功与动能定理

1、功与动能定理第1页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一1.功和动能定理第2页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）一 功 力的空间累积效应: ，动能定理.B*A对 积累第3页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 合力的功 = 分力的功的代数和 变力的功第4页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 平均功率 瞬时功率 功率的单位 （瓦特）第5页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一

2、例 1 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面时其速率为 . 设此球在水中所受的浮力与重力相等, 水的阻力为 , b 为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函数关系 .解 如图建立坐标轴即又由 2 - 5 节例 5 知第6页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一二 质点的动能定理 动能（状态函数） 动能定理 合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量 . 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .注意第7页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 2 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初

3、把绳子放在与竖直线成 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 角时小球的速率 .解 第8页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一由动能定理得第9页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一2.保守力和非保守力第10页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一1） 万有引力作功以 为参考系， 的位置矢量为 . 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 对 的万有引力为由 点移动到 点时 作功为 第11页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一第12页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一AB2 ） 重力作

4、功第13页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一3 ） 弹性力作功第14页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .二 保守力和非保守力重力功弹力功引力功第15页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力） 物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .第16页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一三 势能 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 保守力的功弹性势能引力势能重力势能弹力功引力功

5、重力功第17页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 . 势能是状态函数令 势能是属于系统的 .讨论 势能计算第18页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 四 势能曲线弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线第19页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一3.功能原理第20页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一一 质点系的动能定理 质点系动能定理 内力可以改变质点系的动能注意内力功外力功 对质点系，有 对第 个质点，有第21页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期

6、一机械能质点系动能定理 非保守力的功二 质点系的功能原理 质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 . 第22页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一当时，有 功能原理三 机械能守恒定律 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变 . 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点 .第23页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压

7、缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 组成的系统 讨论（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .DBCADBCA第24页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)第25页，共63页，

8、2022年，5月20日，14点34分，星期一已知求解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得又第26页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一可得由功能原理代入已知数据有第27页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数.解 以弹簧、小球和地球为一系统，只有保守内力做功系统机械能守恒取图中点 为重力势能

9、零点第28页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一又 所以即系统机械能守恒, 图中 点为重力势能零点第29页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 3 在一截面积变化的弯曲管中， 稳定流动着不可压缩的密度为 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积为A1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为A2 .由于点 a 和点 b 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的速率分别为 和 .求流体的压强和速率之间的关系 .第30页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一则 解 取如图所示坐标,在 时间内 、 处流体分别 移动 、

10、. 又第31页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一由动能定理得得即常量第32页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一若将流管放在水平面上，即常量 伯努利方程则有常量第33页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一若将流管放在水平面上，即则有常量即若则第34页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一四 宇宙速度 牛顿的自然哲学的数学原理插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度第35页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 . 解 取抛体和地球为一系统 ，系统的机械能 E

11、守恒 .1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度 .第36页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一解得由牛顿第二定律和万有引力定律得第37页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一地球表面附近故计算得第一宇宙速度第38页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星第39页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一2） 人造行星 第二宇宙速度设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 . 第二宇宙速度 ，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度 . 取

12、抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒 .当若此时则第40页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一第二宇宙速度计算得第41页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 ，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度 .设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 , 太阳质量 , 抛体与太阳相距 . 第42页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一取地球为参考系,由机械能守恒得 取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 . 取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度为 ，地球相对于太阳

13、的速度则如 与 同向,有第43页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一要脱离太阳引力，机械能至少为零则由于 与 同向,则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径 设地球绕太阳轨道近似为一圆，则第44页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一计算得第三宇宙速度取地球为参照系计算得第45页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系 椭 圆(包括圆) 抛物线 双曲线第46页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例第47页，共6

14、3页，2022年，5月20日，14点34分，星期一以无限远作为势能零点若黑洞引力作用下塌陷当m一定时收缩到视界半径广义相对论第48页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一设想1)把地球变成黑洞2)把太阳变成黑洞3)引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星太阳的质量白矮星遗憾？第49页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。黑洞(black hole)： 掉入黑洞的所有信息都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角动量没有被吃掉。黑洞无毛定理：黑洞

15、上黑洞下第50页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一4.碰撞第51页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 . 碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互作用 . 完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之和不变 . 非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量 .第52页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一完全弹性碰撞（五个小球质量全同）第53页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 1 在宇宙中有密度为 的

16、尘埃, 这些尘埃相对 惯性参考系是静止的 . 有一质量为 的宇宙飞船以 初速 穿过宇宙尘埃, 由于尘埃粘贴到飞船上, 致使 飞船的速度发生改变 . 求飞船的速度与其在尘埃中飞 行时间的关系 . (设想飞船的外形是面积为S的圆柱体) 解 尘埃与飞船作完全非弹性碰撞, 把它们作为一个系 统, 则 动量守恒 .即得第54页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一已知求 与 的关系 . 解第55页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 例 2 设有两个质量分别为 和 ,速度分别为 和 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方向相同. 若碰撞是完全弹性的,求碰撞后的速度

17、和 . 解 取速度方向为正向，由动量守恒定律得由机械能守恒定律得碰前碰后第56页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一解得碰前碰后第57页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一（1）若则（2）若且则（3）若且则讨 论碰前碰后第58页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 两个质子在盛有液态氢的容器中发生弹性碰撞 . 一个质子从左向右运动, 与另一个静止质子相碰撞,碰撞后, 两个质子的运动方向相互垂直 . 磁感强度的方向垂直纸面向里 .两个质子发生二维的完全弹性碰撞 第59页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一5. 能量守恒第60页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 亥姆霍兹 （18211894），德国物理学家和生理学家.于1874年发表了论力（现称能量）守恒的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律.所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一 .第61页，共63页，2022年，5月20日，14点34分，星期一 对与一个与自然界