数字信号处理-郑第六章

1、无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法通信与信息工程学院郑文秀数字滤波器的基本概念数字滤波器的设计方法模拟低通滤波器设计模拟高通、带通、带阻滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换方法内容提要I 数字滤波器的基本概念0001w0-|H(ejw)|低通(LP)频率响应2-2w0-|H(ejw)|高通(HP)频率响应2-2w0-|H(ejw)|带通BP频率响应2-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2-2 按功能分：LP、HP、BP、BS、全通滤波器 一、 数字滤波器的分类0101以LP为例按实现的网络结构或单位抽样响应分：IIR滤波器（N阶）FIR滤波器（N-1阶）全极点系统或零、

2、极点系统全零点系统二、 数字滤波器的技术指标|H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。Q(w)系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。0通带截止频率阻带截止频率过渡带通带阻带 通带容限 阻带容限允许存在一定的误差容限假定|H(ej0)|=1(已被归一化)|H(ejc)|=0.707，则 =3 dB； 为3dB通带截止频率|H(ejs)|=0.001，则 =60 dB。 在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）和阻带应达到的最小衰减描述，定义分别为： : 边界频率II 数字滤波器的设计过程 1）按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技

3、术指标； 2）用一个因果稳定的LTI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标，根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近； 3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构(直接性、串联型或并联型等)、字长的选择等。IIR数字滤波器的设计方法：1. 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器p , sp, sH(s)H(z)巴特沃思设计切比雪夫设计脉冲响应不变双线性变换法2. 直接设计法 零极点位置累试法 计算机辅助设计法III 模拟低通滤波器设计 常用的模拟滤波器原型有: 巴特沃思（Butterworth）滤波器 切比雪夫（Chebyshev）滤波器 椭圆（Ellipse）滤波器 贝

4、塞尔（Bessel）滤波器 0一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法1、模拟低通滤波器的设计(模拟)指标00.707边界频率3dB通带截止频率通带最大衰减系数：如果 处幅度归一化到1，即阻带最小衰减系数：2、 逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j)满足 稳定的滤波器要求左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s) ；将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s) 。由|Ha(j)|2确定Ha(s)的方法： 由幅度平方函数得象限对称的s平面函数|Ha(s)|2 ； 将Ha(s)Ha(-

5、s)因式分解，得到各自零极点； 对比Ha(j)和Ha(s)，确定增益常数； 由零极点及增益常数，得Ha(s)。|Ha(j)|2可采用的函数：Butterworth、Chebyshev、 Ellipse、Bessel二、 巴特沃思函数的低通逼近方法滤波器阶数全极点系统k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上。 k=0,1, 2, , 2N-1 极点:巴特沃思圆上选取滤波器系统函数Ha(s):k=0,1, 2, , N-1 归一化系统函数归一化频率归一化复变量k=0,1, 2, , N-1 滤波器的设计步骤： （1）确定模拟滤波器的技术指标 ；

6、 （2）根据技术指标求出滤波器阶数 N：取大于等于N的最小整数（3）求出归一化系统函数Ha(p)k=0,1, 2, , N-1 P157查表6.2.1（4）3dB截止带宽的确定（5）去归一化 通带指标刚好，阻带指标有富裕阻带指标刚好，通带指标有富裕P158 例6.2.1IV模拟高通、带通、带阻滤波器设计AF滤波器LP其他AF滤波器HP, BP, BS归一化截止频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化传输函数G(p)H(q)各类模拟滤波器的设计过程图 HPBPBS指标LP指标G(j)传输函数频率变换设计频率变换传输函数设：传输函数衰减系数0低通0高通高通滤波器设计0低通带通滤波器设计带通0：通带带宽

7、：中心频率0低通带阻滤波器设计：阻带带宽：中心频率0带阻V 模拟滤波器到数字滤波器的转换方法脉冲响应不变法双线性变换法一、脉冲响应不变法1. 变换原理 用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足： Ha(s)H(z)全极点系统时域采样极点映射：模数转换过程中 系数不变：稳定性不变：平面平面零点位置没有这种代数对应关系。时域采样离散化沿虚数轴延拓映射|jS/2-S/23S/2ImZReZ|脉冲响应不变法仅适用于LP和BP滤波器2. 脉冲响应不变法的改进及运算问题|数字滤波器可能具有太高的增益对

8、H（s）进行因式分解：1或2阶如果 具有共轭复数对极点如果 具有一个实数极点例 6-3 设模拟滤波器的系统函数为 试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z) 解： 数字滤波器的系统函数为 设T=1，则有 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: P173 例6.3.1二、双线性变换法脉冲响应不变法产生混叠的原因： jS/2-S/23S/2ImZReZ从S平面到平面是多值的映射关系1. 变换原理混叠失真克服方法：j1j1S/2-S/2ImZReZ第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；(非线性频率压缩)第二步再通

9、过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。 将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=S，j1=S1， 则得 为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，通过以下的正切变换实现 当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+， 也即映射了整个j轴。 S平面S1平面Z平面2. 模拟滤波器的数字化方法 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，即 频率响应也可用直接代换的方法得到 P178 例6.4.1及.2一阶后向差分映射数字滤波器的基本概念数字滤波器的设计方法模拟低通滤波器设计模拟高通、带通、带阻滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换方法内容提要利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤: (1)确定数字滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s; (2)将数字滤波器的技术指标转换成相应的模拟滤波器的技术指标; 如果采用脉冲响应不变法和双线性变换法，边界频率的转换关系分别为（若待设计的目标滤波器不是低通的，则还要将该模拟技术指标转化成