於的的極大值值處，其其導函數數的值為為零，相相同的，當導函函數的值值為極大大時，的的值亦為為零。 pllot(siin(xx),ddifff(siin(xx),xx), x=-Pii.22*Pii);計算的導導函數。由三角角恆等式式 ，故可知知的導函函數亦可可寫成。 Diiff(tann(x),x):%=vallue(%);這是的導導函數。 Diiff(secc(x),x):%=vallue(%);習 題 3.4於習題113中中，試導導出各恒恒

46、等式。1. 2. 3. 4. 試試證明 (提示示：將的的分子與與分母同同乘，經經運算後後再利用用(3.4.10)式來計計算)於習題55100中，試試計算各各微分式式。5. 66. 7. 8. 9. 10. 11. 試求之圖圖形在點點之切線線方程式式，並繪繪圖來驗驗證所求求得的結結果。3.5 鏈鎖律律本節將探探討合成成函數(commpossitee fuuncttionn)的微微分，而而合成函函數的微微分需要要用到一一些小技技巧。在在此先舉舉一個範範例來做做說明，於前幾幾節裡已已經學過過如何微微分函數數 與 那麼，要要如何利利用已知知的微分分方法，來求得得合成函函數的導函數數呢？首首先，設設，則

47、 ，於是 (3.5.11) (33.5.2)如果把看看成是一一個簡單單的除法法，則可可以改寫寫成 (33.5.3)將(3.5.11)與(3.5.22)式代代入(33.5.3)式式，可得得再把 代入上上式，即即可得如此便可可求得合合成函數數的導函函數。(3.55.3)式所用用的微分分方法稱稱為鏈鎖鎖律(cchaiin rrulee)，下下面的定定理說明明了鏈鎖鎖律的法法則。 定理33.5.1 鏈鏈鎖律 設gg在x為可微微分，且且f在為可微微分，則則合成函函數在x為可微微分，且且如果設且且，則定理理3.5.1可以以改寫成成 (3.5.44)讀者可以以注意到到，此式式與(33.5.3)式式相同。【例

48、題33.5.1】 設，試試求。【解】 令，由(33.5.4)式式，可得得有些函數數可能須須要用到到兩次，或者是是兩次以以上的鏈鏈鎖律才才能求得得其導函函數。下下面的範範例說明明了這個個情形。【例題33.5.2】 設，試試求。【解】設，則，所所以 (aa)要求出上上式中的的，必須須再用一一次鏈鎖鎖律。設設，於是是(b)將(b)式入(aa)中可可得 於許多的的應用中中，計算算的微分分可直接接利用廣廣義的乘乘冪律(genneraal ppoweer rrulee)，此此定律的的敘述如如下： 定理33.5.2 廣廣義的乘乘冪律 若為為x的可微微分函數數，則讀者該不不難發現現，事實實上，廣廣義的乘乘冪律

49、僅僅是鏈鎖鎖律的一一個應用用。通常常這個定定律可用用來快速速的計算算函數的的導函數數。例如如，下面為MMaplle應用在在鏈鎖律律之計算算的幾個個例子。Maplle也是是利用鏈鏈鎖律來來計算合合成函數數的導函函數。 diiff(x3+66*x)122,x);計算。您您可以比比較右式式的結果果，看看看與例題題3.55.2的的結果是是否相同同。 diiff(sinn(x2+44)33,x);這是合成成函數的的Mapple表表示法，其中為為合成函函數運算算子。 (ffg)(x);對合成函函數運算算子的微微分。右右邊的結結果可以以看成，亦即DD(f)合成g，再將將其結果果乘上DD(g)。 D(fgg)

50、;與上例做做比較，f即為siin，而而g則為sqqrt。D(ff)=ccos，D(gg)=11/(22sqrrt)，故Maaplee回應coosssqrtt/(22*sqqrt)。 D(sinnsqqrt);加上引數數則可求求得。 D(sinnsqqrt)(x);利用diiff指指令直接接對微分分，也可可以得到到相同的的結果。 diiff(sinn(sqqrt(x),x);習 題 3.5於習題118中中，計算算。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 設設(1) 試驗證證為圖形形上的一一點。(2)試試求出通通過點的的切線方方程式，並繪圖圖來驗證證所求得得的結果果。10. 設(1)

51、 試繪出出的圖形形。(2)試試求函數數圖形上上的一點點，使得得通過pp的切線線與y軸截交交於這點點。11. 大魚吃吃小魚，小魚吃吃小蝦為為海洋生生態的食食物鏈。設y為大魚魚的數目目，u為小魚魚的數目目，而xx為小蝦蝦的數目目。(1) 試解釋釋、與的涵義義。(2)試試以食物物鏈的關關係來解解釋鍵鎖鎖律。3.6 高階導導函數如果函數數的導函函數為一一可微分分函數，則稱為為f的一階階導函數數(fiirstt orrderr deerivvatiive)。如果果再把微微分一次次，則可可記之為為，而函函數稱為為f的二階階導函數數(seeconnd oordeer dderiivattivee)。依依此類

52、推推，可定定義f的三階階、四階階導函數數： (3.6.11) (3.6.22) (33.6.3) (33.6.4)一般而言言，的n階導函函數可以以寫成，或者是是。例如如則可以以寫成，或者是是，而的三三階導函函數可寫寫成、或者是是。【例題33.6.1】試求的一一階、二二階、三三階與四四階導函函數。【解】依(3.6.44)式，可得的的高階導導函數：因0的導導函數為為零，故故其餘較較高階的的導函數數均為00。【例題33.6.2】試求求 【解】 利用鏈鏈鎖律，Maplle計算算二階以以上之導導函數的的指令與與一階相相同，只只是語法法稍有不不同。下下表列出出了diiff指指令與微微分運算算子D在二階階以

53、上之之導函數數的用法法。 diiff(f(x),x$nn)或 diiff(f(x),x$n)計算算微分式式(Dn)(f)計算函數數運算子子f的n階導函函數計算高高階導函函數的指指令定義。 f:=x-x*sinn(x);這是的定定義式。 Liimitt(ff(x+h)-f(xx)/h,hh=0);求出，再再利用uunappplyy設定。 fpp:=uunappplyy(vaaluee(%),x);這是的二二階導函函數之定定義式。 Liimitt(ffp(xx+h)-fpp(x)/hh,h=0);以vallue指指令即可可求得的的二階導導函數，即的值值。 vaaluee(%);以difff計算算的

54、值，可以得得到相同同的結果果。 diiff(f(xx),xx$2);計算於時時，的二二階導數數之值。 evval(%,xx=Pii/2);利用微分分運算子子D來計算算。 (DD22)(ff)(xx);以微分運運算子DD來計算算的值。 (DD22)(ff)(PPi/22);計算。注注意本例例中所得得的答案案與例題題3.6.2相同同。 Diiff(sinn(x)2,x$22):%=vaaluee(%);如果函數數f沒有任任何的定定義，則則以D運算子子來計算算f的導函函數時，Mapple會以特特定的格格式來表表示f的導函函數。移去f的的所有設設定。 unnasssignn(f);這是函數數運算子子的

55、二階階微分式式。 D(D(ff);(D2)表表示函數數運算子子的二階階微分。 (DD22)(ff);這是函數數運算子子的n階微分分。 (DDnn)(ff);這是計算算函數運運算子的的一階微微分，再再將一階階微分的的結果平平方。 (DD2)(f);習 題 3.66於習題118中中，試計計算各微微分式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 設設，試求求。10. 設。(1) 試繪出出與的圖形形。(2) 試找出出所有的的區間使使得。3.7 隱微分分法如果方程程式無法法表示成成的型式式，則前前幾節所所介紹的的微分法法便不適適用，因因此必須須嚐試另另一種方方來求得得函數ff的微分分。例如如

56、，考慮慮方程式式 (3.7.11)顯然的，上式並並無法把把它表示示成的型型式。有有趣的是是，要如如何由(3.77.1)來求出出呢?要解決決這個問問題，可可依照下下面的步步驟來進進行：(把把(3.7.11)等號號的兩邊邊對x做微分分 )(視y為x的函數數，利用用定理33.5.2來微微分)把當成一一個變數數並求解解之，即即可得 (3.7.22)以這種方方法求解解導函數數的方法法稱為隱隱微分法法(meethood oofimmpliicitt diiffeerenntattionn)。利利用Maaplee的difff指令令也可以以模仿上上面的步步驟，求求出(33.7.1)的的隱微分分。設定。注注意於

57、右右式中，我們明明確的設設定y為x的函數數，即。 eqqn:=x22+y(x)3=22*x+y(xx);把上面的的方程式式對x微分，可得如如右式的的微分式式。讀者者可以注注意到，右式中中的即是是本範例例中所要要求的隱隱微分。 diiff(eqnn,x);用sollve指指令求解解，即得得方程式式的隱微微分。讀讀者可對對照(33.7.2)式式，看看看是不是是解出了了相同的的結果！ soolvee(%,diiff(y(xx),xx);【例題33.7.1】 設，利利用隱微微分法求求 。【解】對對的兩邊邊做隱微微分，可可得於是可以以解得(1)對(1)式的兩兩邊再做做一次隱隱微分，可得(2)將(11)式

58、代代入(22)式，得到(3)最後，將原方方程式代代入(33)式並並化簡之之，可得得(4)利用Maaplee的difff指令令也可以以解出本本例中的的二階隱隱微分：定義方程程式。 eqqn:=x22-4*y(xx)22=3;把上式對對x微分，可得右右式的輸輸出。 diiff(eqnn,x);由上式可可解得。注意此此式與(1)式式相同。 sool1:=soolvee(%,diiff(y(xx),xx);把eqnn對x微分兩兩次可得得右式。於右式式中，已已解出，而正是是本題中中所要求求的解。 sool2:=diiff(eqnn,x$2);由上式解解出。 soolvee(sool2,difff(yy(

59、x),x$2);將代入上上式即可可解出。 suubs(soll1,%);利用原方方程式來來化簡上上式，可可得最精精簡的式式子。讀讀者可以以注意到到，右邊邊的輸出出與(44)式相相同。 siimpllifyy(%,eqqn);事實上，於Maaplee的環境境裡計算算隱微分分並不必必像例題題3.77.1般般的複雜雜，Maaplee提供了了一個簡簡單的iimplliciitdiiff指令，可以更更方便的的計算函函數的nn階隱微微分。implliciitdiiff(f(xx,y)=0,y,xx)求方程式式的隱微微分implliciitdiiff(f(xx,y)=0,y,x$n)求n階隱隱微分Mapll

60、e的隱隱微分指指令計算的隱隱微分。 immpliicittdifff(xx2+y33=2*x+yy,y,x);定義隱函函數。 f:=(xx,y)-ssin(x*ccos(y);已知函數數，以隱隱微分法法求。 immpliicittdifff(ff(x,y)=0,yy,x);這是函數數於的微分分值(斜率)。 suubs(x=3,yy=1,%);以隱微分分法求。 immpliicittdifff(ff(x,y)=0,yy,x$2);【例題33.7.2】考考慮方程程式 ，試以MMaplle求解解下列兩兩個問題題：(a) 試求出出切線為為水平線線的x軸坐標標值。(b) 於x軸的坐坐標值為為何時，圖形之