复习讲义文科第五章-5

1、5.3平面向量的数量积1两个向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，AOB(0180)叫作向量 a 与 bOAOB的夹角2平面向量的数量积已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 ，记作 ab|a|b|cos .平面向量数量积的几何意义把|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，3数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos方向上的射影|a|cos 的乘积平面向量数量积的重要性质 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b4(1)eaae|a|cos ；(2)a，b，abab0； (3)|a| aa； ab (4)cos ；|a|b|(5

2、)|ab|_ |a|b|.平面向量数量积满足的运算律5(1)abba； (2)(a)b(ab)a( b)； (3)(ab)cacbc.平面向量数量积有关性质的坐标表示6设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2 或|a| x2y2.(2)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)ABC

3、 内有一点 O，满足 0，且 ，则ABC 一定是等OAOBOCOAOBOBOC腰三角形()(4)在四边形 ABCD 中， 且 0，则四边形 ABCD 为矩形ABDCACBD()(5)两个向量的夹角的范围是0，2()4(6)已知 a(，2)，b(3，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是 0.(2012陕西)设向量 a(1，cos )与 b(1,2cos )垂直，则 cos 2 等于()2() 2A.B.12C02D1C利用向量垂直及倍角公式求解a(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos20，cos21，cos 22cos21110.23 已知向量 a，b 的夹

4、角为 60，且|a|2，|b|1，则向量 a 与向量 a2b 的夹角等于()A150DB90C60D30|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2 3，a( a2b)|a|a2b|cos 22 3cos 4 3cos ，又 a( a2b)a22ab44cos 606， 34 3cos 6，cos 2 ，0，180，30，故选 D. ACAB1BCBA4在ABC 中，2，则 AB 边的长度为()|AB|B3|BA|A1C5D9BAB 表示在方向上的向量AB|AB| 设ABC 各边分别为 a，b，c，则ACABbcos A1，|AB| 同理，BCBAacos B2.|BA|b c 2

5、22a，b12bc由余弦定理a c 222b，a22ac解方程组得 c3 或 0(舍)故选 B.5已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的射影为 65 5 ab 设 a 和 b 的夹角为 ，|a|cos |a|a|b|24371365.5654 722题型一 平面向量数量积的运算例 1(1)在 RtABC 中，C90，AC4，则 等于ABAC()A16B8C8D16(2)(2012)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为DECB； 的最大值为DEDC思维启迪 (1)C90，可选取向量 ， 为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；CA CB

6、(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义(1)D(2)11 (1)方法一 ABAC(CBCA)(CA) 2CBCACA 16.方法二 在 方向上的射影是 AC，ABAC 2ABAC|AC| 16.(2)方法一以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1.因为 DC(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1，故 DEDC的最大值为 1.方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置， 在 方向上的射影都是 CB

7、DECB1， DECB|CB|11，当 E 运动到 B 点时， 在 方向上的射影最大即为 DC1， (DEDC)|DC|1maxDEDC1.思维升华 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件已知点 A，B，C 满足 3， 4， 5，则 |AB|BC|CA|ABBCBCCACAAB的值是25方法一 如右图，根据题意ABC 为直角三角形，且 B，cos A3，cos C4，255 ABBCBCCACAAB BCCACAAB45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A4153205525.ABBCC

8、A0，方法二将其两边平方 2 2 2 AB BC CA 2(ABBCABCABCCA)0，故 ABBCABCABCCA1 2 2 22(AB BC CA )25.题型二 求向量的夹角与向量的模例 2(1)(2012课标)已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|.(2)(2013山东)已知向量与 的夹角为 120，且 3， 2.若 ，ABAC|AB|AC|A P ABAC且 APBC，则实数 的值为思维启迪 利用数量积的定义 ab|a|b|cos .(1)3 2(2) 712(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解a，b 的夹角为 45，|a|1，ab|a|b|c

9、os 45 2|b|，2 2|2ab|244|b|210，|b|3 2.2 |b|(2)由 APBC知APBC0，即 APBC(ABAC)(ACAB) (1)ABACA B AC22(1)321940，解得 7 .212思维升华 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| aa要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(1)已知向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为()A.6B.4C.3D.2(2)已知向量 a(1，3)，b(1,0)

10、，则|a2b|等于()A1B. 2(1)C(2)CC2D4(1)cosa，b ab 1，a，b3.|a|b| 2(2)|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.题型三 数量积的综合应用例 3已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C3，求ABC 的面积思维启迪 (1)由 mnABC 的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由 mp 得 a、b 关系，再利用余弦定理得 ab，代入面积公式(1)证明 mn，asi

11、n Absin B，即 a a b b ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，2R2Rab.ABC 为等腰三角形(2)解 由题意可知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去 ab1)，S112absin C24sin 3 3.思维升华 以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法(2013江苏)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab| 2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求

12、 ， 的值(1)证明 由|ab| 2，即(coscos)2(sinsin )22，整理得 cos cossin sin 0，即 ab0，因此 ab.cos cos 0(2)解 由已知条件，sin sin 1又 00.AB又 |AB|10，2，AB(6，8)，又 A(1,2)，B 点坐标为(7，6)在ABC 中，A90，AB1，AC2.设点 P，Q 满足， (15 (2012APABAQ )AC，R.若BQCP2，则 等于()124A.3B.3C.3D2B BQAQAB(1)ACAB， CPAPACABAC，2 2 2BQCP(1)AC AB 4(1)342，即 3.二、填空题6 (2012)设

13、向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|. 2利用向量数量积的坐标运算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m1 a(1，1)，|a|2.2.7 (2013课标)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 .AEBD2由题意知： AEBD(ADDE)(ADAB)1 (AD2AB)(ADAB)1 1 2 2AD 2ADAB2AB 4022.8 已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是36(，6)，23，由 ab 得：由 ab 0，即 230，解得 2

14、3，且 6.6，即 6.因此 2三、解答题 ，ab，求：9已知向量 a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，2)(1)|ab|； 的值(2)cos(4)解 (1)因为 ab，所以 ab435cos (4tan )0，解得 sin 35.又因为 (0， ，2)所以 cos 4，tan sin 3，5cos 4所以 ab(7,1)，因此|ab|72125 2.(2)cos( cos cossin sin 44)44 23 2 25 2 5 2 10 .10已知ABC 的内角为 A、B、C，其对边分别为 a、b、c，B 为锐角，向量 m(2sinB， 3)，n(cos 2B,2cos2B1

15、)，且 mn.2求角 B 的大小；如果 b2，求 SABC 的最大值解 (1)mn2sin B(2cos2B1) 3cos 2B02sin 2B 3cos 2B02sin(2B 0(B 为锐角)3)2B2B3.3a2c2b2(2)cos Baca2c242ac4ac4.2ac11 32acsin B24 2 3.B 组 专项能力(时间：30 分钟)SABCABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2， 0，且 ，则 在 方向1OAABAC|OA|AB|CACB()上的射影为A1B2C. 3D3C如图，设 D 为 BC 的中点，由 0，OAABAC得AO2AD，A、O、D 共线且 ，|AO|2|AD|

16、又 O 为ABC 的外心，AO 为 BC 的中垂线， |AC|AB|OA|2，|AD|1，|CD| 3，CA在CB方向上的射影为 3.2 (2013湖南)已知 a，b 是是向量，ab0，若向量 c 满足|cab|1，则|c|的取值范围()A 21， 21C1， 21B 21， 22D1， 22Aab0，且 a，b 是向量，|a|b|1.又|cab|2c22c( ab)2aba2b21，2c( ab)c21.|a|b|1 且 ab0，|ab| 2，c212 2|c|cos ( 是 c 与 ab 的夹角)又1cos 1，0b，求 a，b 的值解 (1)f(x)2sin2x2 3sin xcos x

17、3，且1cos 2x2 3sin xcos x 3sin 2xcos 2x12sin(2x 1.6)由 2k2x2k，kZ，622得 k 3xk ，kZ，6f(x)的单调增区间是k，k(kZ)36(2)f(C)2sin(2C 11，6)sin(2C 1，6)C 是三角形的内角，2C，即 C6.62a2b2c23cos C 2 ，即 a2b27.2ab将 ab2 3代入a2127，a2解得 a23 或 4.a 3或 2，b2 或 3.ab，a2，b 3.5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(1,2)，又点 A(8,0)，B(n，t)， C(ksin ，t)(02)(1)若a，且 ，求向量 ；AB|AB|5|OA|OB(2)若向量 与向量 a 共线，当 k4，且