专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(学生版)

1、专练 21 二次函数的图像变换问题1.已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A(3，0)，B(1，0)两点(如图 1)，顶点为 M.(1)a、b 的值；(2)设抛物线与 y 轴的交点为 Q(如图 1)，直线 y=2x+9 与直线 OM 交于点 D现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上.当抛物线的顶点平移到 D 点时，Q 点移至 N 点，求抛物线上的两点 M、Q 间所夹的曲线 MQ 扫过的区域的面积；(3)设直线 y=2x+9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D(如图 2).现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD上.若平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)没有公共点时，试探求其顶点

2、的横坐标 h 的取值范围.2.定义：如果一条抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.(1)抛物线 yx223 x 对应的“特征轴三角形”是_；抛物线 y12x22 对应的“特征轴三角形”是_.(把下列较恰当结论的序号填在横线上：腰与底边不相等的等腰三角形；等边三角形；非 等腰的直角三角形；等腰直角三角形.)(2)若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出 a 的值.(3)如图，面积为 123 的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x

3、 轴的正半轴上，AC 与 OB 相交于点 E， eq oac(,若) eq oac(, )ABE是抛物线 yax2+bx+c 的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.2 1 21 2 2 1 1 2 1 2 3 4 3 3 4 1 2 1 21 2 1 21 3.已知抛物线 y = x2 2mx + m2 + 2m 2 ，直线 l : y = x + m ，直线 l : y = x + m + b1 2(1)当 m=0 时，若直线 l 经过此抛物线的顶点，求 b 的值(2)将此抛物线夹在 l 与l之间的部分(含交点)图象记为 C ，若-32 b 0 ，判断此抛物线的顶点是否在图象 C 上，并说

4、明理由；图象 C 上是否存在这样的两点： M(a, b )和 N(a , b ) 1 1 2 2，其中 a a , b b 1 2 1 2？若存在，求相应的 m和 b 的取值范围4.若抛物线 l 的顶点 A 在抛物线 l 上，抛物线 l 的顶点 B 在抛物线 l 上(点 A 与点 B 不重合)，我们把这样的两抛物线 l， l称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。(1)在图 1 中，抛物线 l值为_；：y=-x2+4x-3 与 l ：y=a(x-4)2-3 互为“伴随抛物线”，则点 A 的坐标为_，a 的(2)在图 2 中，已知抛物线 l：y=2x2-8x+4，它的“伴随

5、抛物线”为 l， 若 l与 y 轴交于点 C，点 C 关于 l的对称轴对称的点为 D，诸求出以点 D 为顶点的 l的解析式；(3)若抛物线 y=a (x-m)2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为 y=a (x-h)2+k，请写出 a 与 a 的关系式，并说明理由。5.二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点 A(x， 0)、B(x ， 0)，且(x +1)(x +1)= -8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿 x 轴向右平移 2 个单位，设平移后的图象与 y 轴的交点为 C，顶点为 P， eq oac(,求) eq oac(, )POC 的面积

6、.(3)在(2)的条件下，若自变量 x 在 m xm+3 时，函数的最小值为-5，则 m_.6.已知抛物线 y = x2 2x + 3 与 x 轴交于点 A，B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. 1 2 1 21 3 3 1 1 21 2 (1)直接写出点 A，B，C 的坐标；(2)将抛物线 y 经过向下平移，使得到的抛物线与 x 轴交于 B， B 两点( B 在 B 的右侧)，顶点 D 的对应点 D ，若 BDB= 90，求 B的坐标和抛物线 y 的解析式；(3)在(2)的条件下，若点 Q 在 x 轴上，则在抛物线 y 或 y 上是否存在点 P，使以 B, C, Q, P

7、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于(p,0)，(q,0)，则该抛物线的解析式可以表示为： y=a(x-p)(x-q)=ax2-a(p+q)x+apq.(1)若 a=1，抛物线与 x 轴交于(1,0)，(5,0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若 a=-1，如图(1)，A(-1,0)，B(3,0)，点 M(m,0)在线段 AB 上，抛物线 C 与 x 轴交于 A，M，顶点为 C；抛物线 C2与 x 轴交于 B，M，顶点为 D.当 A，C，D 三点在同一条直线上时，求 m

8、 的值；(3)已知抛物线 C 与 x 轴交于 A(-1,0)，B(3,0)，线段 EF 的端点 E(0,3)，F(4,3).若抛物线 C 与线段 EF 有公共 点，结合图象，在图(2)中探究 a 的取值范围.8.如图，二次函数 y = a(x m)2+ n 、 y = 6ax 22+ n (a 0, n 0) 的图像分别为 C 、 C ，C1交 y 轴于点 P ，点 A 在 C 上，且位于 y 轴右侧，直线 PA 与 C 在 y 轴左侧的交点为 B .1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 21 21 21 21 1 1 1 21 21 22 2 2 1 1 11 1 1

9、1 : y = a(x ) +与 x 轴交于点 A(2 (1)若 P 点的坐标为 (0,2) ， C 的顶点坐标为 (2,4) ，求 a 的值； (2)设直线 PA 与 y 轴所夹的角为 .当 = 45 ，且 A 为 C 的顶点时，求 am 的值；若 = 90 ，试说明：当 a 、 m 、 n 各自取不同的值时，PAPB的值不变；(3)若 PA = 2PB ，试判断点 A 是否为 C 的顶点？请说明理由.9.阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数 ya x2+b x+c (a 0，a 、b 、c 是常数)与 ya x2+b x+c (a 0，a 、b

10、 、c 是常数)满足 a +a 0，b b ， c +c 0，则这两个函数互为“旋转函数”求函数 y2x23x+1 的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a 2，b 3，c 1，根据 a +a 0，b b ， c +c 0，求出 a ， b ， c 就能确定这个函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：(1)写出函数 yx24x+3 的旋转函数(2)已知函数 y2(x1)(x+3)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ， 点 A、B、C 关于原点的对称点分别是 A 、B 、C ， 试求证：经过点 A 、B 、C 的二次函数与 y2(x1)(x+3)

11、互为“旋转函数”10.如图 1 所示，在平面直角坐标系中，抛物线 F y 轴交于点 C2 64 65 15 5, 0) 和点 B，与1 1 2 1 2 2 + 6 与抛物线 y = x+ tx + t 2 相交 y 轴于点 C(x + 2)2 2 1 2 1 1 1 2 (1)求抛物线 F 的表达式；(2)如图 2，将抛物线 F 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物线 F ，若抛物线 F 与抛 物线 F 相交于点 D，连接 BD ， CD ， BC 求点 D 的坐标；判断 BCD 的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线 F 上是否存在点 P，使得 BDP 为等腰

12、直角三角形，若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由11.如图 1，抛物线 y = 1 12 2，抛物线 y 1与x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，直线 y OC = ON = kx + 3 交 x 轴负半轴于点 N ， 交 y 轴于点 M ， 且(1)求抛物线 y 的解析式与 k 的值；(2)抛物线 y 的对称轴交 x 轴于点 D ，连接 AC ，在 x 轴上方的对称轴上找一点 E E 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出 DE 的长；，使以点 A，D ，(3)如图 2，过抛物线 y 上的动点 G 作 GH x 轴于点 H ， 交直线 y= kx + 3 于点 Q ， 若点 Q是点 Q 关于直线 MG 的对称点，是否存在点 G(不与点 C 重合)，使点 Q 点 G 的横坐标，若不存在，请说明理由落在 y 轴上？若存在，请直接写出1 51 5 12.如图，抛物线 L: y =x 2 x 3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B. 2 4(1)求直线 AB 的解析