合情推理与演绎推理

1、合情推理与演绎推理第1页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二1主要内容:一、推理及其分类二、演绎推理三、合情推理四、如何培养学生的合情推理能力第2页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二2一、推理及其分类1,什么是推理 推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。第3页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二3一、推理及其分类2, 推理分类推理演绎推理类比推理归纳推理合情推理 推理按推理过程的思维方向划分，主要有演绎推理、合情推理.合情推理分为归纳推理和类比推理。 第4页，共50页，2022年，5月20日，7

2、点47分，星期二43.合情推理与演绎推理的主要区别:从推理形式上看， 演绎推理是由一般到特殊的推理; 归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理；从推理所得的结论看， 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明； 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。一、推理及其分类第5页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二5一、推理及其分类从对前提真实性要求来看。 演绎推理不要求前提必须真实; 归纳推理则要求前提必须真实; 类比推理要求前提必须真实。 从结论所断定的知识范围来看。 演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围。 归纳

3、推理除了完全归纳推理，结论都超出了前提所断定的知识范围。 类比推理结论可能超出前提所断定的知识范围。 第6页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二6一、推理及其分类演绎推理如果要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识。 归纳推理离不开演绎推理。其一，为了提高归纳推理的可靠程度，需要运用已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性，这就要用到演绎推理。其二，归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论。4.合情推理与演绎推理的主要联系:第7页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二7 俄国化

4、学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律，指出,元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性变化。后用演绎推理发现，原来测量的一些元素的原子量是错的。于是，他重新安排了它们在周期表中的位置，并预言了一些尚未发现的元素，指出周期表中应留出空白位置给未发现的新元素。一、推理及其分类第8页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二8从数学学科发展的角度来看: 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。 数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。 我们不仅要学会证明，也要学会猜想。人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理

5、化、系统化。一、推理及其分类第9页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二9二、演绎推理演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。演绎推理也称为逻辑推理。第10页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二10“三段论”是演绎推理的一般形式，包括： 大前提 已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结 论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：三角形内角和是180度，有一个图形是三角形，它的内角和一定是180度.二、演绎推理第11页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，

6、星期二11演绎推理例子:几何原本 几何原本列出了五条公设与五条公理，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了465条数学命题。几何原本的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形。其推理形式主要是演绎推理.第12页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二12第13页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二13第14页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二14第15页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二15第16页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星

7、期二16第17页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二17三、合情推理1.合情推理: 合情推理又称似真推理，是一种合乎情理，结论好像为真的推理，它是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、公理、定理等 ) 、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。 合情推理分为:归纳推理和类比推理 第18页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二18合情推理通常具有下列特征 : (1) 思维形式的直觉性、猜测性，思维过程的跳跃性和非常规性。 (2) 经验性。表现为与个人原有的知识和经验密切相关。 (3) 思维方式的自由性。常表现为较少受逻辑规则的严格约束

8、和限制，以及数学表述的非形式化。 (4) 结论的或然性。即合情推理的结果不能保证绝对正确。三、合情推理第19页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二192.归纳推理: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一般结论，（简称归纳）部分推出整体，个别推出一般。例如: 天下乌鸦一般黑. 燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个判断：天要下雨了.直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。 三、合情推理第2

9、0页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二20由下图可以发现什么结论？1=12,1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+(2n-1)=n2，归纳推理的例子：第21页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二21数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E, 它们之间有什么关系.归纳推理的例子：欧拉公式第22页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二22多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔归纳推理的例子：欧拉公式第23页，共50页

10、，2022年，5月20日，7点47分，星期二23多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812正八面体8612五棱柱截角正方体尖顶塔归纳推理的例子：欧拉公式第24页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二24多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812正八面体8612五棱柱71015截角正方体71015尖顶塔9916F+V-E=2归纳推理的例子：欧拉公式第25页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二25费马数法国数学家费马提出猜想:任何形如 的数都是质

11、数.归纳推理的例子:F0=2（20)+1=3 F1=2（21）+1=5 F2=2（22）+1=17 F3=2（23）+1=257 F4=2（24）+1=65537 F5=6416700417 F6 = 274177 67280421310721 F7 = 59649589127497217 5704689200685129054721 反例与证明的价值是同等重要的！只有1和它本身两个约数的自然数，叫质数（素数）。第26页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二26任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和不小于6的偶数奇质数奇质数归纳推理的例子:歌德巴赫猜想第27页，共50页，2

12、022年，5月20日，7点47分，星期二2763+3， 100029+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,， 根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和歌德巴赫猜想的提出过程：归纳推理的例子:歌德巴赫猜想第28页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二28不小于6的偶数奇质数奇质数任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和记作a+b。 a=1;b=1?第29页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二29第30页，共50页，2

13、022年，5月20日，7点47分，星期二303.类比推理: 由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。例如:黄河断流的原因淮河断流的原因鲁尔区综合整治的主要措施山西煤矿的产业结构调整 平面几何-球面几何第31页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二31若 ， 则 若 ， 则 利用平面向量的性质类比得空间向量的性质空间向量平面向量第32页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二32圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心

14、较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的表面积圆的周长 圆的面积第33页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二33类比平面内直角三角形的勾股定理，给出空间中四面体性质的猜想oABCs1s2s3abcc2

15、=a2+b2S2ABC =S2AOB+S2AOC+S2BOC猜想:第34页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二34在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论. 平面上 空间中图形结论ABCPpapbpcABCDP第35页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二35四.如何培养学生的合情推理能力1.养成总结的习惯（1）复习（2）整理（3）归纳（4）总结（8）自觉养成总结习惯归纳、总结第36页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，

16、星期二36四.如何培养学生的合情推理能力2.尝试(试验) 在数学学习、教学与研究中，尝试是不容忽视的。学生可以通过亲自动手操作，从中探究、学习和发现数学规律，从而达到提高学生数学素养和综合能力的目的。给学生时间,机会,不要怕学生犯错误第37页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二37四.如何培养学生的合情推理能力3.比较 比较是一种学习的方法。一般来说，比较所根据的相似属性越多，相似属性之间相互关联程度越高，相似数学模型越精确，则比较的应用也就越可靠。在数学的学习和教学中，类比不仅是一种推理方法，也是一种寻求解题思路、猜测问题答案和结论发现方法。例题的作用第38页，共50页，2

17、022年，5月20日，7点47分，星期二38四.如何培养学生的合情推理能力4.联想 联想是人们在认识事物过程中，通过一个事物的触发而迁移到另一个事物的思维。联想可以克服两个概念在某种意义上的差距，并在另一种意义上将两者连接起来，形成一种新颖的思想，因此联想思维是创造性思维的重要表达形式。知识间的联系第39页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二39四.如何培养学生的合情推理能力5.直觉 直觉就是直接的觉察，它是人脑对客观事物的一种迅速识别、敏锐而深入的洞察或领悟；是人们自觉或不自觉考虑某一个问题时，在头脑中突如其来的一种创造性设想。广义的直觉是指包括直接的认识、情感和意志活动在

18、内的一种心理现象。第40页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二40四.如何培养学生的合情推理能力6.猜想 猜想是不知其真假的数学叙述，它一般被看做是正确的，但暂时没有被证明或反证。当猜想被证明后，它便成为定理。当找到反例时，猜想就被推翻。数学猜想大都因为类比推理，不完全归纳而产生，也有偶然发现的巧合而出现。并非所有的猜想都能解决。第41页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二41地图的”四色猜想”歌尼斯堡七桥猜想卡拉比猜想数学中的猜想欧氏第五公设猜想西塔潘猜想费马大定理第42页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二42欧氏第五公设猜想数学中的猜

19、想:欧氏几何同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于而直角，则这一直线经无限延长后在这一侧相交。黎曼几何在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。罗氏几何从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行非欧几何第43页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二43费马大定理当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 无正整数解。 3+4=5,5+12=13.维尔斯于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理” 。 数学中的猜想:第44页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二44地图的“四色猜想”数学中的猜想: 每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的地区着上不同的颜色。 第45页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二45歌尼斯堡七桥猜想 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。数学中的猜想:第46页，共50页，2022年，5月20日，7点47分，星期二46 卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉