信息光学第二章2.2角谱传播

1、 2.2 衍射的角谱理论2.2.1 单色平面波与本征函数在 z=0 平面上的复振幅分布为： 在 z=z0 平面上的复振幅分布为： 可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在x-y平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移: 这说明，相干光场在给定两平面间的传播相当于通过一个线性空间平移不变系统，单色平面波的复振幅分布是这个系统的本征函数。而正好是线性平移不变系统的本征函数。 一定空间频率对应一定的空间传播方向，不同空间频率对应不同的空间传播方向。 用传播角度表示空间频谱角谱。 2.2.2 角谱的传播孔径平面观察平面设标量光波函数用u(x,y,z;t)表示, 则波动方程为:对

2、于单色光场, 有以下形式: u(x,y,z;t)=U(x,y,z)exp(jt)(B)式 它与时间量无关, 是无源各向同性均匀介质中传播的单色光场的复振幅必须满足的波动方程. 对单色光场, 该式与(B)式是等价的. 在求解单色光场的空间分布时, 用亥姆霍兹方程更方便.代入上式, 得:(C)式该式称为亥姆霍兹方程. 真空或空气中, k = 2 / = 2/c , 称为波数. 也就是要考虑角谱是如何从z=0平面传播到z=z平面的。即:研究角谱在传播过程中振幅和相位的变化。 现在要考虑:之间的关系，与Uz(x,y;z) 必须满足亥姆霍兹方程下面将Uz(x,y;z) 代入方程求解，可得到:Uz(x,y

3、;z)是下列分量的线性叠加，各分量之间构成正交系，因此每一分量也必须满足亥姆霍兹方程代入到亥姆霍兹方程得： 注意到角谱仅是z的函数，而复指数函数中不含有z，仅是x,y的函数，从而可得角谱所满足的微分方程：它的一个基本解(另一个解是倒退波, 此处不予讨论)是:由初始条件得：所以得到：该式给出了两个平行平面之间的角谱传播规律。 此式表明：已知z0平面上角谱后，利用上式可求出它传播到z平面上的角谱. 再由IFT，即可求得其光场分布。 讨论： 对于某一确定的(,), 该式表示沿空间某一确定方向传播的平面波. 当(,)取不同值时, 该式表示光场中各个角谱分量的传播情况. (1) 当 时,是实数.该式说明

4、: 经过 z 距离的传播, 光场中各个平面波分量的振幅不变，只是改变了各自的相对相位. 由于各个平面波分量沿不同方向传播，它们到达给定平面所经过的距离不同, 相位改变也不同。或者说相位改变量与空间频率(或传播方向)有关。(2) 当 时随 z 的增大, 迅速衰减，在几个波长的距离几乎衰减为0。这些方向上的波动分量称为倏逝波。在标量衍射近似条件下，可忽略不计。(3) 当 时,垂直于z轴，在z轴方向上的净能流为0，对角谱传播无贡献因为:所以:Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函数的频谱，传递函数为： uv1 它表明，系统的传递函数相当于一个低通滤波器，具有有限的带宽，

5、其截止频率为1/。在频域平面上，这个滤波器相当于半径为1/的圆孔区域。 频率小于1/，模为1，对各种频率成分的振幅无影响，但要引入与频率有关的相移。频率大于1/，被截止。光波衍射传播过程是一个低频滤波过程。 从空域中来看，比波长还小的精细结构信息，或者说空间频率高于1/的信息成分，在波长为的单色平面光波照明下，不能沿z方向向前传播。 d sinq = nl for d lNo diffraction when d l. Information not transferred to plane P1.2.2.3 孔径对角谱的作用（影响）衍射屏、衍射屏的复振幅透过率(或反射率）1 衍射屏及其复振幅

6、透过率(或反射率） 衍射屏：只要能以某种方式对入射光波的波面进行调制（包括振幅调制，相位调制等）,就可称之为衍射屏。 衍射屏的复振幅透过率（反射率）: 衍射屏对入射光波调制作用的数学描述, 它是描述衍射屏宏观光学性质的函数. 可用t(x,y)或r(x,y)表示.Uin(x,y)Uout(x,y)t(x,y)或t(x,y) 可实可复，一般可表示为:t(x,y) = A(x,y) expj(x,y)A(x,y) 是振幅透过率, (x,y)是相位透过率 当(x,y)= 常数, 但A(x,y) 常数时, 只对入射光波的振幅进行调制，称之为振幅型的。 当A(x,y) = 常数, 但(x,y) 常数时,

7、只对入射光波的相位进行调制，称之为相位型的。 当A(x,y) 常数, 且(x,y) 常数时, 对入射光波的振幅和相位都进行调制，称之为复合型的。 如：1）光学均匀的平面平行玻璃板相位型2）非平行平面玻璃板，或非光学均匀的平行平面玻璃 板 相位型3）各种不透明屏上的开孔 振幅型 （以前讲过的单缝、双缝、矩孔、圆孔、光栅）4）图像透过率片 振幅型，相位型，或复合型5）空间光调制器（SLM） 振幅型，相位型，或复合型2 衍射屏对角谱传播的影响 空间受限的衍射屏，展宽了入射光波的角谱。空间受限越厉害，角谱展宽越大。卷积运算的展宽效应，导致：衍射屏的引入使入射光波的角谱(空间频谱）展宽。在出射光波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的平面波成分，这就是衍射波。对于用单位振幅的平面波垂直入射的情况: 出射光波的角谱等于衍射屏的角谱，大大展宽了。空域中空间上的限制，导致频域频谱的展宽。作业：（1）尺寸