《差分方程》课程教学大纲

1、差分方程课程教学大纲 课程编码：171120071课程性质：专业方向任选课程适用专业： 信息与计算科学专业学时学分： 24学时 2学分所需先修课：数学分析高等代数、常微分方程编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明 1、课程简介在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。是用来描述自然现象变化规律的一种重要工具，如在种群生态学中用来描述种群数量的变化规律，在经济学中描述价格和产量，消费、投资和收入等等之间的关系。总之今年来差分方程的研究一直是人们关注

2、的热点。其实差分方程就是微分方程离散化所得的方程。而从数学的角度来说，连续的结果与离散的结果是可以相互通达的。我们之所以单独开设这门课程，是因为在生产实际和科学研究中遇到的微分方程往往和复杂，在很多情况下都无法给出解的解析表达式，因此其离散化所得的差分方程往往更具有应用价值；另一方面，差分方程所表达的离散系统常常与相应的连续系统有完全不同的特性，有自己的理论基础。同时生命科学、化学、物理学、控制等领域有不少现象只能用这种离散的数学模型来描述。故系统的开展对差分方程的研究，不仅有其重要的理论意义，而且具有实际应用价值。 2、教学目标要求 1、了解和掌握低阶和高阶差分算子、位移算子、恒等算子的概念

3、和他们之间的关系；2、理解和掌握差分算子的一些性质；3、掌握对数函数、指数函数、三角函数求差分的方法；4、了解幂指函数、Sterling数与逆Sterling数的概念；理解和掌握利用幂指函数求幂多项式差分的方法；5、掌握求不定和、确定和的方法；6、了解有关线性差分方程、差分方程初值问题的概念；了解和掌握Casorati矩阵、函数线性相关性、差分方程解基的定义；7、会利用Casorati矩阵判断差分方程解的线性相关性，掌握求解常系数线性差分方程的方法；8、了解差分方程正解存在性、稳定性、周期解等理论；9、了解差分方程一些前沿的研究。3、教学重点难点高阶差分算子的定义和高阶差分算子与高阶位移算子之

4、间的关系，利用阶乘幂函数求幂函数的差分，不定和、确定和的求法、Casorati矩阵，如何利用Casorati矩阵判断函数之间的线性关系，常系数线性差分方程的解法，判断差分方程解序列的性质的方法，线性差分方程组解法，差分方程的定性问题、差分方程一些前沿的研究。4、考核方式 本课程是考查课，考试的形式是闭卷，成绩平时40%、期末60%。5、学时分配表章次教学内容理论课学时数实验（实践）课学时数第一章差分演算80第二章线性差分方程100第三章差分方程的研究60小计240总计24二、各部分教学纲要第一章 差分演算（8学时）教学目标1、了解和掌握差分算子、位移算子、恒等算子的概念和他们之间的关系；2、了

5、解高阶差分算子的定义和高阶差分算子与高阶位移算子之间的关系；3、理解和掌握差分算子的一些性质；4、掌握对数函数、指数函数、三角函数求导差分的方法；5、了解幂指函数、Sterling数与逆Sterling数的概念；6、理解和掌握利用幂指函数求幂多项式差分的方法；7、掌握求不定和、确定和的方法。本章重点 差分算子、位移算子、恒等算子、三个算子之间的关系、高阶差分算子、高阶位移算子、高阶算子之间的关系、差分算子的的性质、阶乘幂函数、阶乘多项式、Sterling数、逆Sterling数、各阶Sterling数和逆Sterling数之间的关系、周期函数、不定和、确定和。本章难点 算子之间的关系、莱布尼兹

6、法则、阶乘幂函数、阶乘多项式、利用Sterling数和逆Sterling数进行阶乘幂多项式和幂多项式之间的转换、不定和和确定和的求法。教学内容第一节 第1次差分函数一、算子定义（一）差分算子（二）移位算子（位移算子）（三）不变算子（恒等算子）二、三个算子之间的关系第二节 二阶与高阶差分一、高阶算子定义（一）高阶差分算子（二）高阶移位算子二、高阶算子之间的关系第三节 差分算子的一些性质一、一阶差分算子的性质二、高阶差分算子的性质第四节 初等函数的差分一、幂函数的差分求导（一）阶乘幂函数的定义及差分求导（二）二项函数高阶移位算子（三）阶乘多项式二、对数函数、指数函数、三角函数的差分求导三、幂函数的

7、差分（一）Sterling数和各阶Sterling数之间的关系（二）逆Sterling数和各阶逆Sterling数之间的关系（三）利用Sterling数和逆Sterling数求幂函数的差分第五节 求和法一、周期函数（一）周期函数定义（二）周期函数的性质和判定二、不定和（一）不定和定义（二）不定和求解三、确定和（一）确定和定义（二）确定和求解思考题1、各离散算子之间有哪些区别与联系？2、离散算子与连续算子有哪些异同？3、是不是所有的函数都可以作差分演算？4、如何利用差分来求和？第二章 线性差分方程（10学时）教学目标1、理解有关序列的基本性质；2、了解有关线性差分方程、差分方程初值问题的概念；3

8、、理解线性差分方程解的存在唯一性定理；4、了解和掌握Casorati矩阵、函数线性相关性、差分方程解基的定义；5、会利用Casorati矩阵判断差分方程解的线性相关性；6、掌握求解常系数线性差分方程的方法和判断差分方程解序列的性质的方法；7、了解线性差分方程组的解法。本章重点序列、线性方程、n阶线性差分方程初值问题、存在唯一性定理、一阶差分方程的解法、Casorati矩阵、方程组解之间线性关系的判断、线性方程解的性质、常系数线性差分方程的的解、差分方程解序列的性质、线性差分方程组的解法本章难点 Casorati矩阵，如何利用Casorati矩阵判断函数之间的线性关系，常系数线性差分方程的解法，

9、判断差分方程解序列的性质的方法，线性差分方程组解法教学内容第一节 序列一、序列的定义二、序列的敛散性三、序列的分类（一）收敛序列（二）发散序列第二节 线性差分方程一、算子二、线性差分方程的定义第三节 存在性与唯一性一、存在唯一性定理（一）差分方程解的定义和初值问题（二）存在唯一性定理二、一阶差分方程的求法第四节 一般理论一、函数之间的线性关系（离散下）二、Casorati矩阵三、利用Casorati矩阵判断函数之间的线性关系四、线性方程解的性质（一）通解的定义（二）齐次方程解之间的关系（三）齐次和非齐次方程解之间的关系第五节 常系数线性差分方程一、齐次常系数线性差分方程的解法（一）低阶齐次常系

10、数线性差分方程的解法（二）高阶齐次常系数线性差分方程的解法二、非齐次常系数线性差分方程的解法（一）待定系数法（二）常数变异法第六节 差分方程解的敛散性和平衡点问题一、差分方程解的敛散性（一）齐次差分方程解的敛散性（二）非齐次差分方程解的敛散性二、平衡点（一）平衡点定义（二）最终平衡点定义（三）稳定性定义和其判定定理第七节 线性差分方程组一、线性方程组的解法（一）差分方程组定义（二）齐次差分方程组解法（二）非齐次差分方程组解法二、解的结构基本原理 思考题1、差分方程和微分方程有什么异同？2、差分方程求解时有哪些特点？3、差分方程的解本质是什么？第三章 差分方程研究（6学时）教学目标了解差分方程的

11、应用范围和前景，了解差分方程的研究内容、重点和方向。本章重点正解存在性、稳定性、周期解、振动性、渐进性、模型。本章难点 差分方程应用范围和前景的理解、差分方程定性问题的理解。教学内容第一节 有关差分方程建模、模型解的性质、有关差分方程的发展过程和研究方向的讨论一、差分方程建模和模型解的性质（一）差分方程建模举例（二）模型解的性质二、有关差分方程的发展过程和研究方向的讨论（一）差分方程的发展史（二）差分方程的研究方向第一节 差分方程正解存在性、稳定性、周期解、振动性、渐近性等理论的介绍一、差分方程的正解存在性二、差分方程解的稳定性三、差分方程的周期解四、差分方程解的振动性五、差分方程解的渐近性 思考题1、为什么要讨论差分方程解的性质？2、差分方程解的各性质之间有没有联系？3、差分方程在实际生活中有没有