2022年浙江省温州市英才学校高二数学理期末试卷含解析

1、2021-2022 学年浙江省温州市英才学校高二数学理期末试卷含解析1. 抛物线上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为（）ABCD0一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的参考答案：B2. 某校有行政人员、教学人员和教辅人员共人，其中教学人员与教辅人员的比为,行政人员有人，现采取分层抽样容量为的样本，那么行政人员应抽取的人数为（）ABCD略参考答案：3. 若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线的离心率是()A.B.C.或D.C参考答案：C略4. 过点作曲线的切线，则这样的切线条数为（）A0B1C

2、2D3参考答案：C复数 z=12i 的虚部是（） A2 B2C2iD2i参考答案：A【考点】复数的基本概念【分析】利用虚部的定义即可得出【解答】解：复数z=12i 的虚部是2 故选：A对任意的xR，函数f（x）=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是（） A0a21Ba=0 或a=7Ca0 或 a21Da=0 或a=21参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由于函数f（x）=x3+ax2+7ax（xR）不存在极值，可得f（x）0 恒成立，求解出一元二次不等式即可得到a 的取值范围【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+7ax（xR），f（x）=3x2+2ax+7a，函

3、数 f（x）=x3+ax2+7ax（xR）不存在极值，且f（x）的图象开口向上，f（x）0 对 xR 恒成立，=4a284a0，解得 0a21，a 的取值范围是 0a21 故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点考查了转化化归的数学思想方法属于中档题在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，顶点 P 在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同【分析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【详解】如图所示

4、，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为， 半径为.设底面正方形的边长为，正四凌锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即又因为正四棱锥的体积为 4，所以由得，代入得，配凑得，【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为 4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于因为，所以，再将代入中，解得，（）（参考公式：）所以，所以.A. 2B.C. 4D.在中，由勾股定理，得，参考答案：B即，解得，所以此球的半径等于.故选 B.已知：，则是的

5、（）A必要不充分条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D充要条件参考答案：B略如图，正四面体ABCD 的棱长为 1，点E 是棱 CD 的中点，则?=（）ABCD参考答案：D【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可【解答】解：正四面体ABCD 的棱长为 1，点E 是棱 CD 的中点，得或.，即，?=（+）?=?+?=11+11=，故选：D【点评】本题主要考查向量的数量积运算，要求熟练掌握数量积的公式10. 已知 =（1，1，0）， =（1，0，2），且k + 与 2 垂直，则k 的值为（）B 1CD参考答案：D二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4

6、 分,共 28 分在中，则内角 A 的取值范围是.参考答案：已知命题，命题.若命题 q 是 p 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是 ；参考答案：经验证当适合题意，所以的取值范围是。【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合 A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。设函数若，则参考答案：-9已知集合 M=（x，y）|和集合 N=（x，y）|y=sinx，x0，若 MN?，则实数 a的最大值为参考答案：作出函数 y=sinx（x0）的图象，以及不等式组表示的可行域，由直线 x2y+a=0 与y=sinx 相

7、切时，设切点为（m，sinm），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时 a 的值，由图象可得 a 的最大值解：作出函数 y=sinx（x0）的图象，以及不等式组表示的可行域，【分析】求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，即有 cosm=，解得 m=，切点为（，），得出不等式组，即可求解，得到答案。可得 a=2=，【详解】由题意，命题，命题.又由由题意可得 a，即有 MN?，命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，可得 a 的最大值为，设，则满足，解得，故答案为：当直线 x2y+a=0 与 y=sinx 相切时，设切点为（m，sinm），三、 解答题：本大题共 5 小题，共

8、72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 观察下图中各正方形图案，每条边上有与的关系式个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按18. 在（a-2b） 的展开式中，此规律推出：当时，(1) 若 n=10，求展开式的倒数第四项（要求将系数计算到具体数值）若展开式中二项式系数不超过 6 的项恰好有 5 项，求 n 的值；若展开式中系数不超过 6 的项恰好有五项，求 n 的值。参考答案：参考答案：解析：（1）（a-2b） 展开式的通项公式（即第 r+1 项）是：n=10 时，展开式共有 11 项，其倒数第四项即第八项。略（2）展开式中二项式系数不超过 6 的项恰好有 5 项，16. 过点的双曲

9、线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为.参考答案：17. 观察下列等式：等式为，根据上述规律，第五个.8参考答案：一方面说明，5 项存在。另一方面说明展开式的第二项的二项式系数也不超过 6，即当 n=4 时，各项的二项式系数分别是 1，4，6，4，1，恰好有 5 项二项式系数不超过 6。当 n=5，各项的二项式系数分别是 1，5，10，10，5，1，没有 5 项二项式系数不超过 6.当 n=6，各项的二项式系数分别是 1，6，15，20，15，6，1，没有 5 项的二项式系数不超过 6.所以，所求 n 的值等于 4.（3）展开式第r+1 项的系数是展开式种的第一项

10、系数等于 1，不超过 6；要展开式有 5 项，展开式种所有偶数项的习俗均为负，故偶数项不能超过 4 项，即（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可【解答】解：（1）这这 20 名工人年龄的众数为 30，极差为 4019=21；当 n=4 时，各项的习俗分别是 1，-8，24，-32，16，没有 5 项系数不超过 6.类似地，n=5,n=6 时，展开式种都没有 5 项系数不超过 6.当 n=7 时，第 1，2，4，6，8 项的习俗不超过 6.当 n=8 时，第 1，2，4，6，8 项的习俗不超过 6.所以，所求 n 的值等于 7 或者 8.、19. 某车间 20 名工人年龄数据如下表：茎叶图

11、如下：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（3）年龄的平均数为：=30这 20 名工人年龄的方差为S2=（1930）2+3（2830）2+3（2930）2+5（3030）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）2=12.6【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题20. （本题满分 14 分）已知三次函数为奇函数，且在点的切线方程为(1)求函数的表达式；(2)已知数列的各项都是正数,且对于,都有,求数列的首项和通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列满足,求数列的最小值.求这 20 名工人年龄的众数与极差；以十位数为茎，个位

12、数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；求这 20 名工人年龄的方差参考答案：【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；解：(1) 为奇函数，即Ks5u3 分，又因为在点的切线方程为参考答案：(2)当时，ks5u4 分若时, 数列的最小值为当时,(2)由题意可知：.若时, 数列的最小值为, 当时或+ks5u所以若时, 数列的最小值为,当时,由式可得5若时,数列的最小值为,当时分当，14 分由-可得:为正数数列. 6 分21. 已知过原点的动直线与圆（1）求线段AB 的中点M 的轨

13、迹 C 的方程；相交于不同的两点A，B（2）是否存在实数，使得直线L：y=k（x4）与曲线C 只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由由-可得:参考答案：0，,【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程是以首项为 1，公差为 1 的等差数列,Ks5u8 分【分析】（1）设当直线l 的方程为y=kx，通过联立直线l 与圆 C 的方程，利用根的判别式大于 0、1韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（2）通过联立直线L 与圆C 的方程，利用根的判别式=0 及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线19 分斜率，即得结论【解答】解：（1）设 M（x，y），（注意

14、：学生可能通过列举然后猜测出，扣 2 分，即得 7 分）点 M 为弦AB 中点即C MAB，1(3) ,即，令,10 分线段 AB 的中点M 的轨迹的方程为；(1)当时,数列的最小值为当时,11 分（2）由（1）知点M 的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端略点），且，又直线 L：y=k（x4）过定点D（4，0），当直线 L 与圆 C 相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线L：y=k（x4）与曲线C 只有一个交点证法 1：推导出EFA B，EFAB ，从而EF平面A ABB ，由此能证明平面A BE平面A ABB 1111111证法 2：取AB 中点G，连接EF，CG，F

15、G，推导出四边形CEFG 为平行四边形，从而CGEF，进而CG平面 A ABB ，由此能证明平面A BE平面A ABB 11111【解答】证明：（）连接AB ，交A B 于点F，连接DF，11AB C 中，D，F 分别为A B，B C 中点，1 111 1所以 DFAC 1因为 DF?平面 A BD，AC ?平面 A BD，111所以 AC 平面A BD11解：（）存在点E，为CC 中点，使得平面A BE平面A ABB 1111证明如下：22. 如图，底面为正三角形的三棱柱ABCA B C中，侧棱垂直于底面，D 为线段B C中点方法 1：A BE 中，因为A E=BE，且F 为 A B 中点，

16、所以，EFA BAB E 中，同理有EFAB 1 1 11 1111111（） 证明：AC 平面A BD；因为 A BAB =F，A B，AB ?平面 A ABB ，所以EF平面A ABB 1111111111（） 在棱CC 上是否存在一点E，使得平面A BE平面A ABB ？若存在，请找出点E 所在位置，并1111给出证明；若不存在，请说明理由又 EF?平面A BE，所以，平面A BE平面A ABB 1111因为 FGAA ，且，CEAA ，且，11所以 FGCE，且FG=CE，参考答案：所以，四边形CEFG 为平行四边形，所以CGEF方法 2：取AB 中点G，连接EF，CG，FG【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）连接AB ，交 A B 于点 F，连接DF，由 DFA