三线摆法测转动惯量

1、三线摆法测转动惯量一、概述转动惯量是物体转动惯性的量度。物体对某轴的转动惯量的大小，除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量的分布有关。正确测量物体的转动惯量，在工程技术中有着十分重要的意义。如正确测定炮弹的转动惯量，对炮弹命中率有着不可忽视的作用。机械装置中飞轮的转动惯量大小，直接对机械的工作有较大影响。有规则物体的转动惯量可以通过计算求得，但对几何形状复杂的刚体，计算则相当复杂，而用实验方法测定，就简便得多，三线扭摆就是通过扭转运动测量刚体转动惯量的常用装置之一。二、实验目的1、学习用三线摆法测量物体的转动惯量，相同质量的圆盘和圆环绕同一转轴扭转，实验所得转动惯量不同，说明转动惯量与质

2、量分布有关。2、验证转动惯量的平行轴定理。3、学习用激光光电传感器精确测量三线摆扭转运动的周期。三、实验原理三线摆是将一个匀质圆盘，以等长的三条细线对称地悬挂在一个水平的小圆盘下面构成的。每个圆盘的三个悬点均构成一个等边三角形。如图1所示，当底圆盘B调成水上圆盘下圆盘平，三线等长时，B盘可以绕垂直于它并通过两盘中心的轴线OO作扭转摆动，扭转的周期与下圆盘（包括其上物体）的转动12惯量有关，三线摆法正是通过测量它的扭转周期去求已知质量物体的转动惯量。由节末附的推导可知，当摆角很小，三悬线很长且等长，悬线张力相等，上下圆盘平行，且只绕OO轴扭转的条件下，12图1下圆盘B对00轴的转动惯量/为:12

3、0(1)式中m为下圆盘B的质量，r和R分别为上圆盘A和下圆盘B上线的悬点到各自圆心001 和O的距离（注意r和R不是圆盘的半径），H为两盘之间的垂直距离，T为下圆盘扭20转的周期。若测量质量为m的待测物体对于OO轴的转动惯量J,只须将待测物体置于圆盘12上，设此时扭转周期为T，对于OO轴的转动惯量为：12(m+m0丿旳T24兀2H于是得到待测物体对于OO轴的转动惯量为:12J=(m+mo)gRrT2-J4兀2H0上式表明，各物体对同一转轴的转动惯量具有相叠加的关系，这是三线摆方法的优点。为了将测量值和理论值比较，安置待测物体时，要使其质心恰好和下圆盘B的轴心重合。(2)(3)图2本实验还可验证

4、平行轴定理。如把一个已知质量的圆柱体放在下圆盘中心，质心在OO轴，测得其转动惯量为J；然后把其质心移动距离122d,为了不使下圆盘倾翻，用两个完全相同的圆柱体对称地放在圆盘上，如图2所示。设两圆柱体质心离开OO轴距离均为d（即两圆柱体的质心间距为2d）时，对于OO轴1212的转动惯量为J,设一个圆柱体质量为m,则由平行轴定理可得：3md2=3-J22(4)由此测得的d值和用长度器实测的值比较，在实验误差允许范围内两者相符的话，就验证了转动惯量的平行轴定理。四、仪器和器材新型转动惯量测定仪平台、米尺、游标卡尺、计数计时仪、水平仪，样品为圆盘、圆环及圆柱体3种。为了尽可能消除下圆盘的扭转振动之外的

5、运动，三线摆仪上圆盘A可方便地绕OO12轴作水平转动。测量时，先使下圆盘静止，然后转动上圆盘，通过三条等长悬线的张力使下圆盘随着作单纯的扭转振动。五、实验内容及仪器使用方法依照机械能守恒定律，若扭角足够小，悬盘的运动可以看作简谐运动，结合有关几何关系可以得到如下公式：1、悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量为：MgRrJ=0T204兀2H02、悬盘上放质量为M的物体，其质心落在中心轴，悬盘和M物体共同对于中心轴11的总转动惯量为：=(0+1)gRT2TOC o 1-5 h z14n2H1质量为M的物体对中心轴的转动惯量J:1M1M1103、质量为M的刚体绕过质心轴线的转动惯量为J,转轴平行

6、移动距离d时，其绕新2轴的转动惯量将变为J二J+Md2，将两个质量相同的圆柱体M对称的放置在悬盘22的两边，并使其边缘与悬盘上同心圆刻槽线相切，如图3所示，如果实验测得摆动周期为T，则两圆柱体和悬盘对中心轴的总转动惯量为:2=(M0+2M丿gRrT224n2H2质量为M的圆柱体对中心轴的转动惯量J为:2M2JM2=J2-J0）4、比较实验数据与理论计算的结果。（理论公式详见讲义）5、圆盘半径测量及验证平行轴定理示意图如图2和图3所示。图3 六、仪器使用步骤1、调节三线摆1）调节上盘（启动盘）水平将圆形水平仪放到旋臂上，调节底板调节脚，使其水平。2）调节下悬盘水平将水平仪放至悬盘中心，调节摆线锁

7、紧螺栓和摆线调节旋钮，使悬盘水平。2、调节激光器和计时仪1）先将光电接收器放到一个适当位置，后调节激光器位置，使其和光电接收器在一个水平线上。此时可打开电源，将激光束调整到最佳位置，即激光打到光电接收器的小孔上，计数计时仪右上角的低电平指示灯状态为暗。注意此时切勿直视激光光源。2）再调整启动盘，使一根摆线靠近激光束。（此时也可轻轻旋转启动盘，使其在5度角内转动起来）3）设置计时仪的预置次数。（具体操作步骤见后面说明）3、测量下悬盘的转动惯量J01）测量上下圆盘悬点到盘心的距离r和R，用游标卡尺测量悬盘的直径D1。2）用米尺测量上下圆盘之间的距离H。3）记录悬盘的质量M。04）测量下悬盘摆动周期

8、T，轻轻旋转启动盘，使下悬盘作扭转摆动（摆角V5o）,0记录20个周期的时间。4、测量悬盘加圆环的转动惯量J11）在下悬盘上放上圆环并使它的中心对准悬盘中心。2）测量悬盘加圆环的扭转摆动周期T。13）测量并记录圆环质量M，圆环的内、外直径D和D。1内外5、测量悬盘加圆盘的转动惯量J31）在下悬盘上放上圆盘并使它的中心对准悬盘中心。2）测量悬盘加圆盘的扭转摆动周期T。33）测量并记录圆盘质量M，直径D。3盘6、验证平行轴定理1）将两个相同的圆柱体按照下悬盘上的刻线，对称的放在悬盘上，相距一定的距离2d二D-D。槽小柱2）测量扭转摆动周期T。23）测量圆柱体的直径D，悬盘上刻线直径D及圆柱体的总质

9、量2M。小柱槽2七、实验内容图31、测定下圆盘对于OO轴的转动惯量J，和理论值进行比较。120理论值公式为：圆盘（或圆柱体）J=1mD2，（D为直径）；8圆环J=1m62+D2），R和r由实验室给出，或按图3所8内外i示可得r=ra32、测圆环或圆盘对于OO的转动惯量J,和理论值比较。123、验证平行轴定理。将两个直径为D的圆柱体放置在悬盘上，使它们的间距为2d，如图2所示，d为圆柱体中心轴线与转轴间距离，两圆柱体中心连线通过转轴。测得J和J，按32（4）式计算md2值，并与理论值进行比较。八、实验数据（仅供参考）表一各周期的测定悬盘质量圆环质量2圆柱体总质量圆盘质量测量项目M=61553g0

10、M=23505g12M=23985g2M=22135g3摆动周期数n2020202020136.79334.90034.65634.26901 周期236.75034.90134.63134.321时间336.80934.87034.65234.271t/s436.74334.91034.67334.325536.78934.89134.66734.285平均值/s36.77734.89434.65634.294平均周期T=t/niT=1.8388s0T=1.7447s1T=1.7328s2T=1.7147s3表二上、下圆盘几何参数及其间距测量项目D/cmH/cma/cmb/cmJ3R=a/c

11、m3r=/cm3次数116.79257.7013.825.257.9793.025216.79057.6813.805.24316.79457.6913.835.23平均值16.79257.6913.825.24表三圆环、圆柱体几何参数测量项目D,/cm内D/cm外D/cm盘D/cm小柱D/cm槽2d=DD/cm槽小柱次数16.00412.01611.9962.99911.998.9926.00612.01811.9973.00036.00412.01611.9963.001平均值6.00512.01711.9963.0001、实验计算得转动惯量值：-RMT24兀2H00 x7.979x3.0

12、254兀2x57.69x615.53x1.83882=2.160 x104gcm2=2.160 x103kgm2-gR(M+M)T2=4兀2H011x7.979x3.025x(615.53+235.05)x1.744724兀2x57.69 =2.688x104gcm2=2.688x103kgm2x(615.53+239.85)x1.73282x7.979x3.0254兀2x57.69=2.666x104gcm2二2.666x10-3kgm2x(615.53+221.35)x1.71472x7.979x3.0254n2x57.69=2.554x104gcm2=2.554x10-3kgm2J=J一

13、J=2.688x10-3一2.160 x10-3二0.528x10-3kgm2M110M22.666x10-32.160 x10-32=0.253x10-3kgm2J=JJ=2.554x10-32.160 x10-3=0.394x10-3kgm2M3302、理论计算值：J/=1MD2=1x615.53x16.7922=2.170 x104gcm2=2.170 x103kgm208018J/=1MG2+D2L1x235.05x(5.0052+12.0172)=0.530 x104gcm2M18内外8=0.530 x103kgm211239.85J/=xMD2+Md2=xx3.0002+M282小

14、柱282239.852(8.99)2I2丿=0.256x104gcm2=0.256x103kgm2J/M3=1xMxD2大=1x221.35x11.9962=0.398x10-3kg83大柱8m23、误差分析：下悬盘误差圆环误差：小圆柱误差M1M22.1702.1602.170=0.5%0.5300.5280.530=0.4%0.2560.2530.256=1.2%圆盘误差：九、思考题0398一0394=1.0%0.3981、试分析(1)式成立的条件。实验中应如何保证待测物转轴始终和OO轴重合？122、将待测物体放到下圆盘(中心一致)测量转动惯量，其周期T一定比只有下圆盘时大吗？为什么？附：公

15、式(1)的推导设下圆盘的质量为m，以小角度作扭转振动时，它沿OO轴线上升的高度h，如012TOC o 1-5 h z图4所示，则势能为：E=mghp0当圆盘回到平衡位置时，它具有动能为：E=-JO2k200|式中J为下圆盘对于通过其质心且垂直于盘面的OO轴的转动012图4恒定律1J32200=mgh0(7)惯量，3为回到平衡位置时角速度，略去摩擦力，按机械能守把下圆盘小角度扭转振动作为简谐振动，圆盘的角位移9与时间t的关系为:2兀TOC o 1-5 h z9=9sint(8)0T0d92兀2兀3=9costdtT0T002兀1(2兀2在通过平衡位置时，3=9，于是9=mgh(9)0t020T0丿000设悬线长度AB=L，上下圆盘悬点到中心的距离分别为r和R。对应角振幅9，0下圆盘轴向上移高度h=OO=AC-AC=ACAC$22AC+AC(10)由于AC2=AB2一BC2=L(R一r)2,AC=AB一BC2=LQ2+r2Rrcos9),20所以2Rr(1-cos9)h=e-H+H-h)4Rrsin2(9/2)=02Hh(11)由于9很小,91sin2o92,h2H240，则得：Rr92h=o2H(12)代入(9)式并经整理，得到表达式为：j=mg竺T204兀2H0此即(1)式。参考资料王国华工科物理实验上海科学技术文献出版社1992.12丁慎训张孔时物理实验教程(普通物理实验部分