流体力学流力lecture

1、第十四章 旋涡运动基本理论本章主要内容：1.旋涡运动的基本概念3.旋涡的诱导速度场2.速度环流和斯托克斯定理4.二元旋涡的速度分布和压力分布5.卡门涡街14-1 旋涡运动的基本概念1.涡线 流场中的涡线是一条空间曲线，在同一瞬时，该曲线上各点的平均旋转角速度矢量 与该曲线相切，见图5-1。与流线类似，在定常流场中，涡线的形状保持不变，在非定常流场中，涡线的形状是变化的。同一瞬时流场中的涡线不可能相交。 用推导流线微分方程同样的方法可以推出涡线微分方程为2.涡管 在旋涡场中通过任一封闭曲线（不是涡线）上的每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面称为涡管，见图5-2。 截面积趋于无限小的涡管，称为涡

2、索。有限大小涡管的旋涡强度为式中S为涡管的横截面积。14-2 速度环流和斯托克斯定理 速度环流和旋涡强度是两个独立的概念，速度环流是在流场中速度沿封闭曲线的积分，而旋涡强度存在于旋涡运动中。只是在旋涡场中，速度环流和旋涡强度存在数量上的等量关系，因此，在有旋场中可以用速度环流来度量旋涡强度的大小。一 、速度环流 如下图所示，在流场中任取一条封闭曲线C，在曲线上取一微元有向线段dl,v在dl方向上的投影为二 斯托克斯定理定理：沿任意封闭曲线C的速度环流 等于通过以该曲线为边界的曲面S的旋涡强度J的两倍。或：首先以最简单的情况，对斯托克斯定理加以说明。在xoy面上取一微元矩形，如下图所示，图中箭头

3、的方向为速度环流积分路径的方向，绕其周线的速度环流为根据速度分解： dS为微元矩形的面积，dS=dxdy。这就是说微元积dS上的旋涡强度的两倍，等于其周线上的速度环流。下面将坐标面内的平面问题推广到三维空间中的任意平面，如下图所示是一空间微元三角形。以ABCA为周线的微元面积为dS，在其周线上的速度环流是下面对有限的空间曲面，说明斯托克斯定理的正确性，取如下图中的任意空间曲面S，其周线为封闭曲线C。首先将面积S分成若干块微元面积，在微元面积dS上应用上式得在面积S上积分得当封闭曲线所包围的区域内有物体的时候，封闭曲线C已不能再收缩到一点，这就是复连域的情况。实际问题中有许多情况都是这样的。这时

4、必须首先将复连域化成单连域，处理的方法如图5-8所示。假设在AB处将域切开，形成相邻的两个界面AB，DE。这样，由封闭曲线ABCDEFA所包围的面积就转化成了单连域，应用斯托克斯定理，14-3 旋涡运动的基本定理一 汤姆逊（w. Thomson）定理 定理：如果质量力有势，流体是理想的，而且是正压的，那么始终由相同的流体质点所组成的封闭曲线上的速度环流不随时间而变。即将上式中的三个方程式相加得 (a)根据欧拉运动微分方程，上式右端前三项可写为 (b)右端第四项为 (c)式中的U为单位质量力的力势。将式（b）和式（c）代入式（a）中，得将式（d）沿封闭曲线C积分，且左端交换积分与微分次序，得即这

5、是因为函数U 都是单值连续函数，所以沿封闭曲线的积分为零。这样就证明了汤姆逊定理。根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，在理想流体中，有旋运动不可能转变为无旋运动，无旋运动也不可能转变为有旋运动。即旋涡不生不灭。实际上真实流体中旋涡既能产生，也能消失。但在粘性力影响较小时，为了分析问题的方便，可以近似认为满足汤姆逊定理，速度环流和旋涡强度都保持为常数。亥姆霍兹第二定理：如果质量力有势，流体是理想的，正压的，则构成涡管的流体质点始终构成涡管。如下图所示，在涡管壁上任取一封闭曲线C，应用斯托克斯定理得根据汤姆逊定理所以 始终为零。这就是说涡管表面始终是涡管表面。从而证明了定理。 亥姆霍兹第三定理：如果质量

6、力有势，流体是理想的，正压的，则涡管的旋涡强度不随时间而变。这可以由汤姆逊定理和斯托克斯定理很容易证明。14-4 旋涡的诱导速度场 旋涡运动引起周围流体产生运动，其速度称为诱导速度，诱导速度的大小，由毕奥萨伐尔定律决定。下面应用毕奥萨伐尔定律分析直线涡索的诱导速度场，如图所示，直线涡索AB在距涡索垂直距离为R的P点所引起的诱导速度为式中代入上式可得当AB为无限长涡索时则无限长直线涡索所引起的诱导速度场，在与涡索垂直的平面内，可用极坐标表示为这是点涡的诱导速度场。这一速度分布在前面已经分析过，是无旋运动。这就是说，虽然旋涡本身是有旋的，但其诱导速度场却是无旋场。14-5 二元旋涡的速度分布和压力

7、分布以垂直于旋涡轴线的面为坐标平面，则流动是二维的。其速度分布在本章第二节已经讨论过下面讨论流场中的压力分布。在旋涡区的边界上，边界条件为则有当rr0时，流动是有旋的。因为流线是同心圆，不能应用伯努利方程求不同流线间的压力分布，亦不能应用拉格朗日积分式。由第二章2.7节可知，液体整体绕中心轴旋转，其压力由外向内逐渐降低，由旋涡边界r=r0到旋涡中心r=0，降低的量值为所以在 区域，有因此在旋涡中心r=0,v=0，故旋涡中心的压强达到最小值整个流场的压力分布如图所示。在旋涡内部愈靠近中心，v愈小，p也愈小。这样旋涡中心就产生一个吸力，外围的物体被卷吸向中。14-6 卡门涡街 实验指出，当流体以匀速流过圆柱，在速度比较小的时候，产生两个上下对称的粘附在圆柱体后面的旋涡。当水流速度增大，这对上下对称的旋涡开始交错脱落，在水流方向上形成排列有序的涡街。涡街中上下两列旋涡旋转方向相反，旋涡强度相同