2021-2022学年高二物理竞赛课件：中心力场问题_第1页
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1、中心力场问题2 中心力场问题一、学习要点1.在中心力场 中，定态波函数 可以表示为其中 满足方程 满足方程与边界条件32.中心力场中，球坐标下的能量本征值方程为利用此哈密顿算符可以判断角动量是守恒量，从而确定一组对易守恒量完全集其共同本征态可以选为后者是球谐函数，是 的共同本征态中心力场中能级的简并度一般为43.在三维无限深方势阱中，定态能量和定态波函数为54.在三维各向异性谐振子势场中，定态能量和定态波函数为65.在类氢离子势场 中，定态能量和定 态波函数为其中 是Bohr半径， 分别是主量子数、轨道量子数和磁量子数，且另：若径向量子数用 表示，则有7提示：这是一个球方势阱问题，且l=0，利

2、用到径向波函数u(r)所满足的方程。另外，有限深势阱问题一般要涉及求解超越方程！ 质量为 的粒子在三维方势阱 中运动， 求存在s波束缚态的条件。解：s波束缚态必定是l=0的基态。设波函数为则u(r)所满足的方程为由波函数统计解释(p99)边条件是作为束缚态，能量范围应该令8则分区写出的u(r)所满足的方程为容易求出满足边条件的解为由波函数连续得由波函数导数连续得上下两式相比，有令上式变为另外由上页的定义可得这是我们知道的超越方程组，其存在束缚态的条件是9 粒子处于三维球壳势阱 中， 求存在束缚态的条件。提示：这仍是一个球方势阱问题思路同上题。另外，要考虑到利用势中波函数导数的跃变条件。解：则u

3、(r)所满足的方程为其中满足条件的解是如何求得？利用边界条件（包含跃变条件）得10两式相比化简，并令 x=2ka 得其解可通过求超越方程得到0 x0 xy将交点x0代入 x=2ka 求得k并代入求得本征能量何时有解？显然唯有此时容易解出存在束缚态的条件11即（2）由（1）可得只要再找一个有关上述两积分的方程即可。利用对易关系则有与前式联立 得12 设粒子的定态波函数 ，其中 与 是常数。已知 。求定态能量 和势能 。 分析：这显然是一个中心力场问题。给出的是定态波函数，去求势函数，因而是一个反问题。其基本思路是，写出球坐标系下的径向定态方程，代入定态波函数，利用所给条件，求出定态能量和势能函数。思考：如何处理 ？13并注意到球谐函数解：将波函数 代入径向方程利用波函数 首先可以求出上式化简后容易得出从而有利用条件从而有这样就有14证

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