高中数学选择性必修一 3.1 椭圆（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.1椭圆 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据，利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆求解.【详解】由题意得，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其标准方程为，则，从而又三点不共线，点不在轴上，点的轨迹方程为故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的定义求方程，属于基础题.2已知定点，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）A2BCD

2、3【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，然后计算并结合基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点所以所以即当且仅当，即所以的最小值为故选：C【点睛】本题考查椭圆的应用以及基本不等式的应用，审清题意，细心计算，属基础题.3地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中点和点；已知地球公转轨道的长半轴长约为千米，短半轴长约为千米，则该椭圆的离心率约为.因此该椭圆近似于圆形：已知我国每逢春分（月日前后）和秋分

3、（月日前后），地球会分别运行至图中点和点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中点和点，命题正确；，则该椭圆的离心率，命题错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从点到点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题错误.故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的

4、命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.4如图，椭圆的焦点为、，过的直线交椭圆于、两点，交轴于点.若、是线段的三等分点，则的周长为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】求出点的坐标，根据可求得点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，结合椭圆的定义可求得的周长.【详解】由于、是线段的三等分点，则点为线段的中点，又因为点为线段的中点，则，可得点的横坐标为，设点为第一象限内的点，将代入椭圆的方程得，可得，即点，设点，则，由得，解得，所以，点的坐标为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，因此，的周长为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆中三角形周长的计算，考查椭圆

5、定义的应用，解答的关键求出一些关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.5已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】【分析】因为当Q 为椭圆上下顶点时最大，不妨让Q是椭圆上定点，则,则,即可求得离心率取值范围.【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大，,，椭圆离心率取值范围为，故选：D【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，属中档难度题目.6.如图，已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,则点的轨迹为A直线B圆C椭圆D抛物线【答案】B【解析】【分析】延长与的延长线交于点，连接，根据等腰三角

6、形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出的长恰好等于椭圆的长半轴,得到点的轨迹方程为，由此得到答案【详解】延长与的延长线交于点，连接.因为是的外角的角平分线，且，所以在中，且为线段的中点又为线段的中点，由三角形的中位线定理，得由椭圆的定义，得，所以，可得点的轨迹方程为，所以点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆故答案选B【点睛】本题考查椭圆中求动点轨迹，着重考查椭圆的定义，等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题7在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由为平

7、行四边形，则且，则轴，所以两点关于轴对称，再由，可得出点的横坐标，根据条件写出直线的方程，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程结合可得出答案.【详解】以，为邻边作平行四边形，则且.所以轴，所以两点关于轴对称，又设，则，由条件可得直线的方程为所以,即由点在椭圆上可得，又代入得，整理得： 解得故选：B【点睛】本题考查求椭圆方程以和椭圆的性质以及平行四边形的性质的应用，属于中档题.8长方体中，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】首先根据得到，所以的轨迹是以为焦点 的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥的高的最值，即可得到体积的

8、范围.【详解】如图所示：在中，在中，.点的轨迹是以为焦点 的椭圆.如下图所示：，.椭圆的标准方程为：，.联立，解得：.，.当点运动到位置时，此时四棱锥的高最长，.当点运动到或位置时，此时四棱锥的高最短，.综上所述：.故选：D.【点睛】本题主要考查计算四棱锥的体积，同时考查了椭圆的几何性质，将立体思想转化为椭圆思想是解题的关键，属于难题.二、多选题9如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ）A到四点的距离之和为定值B曲线关于直线均对称C曲线所围区域面积必小于36D曲线总长度不大于【答案】BC【解析】【分析】由点在两个椭圆内部重叠区域的边界上可知，当点在

9、上下边界上时，到的距离之和为定值，当点在左右边界上时，到的距离之和为定值，可判断A错误；利用椭圆的对称性可得B正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，在半径为3的圆外部，可判断出，得出答案【详解】易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则到、两点的距离之和为定值，到两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故B正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆中的范围问题等，重点考查学生对基础概

10、念的理解和计算能力，属于中等题10已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A该椭圆的焦距为6B的最小值为2C的值可以为D的值可以为【答案】ABC【解析】【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.【详解】由椭圆，得，故A正确；椭圆上的动点，即有，故的最小值为2，B正确；设，组成的等差数列为，公差，则，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确，D错误.故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.11我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知

11、椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）ABC轴，且D四边形的内切圆过焦点【答案】BD【解析】【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D.【详解】椭圆对于A，若，则，不满足条件，故A不符合条件；对于B，解得或（舍去），故B符合条件；对于C，轴，且，解得，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内

12、切圆的半径为c，解得（舍去）或，故D符合条件故选：BD【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，属于中档题.12已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ）ABCD【答案】BD【解析】【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.根据椭圆的上顶点为，且.可得，可得，设，.利用定义可得：.可得.在中，由余弦定理可得：，代入化简利用离心率计算公式即可得出.【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.椭圆的上顶点为，且.，.不妨设点在第一象限，设，.，.在中，由余弦定

13、理可得：.两边同除以，得，解得：.,.故选：BD.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.三、填空题13一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为_【答案】8【解析】正视图为内切一个圆,且r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根据勾股定理解得x=6,即PA=6,AB=8,PB=10,所以长轴为8.填8.【点睛】对于直角三角形的内切圆有如下性质，如图AD=AE,BD=BF,CE=CF.即同一点

14、引出的切线长相等。14已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为_【答案】【解析】由题意得，又，解得椭圆的方程为椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，从而，解得，所以点Q的坐标为设，则，且，以上两式相减得，故直线的方程为，即答案：点睛：弦中点问题的解决方法（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤设点设出弦的两端点坐标；代入代入圆锥曲线方程；作差两式相减，再用平方差公式把上式展开；整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0；在用“

15、点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交15设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m2n，则该椭圆的离心率的取值范围为_【答案】 ，1）【解析】， ，的最大值，设，则，的最小值为， 由，得，解得，故答案为【方法点晴】本题主要考查平面向量数量积公式、利用椭圆定义与的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一

16、些关系构造出关于的不等式等式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.16设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先计算右焦点，左焦点将转化为，计算的范围得到答案.【详解】，为的右焦点， ，左焦点 故答案为【点睛】本题考查了椭圆取值范围问题，将转化为是解题的关键，意在考查学生对于椭圆性质的灵活运用和计算能力.四、解答题17某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的标准方程；（2）某日

17、，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？【答案】（1）；（2）点的坐标为或【解析】试题分析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分又，则，故5分所以曲线的方程是6分（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，因此设此时距、两岛的距离分别比为7分即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里 8分设，由， 10分， 12分13分点的坐标为或14分考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，

18、很好的体现了数学的妙用18已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上第一象限内的一点，且直线的斜率为.（1）求点的坐标；（2）过点作一条斜率为负数的直线与椭圆从左到右依次交于，两点.是否存在实数，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立直线和椭圆的方程即得解；（2）设直线的方程，其中，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到即，再证明即得解.【详解】（1）椭圆左焦点，故设直线方程：联立，整理得解得或1.由于点在第一象限，.（2）设直线的方程，其中，联立，整理得其中，则设，则，而即轴，即存在，使得.【点睛】本题主要考查直线和椭圆

19、的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19已知椭圆的焦距为2，过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，求解，即可.（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，与椭圆方程联立，得到，由题意可知，则，确定的方程，由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，求解，即可.【详解】（1）由题知 ， 解得，所以椭圆的方程为；（

20、2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，由 得，则， 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则，则，故的方程为： ，由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则，而，所以，故直线恒过定点，且定点为.【点睛】本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，属于较难的一道题.20已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为（）求椭圆的标准方程；（）当时，求直线的方程；（）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上【答案】（）；（）；（）详见解析【解析】【分析】（）根据题意得：，及，解得，进而可得椭圆的方程；（）分两

21、种情况：当直线与轴重合时，得，不合题意；当直线与轴不重合时，设直线的方程为，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，由，得，组成方程组解得，进而可得直线的方程；（）设，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，所以点在定直线上【详解】解：（）由题设：，解得：，所以椭圆的方程为：（）当直线与轴重合时，可得，不合题意；当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，设，联立，消去整理得：，有，由，得，联立得，解得：，所以直线的方程为：（）设，当直线与轴重合时，因为点在椭圆外，所以同号，由，得，解得：，当直线与轴不重合时，由（）知，因为，因为点在椭圆外，所以同号，由，得，整理得：，即，

22、解得：，代入直线方程，得：，所以点在定直线上【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组、韦达定理，还涉及等比中项的应用，考查转化思想和计算能力21已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点，由该点在椭圆上得出，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，可求得，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，根据

23、直线与圆相切，得出，并将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将表示为的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，设，由，同理，可得，结合，得，故；（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设，此时，故若直线的斜率存在，设其方程为，由已知可得，则，设、，将直线与椭圆方程联立，得，由韦达定理得，结合及，可知将根与系数的关系代入整理得：，结合，得设，则的取值范围是【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.22在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右

24、顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，直线，交于点（1）求椭圆的方程；（2）求证：当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，由求解.（2）设 ， ，根据，分别写出，的直线方程联立，求得，代入即可. （3）设，根据直线过点，且与椭圆交于不同的两点，为线段的中点，利用点差法由，得到 ，然后由，令，利用基本不等式求解.【详解】（1）因为离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，所以解得椭圆的方程是；（2）设 ， ，因为，所以的直线方程为，同理的直线方程为 ，联立方程组，解得 ，因为点P在椭圆上，所以 ，所以，即 ，代入得：，所以当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；（3）设，因为直线过点，