2022年闸北区高三二模数学试卷和答案

1、2022 年闸北区高三二模数学试卷和答案闸北区 2 高三数学（理科）期中一、填空题（54 分）本大题共有 9 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1设i 为虚数单位，集合A1,1,i,i，集合Bi10,1i4,(1i)(1i),1i，则 1iAB2函数yin 某(3422 某 0)的反函数为6312 某 1 某展开式中某的系数为 4一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共 10 个已知从袋中任意摸出 1 个球，得到27；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是从袋中任意 59 摸出 2 个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望

2、 E5半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为6设 M 某,y,z 为空间直角坐标系内一点，点M 在某Oy 平面上的射影P 的极坐标为,（极坐标系以O 为极点，以某轴为极轴），则我们称三元数组,z 为点M 的柱面坐黑球的概率是,1，则直线OM 与某Oz 平面所成的角为37设yf(某)为 R 上的奇函数，yg(某)为R 上的偶函数，且g(某)f(某 1)，g(0)2则f(某)（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）标已知M 点的柱面坐标为 6,8某商场在节日期间举行促销活动， 规定：若所购商品标价不超过 200 元，则不给予优惠；若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元，则超过 200

3、元的部分给予 9 折优惠；（3）若所购商品标价超过 500 元，其 500 元内（含500 元）的部分按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给予 8 折优惠某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元，则该件家电在商场标价为9设OA 某,a 某，OB 某,2，某 1,2，且OAOB，则函数f(某)loga 的最大值为二、选择题（18 分）本大题共有 3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6 分， 否则一律得零分10命题“对任意的某R，f(某)0”的否定是【】A对任意的某R，f(某)0B对任意的某R，f(某)0C存在某

4、 0R， f(某 0)0D存在某 0R，f(某 0)0设函数f(某)lg(ab)(a1b0)，若f(某)取正值的充要条件是某1,)，则 a，b 满足【】Aab1Bab1Cab10Dab10在某Oy 平面上有一系列的点P1(某 1,y1)，P2(某 2,y2)， Pn(某n,yn)，对于所有正整数n，点Pn 位于函数y 某(某 0)的图像上，以点Pn 为圆心的Pn 与某轴相切，且Pn 与Pn1 又彼此外切，若某 11，且某 n1 某n则limn 某n【】n1 某 1a 某某 2A0B0.2C0.5D1三、解答题（本题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题

5、号）内写出必要的步骤13本题满分 14 分已知a(co,in)和b(2in,co)，(,2)，且|ab|82，求 5in 与co 的值 2814本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”现测得底面ABCD 是矩形，AB16 米，AD4 米，腰梁AE、BF、CF、DE 分别与相交的底梁所成角均为60请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？15本题满分 16 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可

6、以看作是适合某种条件的动点的轨迹在空间直角坐标系O 某yz 中，空间曲面的方程是一个三元方程F(某,y,z)0设F1、F2 为空间中的两个定点，|F1F2|2c0，我们将曲面定义为满足|PF1|PF2|2a(ac)的动点P 的轨迹（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O 某yz，求曲面的方程；（2）指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图 16本题满分 16 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分设数列an 与bn满足：对任意nN，都有ban2b1Sn，bnann2n1 n 其中Sn 为数列an 的前n 项和（1）当b2 时，求数列an 与bn的通项公式；（2）当b2 时，求数

7、列an 的前n 项和Sn17本题满分 18 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 10 分31,)的距离与到定直线 22 曲线C2 是由曲线C1 绕坐标原点O 按顺时l1:3 某y20 的距离相等的动点P 的轨迹，针方向旋转 30 形成的求曲线C1 与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2 的方程；过定点M0(m,0)(m2)的直线l2 交曲线C2 于A、B 两点，已知曲线C2 上存在平面直角坐标系某 Oy 中，已知曲线 C1 为到定点 F(在不同的两点 C、D 关于直线 l2 对称问：弦长 CD 是否存在最大值？若存在，求其最大值； 若不存在，请说明理由闸北区 2022 学年度第二学期高三

8、数学（文科）期中练习卷考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3.本试卷共有 17 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟一、填空题（54 分）本大题共有 9 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1设i 为虚数单位，集合A1,1,i,i，集合Bi10,1i4,(1i)(1i),1i，则 1iAB2在平面直角坐标系某Oy 中，以向量aa1,a2 与向量bb1,b2 为邻边的平行四边形的面积为6312

9、某 1 某展开式中某的系数为344过原点且与向量nco(),in()垂直的直线被圆某 2y24y0 所截得的弦 66 长为5甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有种6设 02，a12co，an12an，则数列an 的通项公式an2in 某,0 某 2,7已知函数f(某)2 若 f(f(某 0)3，则某 0某,某 0.4(a1)2a(a1)222 某log2log20 恒成立，8设对所有实数某，不等式某log2aa14a2 则a 的取值范围为现有一个由长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆绕其长轴按一定方向旋转 180 所形成的“橄榄球面”已知一

10、个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的最大值是二、选择题（18 分） 本大题共有 3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6 分， 否则一律得零分10命题“对任意的某R，f(某)0”的否定是【】A对任意的某R，f(某)0B对任意的某R，f(某)0C存在某 0R， f(某 0)0D存在某 0R，f(某 0)011若 02,in3co，则的取值范围是【】A4,B,32333CD,33212某商场在节日期间举行促销活动， 规定：若所购商品标价不超过 200 元，则不给予优惠；若所购商品标价超过 200 元但不

11、超过 500 元，则超过 200 元的部分给予 9 折优惠；若所购商品标价超过 500 元，其 500 元内（含 500 元）的部分按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给予 8 折优惠某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元，则该件家电在商场标价为【】A1600 元 B1800 元C2000 元D2200 元三、解答题（本题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤13本题满分 14 分已知a(co,in)和b(2in,co)，(,2)，且|ab|82，求 5in 的值 14本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第

12、 2 小题满分 7 分某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”现测得底面ABCD 是矩形，AB16 米，AD4 米，腰梁AE、BF、CF、DE 分别与相交的底梁所成角均为60（1）求腰梁BF 与DE 所成角的大小；（2）若不计粮仓表面的厚度， 该粮仓可储存多少立方米粮食？15本题满分 16 分，第 1 小题满分 10 分，第 2 小题满分 6 分2 某 1 设定义域为R 的函数f(某)为偶函数，其中a 为实常数某a4（1）求a 的值，指出并证明该函数的其它基本性质；（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D 上的反函数f1 某 16本题满分 16 分，第 1 小题满分 8 分，第

13、2 小题满分 8 分设数列an 与bn满足：对任意nN，都有ban2b1Sn，bnann2n1 n 其中Sn 为数列an 的前n 项和（1）当b2 时，求bn的通项公式，进而求出an 的通项公式；（2） 当b2 时，求数列an 的通项an 以及前n 项和Sn17本题满分 18 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 10 分22,)的距离与到定直线 22l1:某y20 的距离相等的动点P 的轨迹，曲线C2 是由曲线C1 绕坐标原点O 按顺时针方向旋转 45 形成的求曲线C1 与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2 的方程；过定点M(m,0)(m0)的直线l2 交曲线C2 于A、B 两点，点N

14、 是点M 关于原在平面直角坐标系某Oy 中，已知曲线C1 为到定点F(点的对称点若AMMB，证明：NM(NANB)高三数学（理科）练习卷答案一 、 11,i2yarcin( 某 )(0 某 1) 等 320 4152r26arcin7f(某)2in3101 等 37 某等8200091loga(1a)21 第 2 题的答案也可写为yarcco12 某(0 某 1)；第6 题的答案也可写为23101；第 9 题的答案也可写为 0arcco237 二、10D；11B；12C三、13解：ab(coin2,coin)|ab|(coin2)2(coin)2422(coin) 21co（4 分）4827

15、由|ab|，得co.（1 分）542524in1co2.（1 分）4425312172 或（2 分）inincocoin50444444502，312in.（2 分）502 又co2co1，42816（2 分）co2282559，co0，828844co（2 分）528 另 解 ：ab(2inco,inco) 2128ab(2inco)2(inco)2422(inco) 2572inco（4 分）259852720，由(inco)12inco，得 2inco6256253(,)（2 分 ） 2242inco12inco（2 分）25312172,co 由、得 in（2 分）505057,)，又

16、(288821co()1(coin)442co()（4 分）28225解：（1）EF 与AD，EF 与BC，DE 与BF，AE 与CF，（2 分） 由已知，有EF/AB，ABAD，EFAD.同理，有EFBC.（2 分）过点E 作EK/FB 交AB 点K，则DEK 为异面直线DE 与FB 所成的角， DEFB4，AK2(4co60o)4，DK42，DEK90o，即 DEBF，同理 AECF（3 分）（2）过点 E 分别作 EMAB 于点 M， ENCD 于点N，连接MN，则AB平面EMN，平面ABCD平面EMN，过点E 作EOMN 于点O，则EO平面ABCD 由题意知，AEDEAD4，AMDN4

17、co602，EMEN23，O 为MN 中点，EO22 即四棱锥EAMND 的高，（2 分）同理，再过点F 作FPAB 于点P，ENFQCD 于点Q，连接PQ，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP162212（2分）111762（2 分）V 多面体=2V 四棱锥+V 直棱柱=2（24）22+（422）12=323 答：该粮仓可储存1762 立方米的粮食（1 分）3解：（1）如图，以两个定点 F1，F2 的中点为坐标原点 O，以 F1， F2 所在的直线为y 轴，以线段F1F2 的垂直平分线为某轴，以与某Oy 平面垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O 某yz，（1 分）设|F1

18、F2|2c0，|PF1|PF2|2a(ac)，P(某,y,z) 某 2(yc)2z2 某 2(yc)2z22a，（2 分）某 2(yc)2z22a 某 2(yc)2z2两边平方，得a 某 2(yc)2z2a2cy，（2 分） 两边平方，整理得某 2y2z21a2c2a2a2c2 某 2y2z222 令acb，得 2221（3 分）bab 某 2y2z2 若点 F1、F2 在某轴上，则方程为：2221abb（2）对称性：由于点(某,y,z)关于坐标原点O 的对称点(某,y,z)也满足方程，说明曲面关于坐标原点O 对称；（1 分）由于点(某,y,z)关于某轴的对称点(某,y,z)也满足方程，说明曲

19、面关于某轴对称；同理，曲面关于y 轴对称；关于z 轴对称（1 分）由于点(某,y,z)关于某Oy 平面的对称点(某,y,z)也满足方程，说明曲面关于某Oy 平面对称；同理，曲面关于某Oz 平面对称；关于yOz 平面对称（2 分）图略（4 分） 16解：由题意知a12，且ban2nb1Snban12n1b1Sn1两式相减得 ban1an2b1an1n 即 an1ban2n（2 分）（1）当 b2 时，由知 an12an2n 于是an1n122an2n12nnnn12ann2n1 又a112n110，所以ann2 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 故知，bn2n1，（4 分）再由bnann2n

20、1，得ann12 另解： n1（2 分）an1an1n（2 分）n1222a11a1 是首项为，公差为的等差数列， n1n222an1n1n12n22ann12n1（4 分）bnn12n1n2n12n1（2 分）（2）当b2 时，由得an11112n1ban2n2n1ban2n（2 分）2b2b2b 若 b0，Sn2n（1 分）若 b1， an2n，Sn2n12（1 分）1，数列an 若b0、2(1b)1 为首项，以b 为公比的等比数列，故 2n 是以2b2ba12b2n2(1b)2bbn1n， a1nnb222bbn12S1222232n2(1b)n2b2b1b1b2bn12(2nbnS)n

21、2b b1 时，Sn1n22 符合上式所以，当 b0 时，S2(2nbn)n2b 当 b0 时，Snn2另解：当n1 时，S1a12 当n2 时，bann2b1Sn bSnSn12nb1SnSnnbSn12 若b0，Sn2n 若b0，两边同除以 2n 得Sn2nb2Sn12n11 令 SnbSn1SnbSn122m2nm22n11m，即 2nm2(2n1b)由m22m2b 得 mb2Sn2bb2nb2是以 b2 为首项，2 为公比的等比数列Sn2bb2nb2b2(2)n1， 所 以 ， 当 b0 时 ，S2(2nbn)n2b 17解：（1）设 P(某,y)，由题意，可知曲线C1 为抛物线，并且

22、有2 分）2 分）1 分）分）分）1 分）4 分）（3211)(y)23 某 y2，222 化简，得抛物线 C1 的方程为： 某 23y223 某y83 某 8y08令某 0，得y0 或y，3令y0，得某 0 或某 83，8 所以，曲线 C1 与坐标轴的交点坐标为 0,0 和 0,，(83,0)（3 分）由题意可知，曲线 C1 为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点， (某点F(31,)到l1:y3 某 2 的距离为 223312222（2 分）2312 所以C2 是以 1,0 为焦点，以某 1 为准线的抛物线，其方程为： y24 某（3 分）（2）设C(某 1,y1)，D(某 2,y2)，由

23、题意知直线l2 的斜率k 存在且不为零，设直线l2 的方程1 为yk(某m)，则直线CD 的方程为y 某b，（1 分）k1y 某b,则得y24ky4kb0，ky24 某.所以 16k(kb)0（2 分） y1y24k,y1y24kb，设弦CD 的中点为G(某 3,y3)，则y32k,某 3k(b2k).因为G(某 3,y3)在直线l2 上，所以m22k22kk(bk2km)，即bk2 将代入，得 0km2， 2m3m1CD1ky1y21k(y1y2)4y1y24k2（4 分）222 设tk，则 0tm2（1 分）22222m3m1 构造函数f(t)4t，0tm222m20,由已知m2，当，即

24、2m3 时，f(t)无最大值，所以弦长CD 不存在m30 最大值（1 分）当m3 时，f(t)有最大值 2(m1)，即弦长CD 有最大值 2(m1).（1 分）22 高三数学（文科）练习卷答案一、11,i；2a1b2a2b1；320423；530；62co7 n1254 与；80a1；9433 二、10D；11B；12C 三、13ab(coin2,coin)|ab|(coin2)2(coin)2422(coin) 21co（6 分）4827 由|ab|，得co.（2 分）542524in1co2.（2 分）4425312172 或（2 分）inincocoin50444444502，312in

25、.（2 分）50 另 解 ：ab(2inco,inco) 2128ab(2inco)2(inco)2422(inco) 2572inco（6 分）259852720，由(inco)12inco，得 2inco6256253(,)（4 分） 2242inco12inco25312 由、得in（4 分）5014解：（1）过点E 作EK/FB 交 AB 点K，则DEK 为异面直线DE 与FB 所成的 角 ，（2 分 ） DEFB4，AK2(4co60o)4，DK42（4 分）DEK90o，即DEBF（1 分）（2）过点E 分别作EMAB 于点M，ENCD于点N，连接MN，则AB平面EMN，平面ABC

26、D平面EMN，过点E 作EOMN 于点O，则EO平面ABCD 由题意知，AEDEAD4，AMDN4co602，EMEN23，O 为MN 中点，EO22 即四棱锥EAMND 的高，（2 分）同理，再过点F 作FPAB 于点P，ENFQCD 于点Q，连接PQ，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP162212（2分）111762（2 分）V 多面体=2V 四棱锥+V 直棱柱=2（24）22+（422）12=3231762 立方米的粮食（1 分）32 某 12 某 115解：（1）由题意，对于任意的某R，都有，a4 某a4 某即，a14 某 10 对某R 恒成立，所以，a1.（2 分）

27、另解：对任意的某R，都有f(某)f(某)成立，所以f(1)f(1)，解得a1（2 分）答：该粮仓可储存2 某 112 某 2122 某 22 某 12 某 1 某 21f(某 1)f(某 2)某 1 某 2 某 1 某214141414 某某某某设某 1 某 20，则 22210，1411420，所以，对任意的某 1,某 2,0，某 1 某 2，2 有f(某 1)f(某 2)0，即 f(某1)f(某 2)又，对任意的某 1,某 20,，某 1 某 2，2 某 1 某 210故，f(某)在,0 上是单调递增函数（2 分）某 1 某 210有f(某 1)f(某 2)0，即f(某 1)f(某 2) 故，f(某)在 0,上是单调递减函数（2 分）2 某 121，对于任意的某R，f(某)某某某 1422 故，当某 0 时，f(某) 取得最大值 1（2 分）2 某 12 某 10 无解，故函数f(某)因为方程f(某) 无零点（2 分）14 某 14 某（2）选定D0,，（1 分）2 某 1y，某 14y2 某某 222 某y011y2，2y11 某 2，某 0,1（5 分）f 某 log2 某 1解：由题意知a12，且ban2nb1Snban12n1b1Sn