数学建模思想在解高考数学题中的应用探究

1、数学建模思想在解高考数学题中的应用探究普通高中数学课程标准（修订） 提出我国中学生在 数学学习中， 应培养好六大核心素养， 数学建模就是其中的六大数学 核心素养之一，它是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程， 把现实世界的原型问题进行数学抽象与提炼， 用数字、符号或图形表 格等建立数学模型，继而应用数学工具、方法求出数学模型的解，进 而还原为实际问题的解，并与原型问题进行对照修改、深化、扩展， 再寻求更优化的解答 .近几年高考相当重视数学建模思想的考查，下 面以高考数学题为载体进行探究 .一、函数模型挖掘数学应用问题的隐含条件， 建立目标函数， 把问题转化为函 数模型求解 .例 1（ 2

2、016 年四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资 金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资 金开始超过 200 万元的年份是（） .（参考数据： lg1.12 0.，05lg1.3 0.1，1lg2 0.3）02018年2019年2020年2021年解析设 2015 年后的第 n 年，该公司全年投入的研发资金为 y， 由题意有 y=130（1+12%） n，又 y200，得 1.12n2013，两边 取对数，得 nlg2-lg1.3lg1.12 1，9所5 以 n4，选 B.点评：本题是指

3、数函数模型在实际生活中的应用， 考查了在实际 问题中提取数量关系、建立数学模型，在不等式的求解过程中，考查 了数据处理和运算求解能力 .二、线性规划模型线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法， 在经济管理、 交通运输、工农业生产等经济活动中有着广泛的应用.在高考数学试题中，有关线性规划的应用与求解是热点与难点， 主要有迁移线性规 划思想求函数的最值问题、 通过二元一次不等式组表示的平面区域来 确定实际问题的最优解等数学模型 .例 2（ 2016年全国 卷）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要 甲、乙两种新型材料 .生产一件产品 A需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg， 用 5

4、个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2 100元，生產一件产品 B的利润 为 900 元 .该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为多少元？解析设生产产品 A，产品 B分别为 x，y 件，利润之和为 z元，那 么，1.5x+0.5y 1，50 x+0.3y 9，05x+3y60，0 x0，xN，+ y0，yN+. 目标函数为 z=2 100 x+900y.作出二元一次不等式组的平面区域 （如图所示），即可行域为图中的阴影部分，

5、包括边界内的整数点， 图中阴影四边形的顶点坐标分别为（ 60， 100），（0， 200），（ 0，0）， （90，0），当直线 z=2 100 x+900y经过点（ 60，100）时， z 取得最大 值 216 000 元.点评：试题以工业生产中的现实问题为载体， 考查线性规划最优 解的模型，侧重数学建模、 分析解决问题和运算求解能力的考查，对 数形结合思想和方法要求较高 .三、排列组合模型排列组合应用问题蕴含着许多丰富的数学思想和方法 .其因内容 的抽象、思维的独特、 解题方法的特殊性而成为高考数学科命题的一 个热点和考点， 若能认真理解题意， 抽象出其中的数量关系， 构建 “排 位置”投

6、“球入盒 ”抓“球”填“格子 ”等几种数学模型来求解，则可简捷、 巧妙地解决 .例 3（2013年全国卷） 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻 的不同排法共有种 .（用数字作答）解析本题属有条件的 “排位置 ”模型，可用直接法或间接法求解 .思路 1：先排甲、乙共有 10A22=20（种）排法，再排其余的 4 个人，有 A44=24（种）排法，据分步法原理， 可知所求共有 2024=480 （种）.思路 2：用间接法 .6 个人排成一行的排法总数为 A66=720（种）， 其中甲、乙两人相邻的排法数为 2A55=240（种），所以 6 个人排成一 行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 72

7、0-240=480（种） .点评：试题以生活中的真实情境为素材， 考查考生运用分类加法 计数原理和分步乘法计数原理， 解决实际问题的能力， 在运算过程中 应合理应用排列组合公式优化运算，引导考生关心身边的数学问题、 发展数学应用意识 .四、立体几何模型新课程标准明确指出教师可借助几何模型， 在直观认识和理解空 间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定 义，并了解可以作为推理依据的公理和定理 .在高考中常考的模型有 柱体、锥体和台体，因此，教师应灵活运用模型化，处理立体几何知 识及生活中与几何图形有关的应用问题，帮助学生找到解题突破口， 把问题化难为易 .例 4（2015年全

8、国卷）九章算术 是我国古代内容极为丰富的 数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺 .问：积及为米几何？ ”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米 堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（） .A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为 8 尺， 可知圆锥底面圆的四分之一圆周长为 8 尺，从而可得米堆的底面半径 R=16尺.又圆锥的高为 5 尺，可算得米堆的体

9、积为 V=3203立方尺， 所以可估算出米堆约有 22 斛，选择 B.点评：试题以九章算术中的问题为背景，传承了中国文化， 考查了考生的应用意识和数学建模思想 .根据米堆形状和所给条件， 建立立体几何模型，计算出堆放米的体积，着重考查考生空间想象、 逻辑推理、运算、 应用和估算能力，体现了新一轮高中课程改革的要 求.五、概率统计模型在近几年的全国和各省市高考试题中， “概率与统计 ”应用问题是 考查的重点内容， 试题非常注重理论联系生活实际， 常考的数学模型 有古典概率、互斥事件、条件概率、分布列、二项分布、正态分布、 直方图、茎叶图、线性回归模型等等 .例 5（2014 年全国新课标 卷）

10、4 名同学各自在周六、周日两天 中任选一天参加公益活动， 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概 率为（）.A.18B.38C.58D.78解析由题意知 4名同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公 益活动有 24 种情况，而 4名同学都选周六有 1种情况， 4 名都选周 日 有 1 种情 况，故 周六 、日都 有同 学参 加公益 活动 的概 率为 p=24-1-124=78，故选 D.点评：试题选取考生熟悉的情境， 属于简单的古典概率模型问题， 考查了概率的基本知识和方法， 引导考生关注生活中的数学问题， 增 强数学应用意识 .例 6（ 2016 全国新课标 卷）某险种的基本保费为 a（单

11、位：元）， 继续购买该险种的投保人称为续保人， 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 012345保费 0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 012345概率 0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本 保费高出 60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解析（1）设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费 ” 则事 件 A 发生 当且仅 当 一年 内 出 险次数

12、 大 于 1，故 P（ A） =0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.（ 2）设 B 表示事件： “一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 P（B） =0.1+0.05=0.15.又 P（AB）=P（ B），故 P（B|A） =P（AB）P（A）=P（B）P（A）=0.150.55=311， 因此，所求概率为 311.（3）记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为： X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a 0.30+a 0.15+1.25a 0.20+1.5a 0.20+1.75a 0.10+2a 0.05=3a，所以續保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. 点评：试题考查互斥事件、 条件概率、分布列等模型， 通过概率、 数学期望的计算考查运算求解能力， 通过随机变量的分布列考查数据 处理能力，利用贴近生活的实际问题考查分析问题、 解决问题的能力、 应用意识和数学建模思想方法 .纵观多年的高