高等数学课件5幂级数

1、一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算机动目录上页下页返回结束第四、五节幂级数第十三章一、 函数项级数的概念设un ( ), 2,) 为定义在区间 I 上的函数, 称 u (x) ux nnn1为定义在区间 I 上的函数项级数.若常数项级数 对 x0 ,I收敛, 称 x0 为其收n0n1敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数 发散, 称x0 为其发散点, 所有n0n1发散点的全体称为其发散域 .机动目录上页下页返回结束)(,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数为级数的和函数 , 并写成称它 Sxnn1若用Sx 表示函数项级数前 n 项的和, 即nn k 1

2、x SSnxk Sx令余项nn则在收敛域上有 Sn ( ) 0lim Snxx,limnn机动目录上页下页返回结束 xnn 1 x x例如, 等比级数n0它的收敛域是 (1,1) ,当x (1 , 1有和函数时1 xn1 xn0它的发散域是 ( , 1 ）.1x或写作x ) , 当 x又如, 级数时收敛n2时,n0但当 ) , 级数发散;.1xlimnn (x所以级数的收敛域仅为机动目录上页下页返回结束二、幂级数及其收敛性ann0n2 aa列a形如0010nan其中数0,1,) 称的函数项级数称为幂级数,为幂级数的系数 .n 0 的情形, 即x0 a下面着重n2xna x a n0nn0n0即

3、是此种情形.例如, 幂级数机动目录上页下页返回结束n定理 1. ( Abel定理 )若幂级数nn0在 0 点收敛, 则对满足不等式0的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当 x x0时该幂级数发散 , 则对满足不等式的一切 x , 该幂级数也发散 .0设xan0n0,0于是存在收敛, 则必有 limxa证:nnnn0常数 M 0, 使n0n a, 2,)收敛 发散nox发散收敛发散目录上页下页返回结束xnnnxxnnn0n0 Mnnxnxx000 x M收敛, nn也收敛,时,当n0 xn00n0故原幂级数绝对收敛 .反之, 若当0 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之.x0假设有一点 x1

4、 满且使级数收敛 , 则由前足面的证明可知,也应收敛,级数在点与所设,故假设不真.所以若当时幂级数发散 , 则对一切0满足不等式证毕的 x , 原幂级数也发散.0机动目录上页下页返回结束n由Abel 定理可以看出,中心的区间.的收敛域是以原点为nn0用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,则R = 0 时,R = 时, R 幂级数仅在 x = 0 收敛;幂级数在(, +) 收敛;幂级数在(R , R ) 收敛 ; 在R , R x R 可能收敛也可能发散 .外发散; 在R 称为收敛半径 ，(R , R ) 称为收敛区间.(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.收敛 发散ox发散收敛发散机动目录

5、上页下页返回结束an1定理2. 若 n ,limn的系数满足则nann01 ;1) 当 0 时, R 2) 当 0 时, R ;3) 当 时, R .0n1an1n1 limn证:limnxxnann1) 若 0, 则根据比值审敛法可知:当当,1,111xxxx原级数收敛;时,即即时, 原级数发散.机动目录上页下页返回结束R 1 .因此级数的收敛半径若 ,0则根据比值审敛法可知,2)对任意 x 原级数绝对收敛, 因此 R ; ,则对除 x = 03) 若x 原级发散,以外的一切因此 R .0说明:据此定理机动目录上页下页返回结束 nn的收敛半径为 R limann0nan1n例1.求幂级数x2

6、3n的收敛半径及收敛域.1nan 1R limn limn解:1n 1an1n1 1对端点 x = 1, 级数为交错级数 (1), 收敛;nn11对端点 x =1, 级数为 n1,n发散.为1 ,故收敛域(1.机动目录上页下页返回结束例2. 求下列幂级数的收敛域 :1 n! xnxnn01n(;(2.n0解: (1) R limnann! 1 limn lim (n 1)nan1n )!所以收敛域为 ( . limnann !1 R limn 0 lim(2)n an1) !n n 1所以级数仅在 x = 0 处收敛.机动目录上页下页返回结束规定: 0 ! = 1(n ! x2 n的收敛半径

7、.例3.求幂级数2n )n0解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.故直接由 2 n ) ! x2n )n ) ! 2n 1n limnlimnn!x2 n2n 1)( 2)2 4 x2limnx2n )x2x2 1xx当当即即时级数收敛时级数发散122故收敛半径为 R .12机动目录上页下页返回结束)nx 求幂级数的收敛域.例4.2n nn11级数变为t n解: 令 t x ,1n1 2n n112n1ann ) R limn limn 2 lim2n nan1n2 nn2n1n )1 ,当 t = 2 时, 级数为此级数发散;nn1)n当 t = 2 时, 级数为

8、n1, 此级数条件收敛;n t 为 因此级数的收敛域, 故原级数的收敛域为 x 2 , x .即机动目录上页下页返回结束三、幂级数的运算设幂级数xbn及n 的收敛半径分别为定理3.nnn0n0令 R min R, 则有:为常数RR , Rnnn n1n0n0 ann0 n0nnxn ,n xn0 an nn xnn ,nn0n0n0n k 0以上结论可用部分和的极限证明 .b其中nk机动目录上页下页返回结束说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如, 设 1,2 )n 1 1,0( an0nn0 1 0 ,n 1x, 3, nnn0它们的收敛半径均为 R

9、 , 但是n1nn 1 x xn01 xnnn0R .1其收敛半径只是机动目录上页下页返回结束定理4 若幂级数n 的收敛半径 R ,0则其和函nn0数Sx在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: n0n1,nx R) R )S (n xnnn1anx0 xxn dx n0 xn1,x n Sxdn0 n 10RR )(证明见第六节)注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.机动目录上页下页返回结束xn求幂级数 n!的和函数.例5.n0由例2可知级数的收敛半径 R+. 设解:xn n!( x )(n0 xn1xk)( S x( x )则n )!k 0

10、k !n1(x S得 x故有ex因此得由 (0) xnx) e , 故得 ex .xn!n0机动目录上页下页返回结束求幂级数 xnn 的和函数 Sx.例6.n1解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发故当x (1 , 1 时散, n1n1xn1xnSn1 n1nnxxx 1 x 2x(机动目录上页下页返回结束xnSx.的和函数例7. 求级数n 1n0且 x 1时级数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,收敛, 则当 x时有xxn1xn1 n 1 x nn 1 )(dxn0 xn0 xdxn0 1 1及x 1)1 xln()(xx机动目录上页下页返回结束 1 ln(1 x) ,及x

11、 1)(xxSxxlim ln ( ,1S0() ,1而x0 x因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) ,x ,10) (01,)x1 ,x Sx 0机动目录上页下页返回结束1n2例8.的和.求数项级数2nn)2xnx )(, 1),n1解: 设则2n2111 xn 2)( 11n2n1xn11 n x n x )n2n2nxn12 2x nnn1n3机动目录上页下页返回结束xn2x21 x )() n12xn2xx0 xxndxn1 n1n1n11 xdd而nn1 0ln(01 x) 1 x )(25834112n2 S n故2nn)2机动目录上页下页返回结束1. 求幂级数收敛域的方法

12、nan)1) 对幂级数nn0先求收敛半径 , 再端点的收敛性 .2) 对非幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,再求 .也可通过换元化为2. 幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.机动目录上页下页返回结束内容小结在收敛区间内幂级数的和函数连续;幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.1. 已知 n在 0 处条件收敛 , 问该级数收敛nn0半径是多少 ?收敛,答:根据Abel 定理可知, 级数在0.时发散 . 故收敛半径为00机动目录上页下页返回结束思考与练习 1)nn0nx中,2. 在幂级数2n3,2n 为奇数1)n1an112an 1)n1,n 为偶数6能否确定它的收敛半径不存在 ?因为答: 不能.xx2 (1)nlimnn () limnnn22 2