《复变函数》教学大纲

1、复变函数Functions of A Complex Variable一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分： 3 学分课程总学时： 48 学时，其中讲课： 48 学时，实验（含上机）： 学时，课外 学时课程性质：必修开课学期：第4学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学教 材：张太忠、王朝、成亚萍、王琛颖、刘红爱、丁建、成荣编著，复变函数论，北京：科学出版社，2016年3月。（ISBN 978-7-03-047780-4）开课单位：数学与统计 学院 数学 系二、课程性质、教学目标和任务复变函数论是数学与应用数学、信息与计算科学、应用

2、统计学等专业的一门重要基础课程，本课程是数学学院各专业的基础课，目的是使学生了解并掌握复分析的基本理论及传统或稍微近代的必备知识，学会一些常见的处理复分析及其相关问题的基本观点、方法和技巧，为进一步学习深入课程和从事数学研究或教学工作建立初步的基础。通过本课程的学习，应使学生较深刻地理解并牢固掌握复变函数论的基本理论与方法，获得独立分析与解决某些理论与实际问题的能力。三、教学内容和要求本课程系统介绍全纯函数的Cauchy积分理论及其应用、Weierstrass级数理论及其应用、Riemann共形映射以及调和函数等内容，强调与其它数学分支的联系。引入若干现代的方法简化处理一些较难的证明是本课程的

3、特色。第1章 复数与复平面（6学时）1.1复数的定义、表示与四则运算（3学时）（1）了解复数的各种表示方法以及复数相等的概念； （2）理解复数相等的概念，复球面与无穷远点； （3）掌握复数的各种运算。重点：复数的表示与各种运算难点：辐角计算1.2乘幂与方根运算、复平面上点集（3学时数）（1）了解复平面的点集理论； （2）理解区域和Jordan曲线，平面图形的复方程，了解复数在几何上的应用； （3）掌握乘幂与方根运算。重点：乘幂与方根运算、平面图形的复方程、复数数列的收敛性难点：复平面的点集理论 第2章 复变函数与解析函数（8学时）2.1复变函数的概念（1.5学时）（1）了解复变函数概念与图像的

4、画法； （2）理解复变函数的极限与连续性的概念； （3）掌握刻画复变函数连续性的相关定理。重点：复变函数连续性的相关定理难点：复变函数图像的画法2.2解析函数与柯西-黎曼方程（4学时）（1）了解复变函数的可导、可微与连续之间的关系，形式导数； （2）理解解析函数的概念； （3）掌握复变函数可导、解析的判断方法，主要是是柯西-黎曼方程方法。重点：复变函数可导的充分必要条件难点：柯西-黎曼方程判别法2.3初等单值解析函数（1学时）（1）了解初等解析函数的定义； （2）理解初等解析函数的定义性质计算； （3）掌握初等解析函数的计算与证明。重点：指数函数，三角函数难点：三角函数2.4初等多值解析函数（

5、1.5学时）（选讲内容，可不考） （1）了解单叶函数和初等多值解析函数概念； （2）理解初等多值解析函数（根式函数和对数函数）的性质及确定单值解析分支的方法； （3）掌握初等多值的根式函数和对数函数的计算。重点：根式函数和对数函数难点：根式函数和对数函数第3章 柯西积分定理和柯西积分公式（9学时）3.1复积分的定义与性质（2学时数）（1）了解复积分的定义及其基本性质； （2）理解复积分化为第二类实曲线积分的计算定理，积分估值定理； （3）掌握复积分的参数计算法。重点：复积分的参数计算法难点：复积分的参数计算法3.2柯西积分定理（2学时数）（1）了解单连通、多连通区域的柯西积分定理及其等价形式的

6、结论； （2）理解单连通、多连通区域的柯西积分定理及其等价形式证明； （3）掌握单连通、多连通区域的柯西积分定理应用。重点：计算复积分的原函数法和柯西积分定理方法难点：单连通区域的柯西积分定理的证明3.3柯西积分公式、高阶导数公式、最大模原理（3学时数）（1）了解解析函数的无穷可微性； （2）理解著名的许瓦茨引理及其证明； （3）掌握柯西积分公式及其推论、高阶导数公式、柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理和最大模原理的证明及其应用。重点：柯西积分公式及其推论、高阶导数公式、柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理和最大模原理难点：柯西积分公式、最大模原理3.4调和函数（2学时）（1）了解调和函数概念；

7、 （2）理解解析函数与调和函数之间的关系； （3）掌握掌握求共轭调和函数的各种方法。重点：求共轭调和函数难点：求共轭调和函数第4章 解析函数的幂级数展开式（7学时）4.1解析函数项级数的性质（2学时）（1）了解复级数敛散性、复函数项级数一致收敛性； （2）理解解析函数项级数的基本性质； （3）掌握解析函数项级数逐项积分、逐项求导定理和魏尔斯托拉斯定理。重点：逐项积分、逐项求导定理和魏尔斯托拉斯定理难点：逐项积分、逐项求导定理和魏尔斯托拉斯定理4.2幂级数（2学时）（1）了解幂级数收敛区域的特征； （2）理解阿贝尔定理的证明； （3）掌握幂级数收敛半径的求法，幂级数运算性质、幂级数和函数的性质。

8、重点：幂级数收敛半径，幂级数运算性质、幂级数和函数性质难点：阿贝尔定理4.3解析函数的泰勒展开式与唯一性定理（3学时）（1）了解零点的孤立性； （2）理解泰勒定理、解析函数的唯一性定理； （3）掌握零点阶数的判别方法，解析函数的唯一性定理以及应用，初等函数的泰勒展式的计算。重点：初等函数的泰勒展式的计算难点：解析函数的唯一性定理以及应用第5章 解析函数的洛朗展开式（6学时）5.1解析函数的洛朗级数（2学时）（1）了解解析函数的洛朗级数、函数在无穷远点的性态； （2）理解洛朗定理； （3）掌握解析函数展开为洛朗展式的多种求法。重点：洛朗展式的多种求法难点：洛朗定理5.2孤立奇点的分类与判定（4学

9、时）（1）了解奇点的孤立性； （2）理解孤立奇点的分类定理； （3）掌握孤立奇点的判别方法。重点：孤立奇点的判别方法难点：孤立奇点的分类定理第6章 留数定理、辐角原理和鲁歇定理（8学时）6.1留数定理（3学时数）（1）了解留数的概念； （2）理解留数第一、第二定理，无穷远点留数的计算定理； （3）掌握孤立奇点的留数的各种计算。重点：孤立奇点的留数的各种计算难点：孤立奇点的留数的各种计算6.2利用留数计算实积分（2学时）（1）了解实积分化为留数计算的方法； （2）理解实积分化为留数计算定理； （3）掌握几类实积分的留数计算法。重点：应用留数计算实积分难点：应用留数计算实积分6.3辐角原理、鲁歇定

10、理及其应用（3学时）（1）了解Huiwitz 定理、单叶性定理； （2）理解辐角原理、鲁歇定理的证明； （3）掌握辐角原理及其应用，鲁歇定理及其应用。重点：辐角原理、鲁歇定理难点：辐角原理、鲁歇定理第7章 解析函数的几何理论*（选讲内容，不是考试内容，4学时）7.1共形映射的性质与例子（4学时数）（1）了解共形映射的概念、著名的黎曼映射定理； （2）理解最常见和最常用的共形映射-分式线性映射的特征； （3）掌握单位圆内的共形映射应用。重点：分式线性映射的特征难点：黎曼映射定理四、课程考核（1）作业等：作业： 22 次，课程论文：篇；（2）考核方式：闭卷考试（3）总评成绩计算方式：平时成绩（包括平时作业和考勤）占10%，期中测验成绩占20%，期末考试成绩占70% 五、参考书目1.李忠.复变函数.北京:高等教育出版社，2011.2.庄圻泰、张南岳.复