《数学分析3》教学大纲

1、数学分析3Mathematical Analysis（3）一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分： 6学分课程总学时：96学时，其中讲课：96学时（含习题课），不计课外作业辅导学时。课程性质：必修开课学期：第3学期先修课程：数学分析1、数学分析2适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学本科专业教 材：夏大峰、肖建中、成荣编著，数学分析（下册），科学出版社，2016年。开课单位： 数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务本课程是信息与计算科学、数学与应用数学、统计学等数学类本科专业必修的一门重要基础课程，其核心内容是微积分学；它与非数学专业开设的微积分学或高等数学有重要区别

2、，是一门具有严谨逻辑体系的课程。它的任务是使学生对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清不变与变、有限与无限、特殊与一般、具体与抽象的辩证关系；获得一元函数微积分学、无穷级数论与多元函数微积分学等方面的知识，正确理解其基本概念，系统掌握其基本理论及基本论证方法；提高数学思维素质，具备一定的数学抽象、推理能力，较熟练的演算技能和初步的应用能力；为进一步学习复变函数论、微分方程、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程奠定基础。三、教学内容和要求第14章 多元函数的极限与连续性（学时：14）14.1 n维Euclid空间（学时：5）（1）了解邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义； （2）理解闭集套定理、列紧

3、性定理、紧致性定理； （3）掌握距离、点列极限及区域概念。重点：区域概念与Euclid空间的基本定理难点：覆盖与紧致性定理14.2多元函数的极限（学时：4）（1）了解重极限的局部性质与Heine定理； （2）理解重极限与累次极限概念、二者的区别与联系；（3）掌握二元函数的极限的定义，学会求重极限及讨论重极限的存在性。重点：多元函数的极限的求法与存在性讨论难点：Heine定理14.3多元函数的连续性（学时：5）（1）了解多元函数在孤立点处的连续性； （2）理解复合函数连续性、最值定理、一致连续性定理、介值定理； （3）掌握多元函数的连续性的定义、多元函数连续性的性质。重点：多元函数的连续性难点：

4、一致连续性定理第15章 多元函数微分学（学时：12）15.1 可微性（学时：3）（1）了解全微分在近似计算中的应用； （2）理解偏导数中值定理，理解函数连续、偏导数、可微之间的关系；（3）掌握多元函数偏导数与全微分的定义，掌握可微的必要条件与充分条件。重点：可微的必要条件与充分条件难点：可微充分条件的论证15.2复合函数微分法（学时：2）（1）了解一阶全微分形式不变性； （2）理解复合函数的微分法； （3）掌握复合函数求导的链式法则。重点：链式法则的运用难点：链式法则条件的必要性15.3方向导数与梯度（学时：2）（1）了解梯度的模与方向的意义； （2）理解方向导数充分条件； （3）掌握方向导数

5、与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度。重点：方向导数难点：函数连续、存在方向导数、可微之间的关系15.4 Taylor公式与极值问题（学时：5）（1）了解凸域上中值定理，了解Hesse矩阵； （2）理解混合偏导数与其顺序无关性，理解多元Taylor公式的推导；（3）掌握二元函数的高阶偏导数与Taylor公式，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件。重点：Taylor公式与极值难点：二元函数的Taylor定理第16章 隐函数定理及其应用（学时：10）16.1 隐函数定理（学时：2）（1）了解隐函数定理的证明思路； （2）理解隐函数定理(存在性、唯一性、可微性)； （3）掌握隐函数概念，学会隐函数

6、的导数或偏导数的计算法。重点：隐函数定理难点：隐函数定理的证明16.2隐函数组定理（学时：2）（1）了解Jacobi行列式的性质； （2）理解隐函数定理(存在性、唯一性、可微性)，理解反函数组与坐标变换； （3）掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法。重点：隐函数组求导法难点：微分方程的坐标变换 16.3几何应用（学时：2）（1）了解光滑曲面与全微分的几何意义； （2）理解空间曲线的切向量； （3）掌握平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的求法。重点：隐函数定理的几何应用难点：曲面的切平面16.4条件极值（学时：4）（1）了解Jacobi矩阵，了解条件极值点的判

7、定条件；（2）理解Lagrange乘数法的推导；（3）掌握Lagrange乘数法，学会用其求条件极值与条件最值。重点：Lagrange乘数法难点：条件极值点的判定第17章 含参量积分（学时：12）17.1 含参量定积分（学时：3）（1）了解累次积分； （2）理解两种运算可交换性； （3）掌握含参量定积分的连续性、可微性和可积性定理。重点：含参量定积分的分析性质难点：可微性定理17.2含参量广义积分（学时：4）（1）了解含参量广义积分的A-D别法，了解Fubini定理；（2）理解含参量无穷积分与瑕积分概念，理解含参量广义积分的一致收敛与内闭一致收敛概念； （3）掌握Weierstrass优函数判

8、别法，掌握含参量广义积分的分析性质（连续性、可积性、可微性）。重点：Weierstrass优函数判别法、含参量广义积分的分析性质难点：一致收敛性17.3 Euler积分（学时：5）（1）了解余元公式； （2）理解Gamma函数性质的论证，理解Gamma函数与Beta函数关系公式； （3）掌握Euler积分的基本性质，学会应用于解决相关计算问题。重点：Euler积分的性质难点：Gamma函数与Beta函数关系公式的证明第18章 重积分（学时：18）18.1 二重积分的概念（学时：2）（1）了解二重积分的几何意义，了解二元函数的可积性；（2）理解二重积分的概念，理解二重积分中值定理； （3）掌握二

9、重积分的定义和性质。重点：二重积分的定义难点：二元函数的可积性18.2直角坐标系下二重积分的计算（学时：2）（1）了解二元函数的可积延拓； （2）理解X型区域与Y型区域； （3）掌握化二重积分为累次积分的计算法。重点：化二重积分为累次积分难点：累次积分换序 18.3 二重积分的变量变换（学时：4）（1）了解Jacobi行列式的的几何意义； （2）理解极坐标变换下区域的表示法； （3）掌握二重积分的变量变换公式、极坐标变换公式，学会用其计算二重积分。重点：二重积分的变量变换公式的应用难点：二重积分变量变换公式的证明18.4三重积分（学时：4）（1）了解三重积分的物理模型； （2）理解三重积分概念

10、，理解三重积分的变量变换公式；（3）掌握三重积分的定义和性质；掌握三重积分化为累次积分的两种方法，掌握柱面坐标变换与球面坐标变换。重点：化累次积分、柱面坐标变换与球面坐标变换难点：球面坐标变换18.5重积分的应用（学时：6）（1）了解重积分在转动惯量与引力计算中的应用； （2）理解重积分的微元法； （3）掌握用重积分计算曲面面积与质心坐标的方法。重点：曲面面积难点：一般的曲面面积公式第19章 曲线积分（学时：10）19.1 第一型曲线积分（学时：2）（1）了解第一型曲线积分的物理模型； （2）理解第一型曲线积分的定义； （3）掌握第一型曲线积分的性质和计算公式。重点：第一型曲线积分的计算难点：

11、计算公式的推广19.2 第二型曲线积分（学时：2）（1）了解第二型曲线积分的物理模型； （2）理解第二型曲线积分的定义，理解两型曲线积分的联系；（3）掌握第二型曲线积分的性质和计算公式。重点：第二型曲线积分的计算难点：两型曲线积分的联系19.3 Green公式及曲线积分与路径无关性（学时：6）（1）了解平面单连通区域概念； （2）理解Green公式的证明，理解平面曲线积分与路径无关性的论证； （3）掌握Green公式，学会利用其解决相关计算及理论问题，学会利用曲线积分与路径无关的条件计算积分或求原函数。重点：Green公式及平面曲线积分与路径无关性难点：Green公式的证明第20章 曲面积分（

12、学时：18）20.1 第一型曲面积分（学时：2）（1）了解第一型曲面积分的物理模型； （2）理解第一型曲面积分的定义； （3）掌握第一型曲面积分的性质和计算公式。重点：第一型曲面积分的计算难点：计算公式的推广20.2 第二型曲面积分（学时：4）（1）了解双侧曲面概念，了解第二型曲面积分的物理模型； （2）理解第二型曲面积分的定义，理解两型曲面积分的联系；（3）掌握第二型曲面积分的性质和计算公式。重点：第二型曲面积分的计算难点：两型曲面积分的联系20.3 Gauss公式与Stokes公式（学时：12）（1）了解空间单连通区域概念； （2）理解Gauss公式与Stokes公式的证明；（3）掌握Ga

13、uss公式与Stokes公式，学会利用其解决相关计算及理论问题，学会利用空间曲线积分与路径无关的条件计算积分或求原函数。重点：Gauss公式、Stokes公式难点：Gauss公式与Stokes公式的证明20.4 场论初步（选学）20.5 微分形式简介（选学）数学分析3总复习（学时：2）四、课程考核（1）作业每两学时布置一次，约44次，课程论文： 1 篇；（2）考核方式：闭卷考试；（3）总评成绩计算方式：总评成绩=平时成绩10%+期中考试成绩20%+期末考试成绩70%五、参考书目1.陈纪修、於崇华和金路编,数学分析（上、下册），高等教育出版社，2004年；2.常庚哲、史济怀编，数学分析教程，高等教育出版社，2003年；3.吉林大学数学系编，数学分析（上、中、下册），人民教育出版社，1978年;4.刘玉琏等编，数学分析讲义（上、下册），高等教育出版社，1992年，第