初二数学.秋.直升班.教师版.第4讲几何变换之轴对称

1、第四讲几何变换之轴对称（二）轴对称变换一般应用于处理整个图形是非轴对称图形而其中有部分轴对称图形（相对于整个图形而言，称为轴对称子图形），构造往往非常巧妙，往往不容易想到，但是同学们要掌握构造轴对称的思想。本讲主要讲解在中考中和直升考试中，常见的一些构造轴对称的模型：倍角模型；等线段、等腰三角形与轴对称变换；构造特殊角形成特殊的三角形。模块一倍角模型倍角模型与半角模型类似，本质都是转化成等角模型；利用轴对称思想构造出角平分线，进而得到等腰三角形就是解决问题的一种常见方法。例1如图所示，在ABC中，ADBC于点D，B2C求证：ABBDCDAAAACDBDCDBCEDB解法一：用倍角模型容易解决如

2、图作ABC关于BC的垂直平分线对称的ACB，设高线AD关于BC的垂直平分线对称为AD，则B2C，ABAAAC，而AADDCDCDCDBD因此ABBDCD解法二：由已知ADBC，B2C，如果我们在CD上截取DEDB，连接AE，就可以构造出两个等腰三角形ABE和AEC解法三：延长CB至点E，使得BEAB，则容易证明ACE也为等腰三角形【教师备课提示】这道题主要是引出倍角模型例2初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版41如图，AOB是等腰三角形，AOAB，AOB与AOB关于直线l对称连接BB和AB，如果ABB2ABB，那么BAO和BAB的数量关系是_42初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版AlAA

3、lAOOBBBB由“ABB2ABB”联想到角平分线，其实对称起到了角的转移，AB平分ABB连接AA，AABBAABBBA，又ABBABAAABABA，AAAB，又ABAOAOABAOA是等边三角形，设OABy，ABB60yABB1202y，BAB180(60y)(1202y)3y，3BAOBAB例3问题：已知ABC中，BAC2ACB，点D是ABC内的一点，且ADCD，BDBA探究DBC与ABC度数的比值请你完成下列探究过程：B先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC90时，依问题中的条件补全图形观察图形，AB与AC的数量关系为_；当推出DAC15时，可进一步推出D

4、BC的度数为_；CA可得到DBC与ABC度数的比值为_（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明（1）相等；15；1:3（2）猜想：DBC与ABC度数的比值与中结论相同证明：如图2，作KCABAC，过B点作BKAC交CK于点K，连结DKBAC90，四边形ABKC是等腰梯形CKABK4B612DCDA，DCADAC5D3KCABAC，KCD3C图2A初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版43KCDBAD24，KDBD44初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版KDBDBAKCBKAC，ACB6KCA2ACB，5ACB56KCKB

5、KDBDKBKBD60ACB6601，BAC2ACB120211(601)(1202)12180，221DBC与ABC度数的比值为1:3【教师备课提示】这道题来源于北京中考，具有浓浓的故事背景模块二等腰三角形与轴对称变换对于整个图形是轴对称图形的平面几何问题，如果以其对称轴为对称轴作轴对称变换，则整个图形毫无变化，因此对解决问题是没有丝毫帮助的但如果只是一部分图形是轴对称图形，此时以其对称轴为对称轴作轴对称变换，再找出轴对称图形之外的有关元素的像，则原来的几何图形即发生了变化，从而有可能使问题得到解决等腰三角形问题在平面几何中占有很大的比例，它是一类典型的轴对称图形，因而等腰三角形除了可以考虑

6、用旋转变换处理外，还可以考虑用轴对称变换处理，对称轴即等腰三角形的对称轴例4如图所示，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，点P在ABD内部，求证：APBAPCAAPPPBQDCBDC作点P关于AD的对称点P，连接AP并延长交PC于点Q，连接PC因为ABAC，AD是BC边上的高，易得APCAPB初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版45因为APCPQC，PQCAPC，故APBAPC【教师备课提示】这道题主要让孩子们感受一下等腰三角形中的“丫”字用轴对称解决的方法46初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版例5已知：ABC是一个等腰直角三角形，ABBC，ABC内部有一点P，连接PA，PBCPC

7、B15，求证：ABAPBBPQPACAC如图所示，构造PBC与QBA对称全等，连接PQ，可得PBCQBA15，QBP90151560，又BPBQ，BPQ为等边三角形，AQBQPQ，又AQB1801515150，AQP36015060150AQB，可得AQBeqoac(,)AQP，ABAP【教师备课提示】通过这道题，来讲解下关于针对等腰三角形的几种轴对称处理手段，”主要有3种，备课的时候让唯哥给我们分享！第一种：过B作AC的垂线，延长CP于垂线相交，连接A与其交点即可，俗称“三线合一法；第二种：以BP为边向内构造等边三角形或以AP为边向下构造等边三角形或以AC为边向上构造等边三角形，一般地，如果

8、出现等腰三角形，以底边构造等边三角形可以解决；第三种就是利用轴对称方法例6在ABC内取一点M，使得MBA30，MAB10，设ACB80，ACBC，求AMCC如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E，M则AEBE而EAMEABMAB301020，AB1ACEACB40，2EACCAHEAB(9040)3020，AMEMABMBA103040，CE则AMEACE(SAS)，M因此AMAC，AHB初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版471AMCACM(180CAM)702【教师备课提示】通过这道题，让孩子们自己体会下用哪种方法，总结是不是所有的这种题三种方法都可以，如果不是，那什么样的题适合用什

9、么样的方法？48初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版例7如图所示，在ABC中，BACBCA44，M为ABC内一点，使得MCA30，MAC16，求BMC的度数BBOMMACADC在ABC中，由BACBCA44，可得ABAC，ABC92如图所示，作BDAC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，则有OACMCA30，BAOBACOAC443014，OAMOACMAC301614，所以BAOMAO又因为AOD90OAD903060COD，所以AOM120AOB而AOAO，因此ABOAMO，故OBOM180BOM由于BOM120，则OMBOBM30，2故BMC180OMB150模块三构造特殊角形成特

10、殊的三角形在一些题当中，往往出现两角和或者差为特殊的角度，但是两个角度又离的比较远或者位置比较特殊，这个时候可以考虑三大变换来解决问题，但是构造比较巧妙，往往不容易想到，在这里把这样的一些利用轴对称构造特殊角度形成特殊的三角形如直角三角形，等边三角形等的题总结下例8在凸四边形ABCD中，ADBABC105，CBD75如果ABCD15cm，求四边形ABCD的面积CCCCCDDDABAABB初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版49如图，将CDB沿BD中垂线翻折至eqoac(,C)BD处ABC105，CBD75；ABD105，CBD75；ABDABCCBD30又ADB105；A180ADBABD4

11、5由翻折可知：CDBeqoac(,C)BDCBCD15，CDBCBD75；ADBCDB180A，D，C三点共线；又ABCD15ABCB15；CA45ABC为等腰直角三角形，SABC1225ABCB22四边形ABCDSSABDSCBDSABDSCBDS2252ABCABBCCDADC例9已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且AMD120，证明：12AAB11DDBMCBMC1显然，要证题设的不等式，应当把AB，BC，CD三条线段首尾连接成一条折线，然2后再与线段AD比较要实现这一构想，折线之首端应与A点重合，尾端应与D点重合，这可由轴对称来实现则BB以AM为对称轴，作点B关于AM的对称点B，

12、连接AB、MB，AA1111，MBMB，1而MBMCBC，所以BMC是等边三角形，BCBC22即ABMABM，由此BMABMA11再以DM为对称轴，作点C关于DM的对称点C，连接DC、MC，则DCDC，1111MCMC，即DCMDCM，由此CMDCMD111而AMD120，所以BMACMD180AMD18012060注意到BMACMDBMACMD60，11因此BMC120(BMACMD)1206060，111111111111由于两点之间以直线段为最短，所以ABBCCDAD，111150初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版1即ABBCCDAD2初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版51例10

13、在ABC中，ABAC，60BAC120，P为ABC内部一点，PCAC，PCA120BAC，求CBP的度数AAPPPBDCBC故CBPBCPBAC3060BAC3011法一：容易求得PACBAC30，BAPBCPBAC3022ABC的对称轴为AD，作点P关于AD的对称点P，则PAP60，故APP为等边三角形，11则PC平分ACP，PCPPCA60BAC221212法二：在BC上截取CDAP，连接PD，如图所示假设A，则PCA120，ABCACBPCAC180A9022PACAPC180PCA3022PCBACBPCAPCBBAP230，BAPBACPACA230PCACBA，CDAPPCDBAP

14、(SAS),PDBP假设CPDx，则ABPxABCABPPCDDPCP即902x230 xBDC解得：x602PBCPDBCPDPCB60223030【教师备课提示】此题也可以用构造等边的方法来求解52初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版53复习巩固模块一倍角模型演练1在等腰直角三角形ABC中，P为内部一点，满足PBPC，APAC求证：BCP15AAAPPBCBC补形成正方形，证明AAP为等边三角形即可解决问题【教师备课提示】这道题主要是锻炼下孩子们，看看能不能发现题中隐含的2倍角，也就是等腰直角三角三角形演练2如图所示，在ABC中，ACB2ABC，P为

15、三角形内一点，APAC，PBPC，求证：BAC3BAPAAAPPBCBMC由已知条件PBPC，考虑作直线PMBC于M，并以PM为对称轴将APC翻折至APB的位置，连接AA由轴对称的性质有AABC，ABCACB2ABC因为AABABCABA，54初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版于是AAABACAPAP，即AAP是正三角形，从而可得ABCAAB60BAP，ACB2ABC1202BAP再由ABC三内角之和为180，即(60BAP)(1202BAP)BAC180，整理后得BAC3BAP【教师备课提示】主要说明北京中考题的来源，来源是第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题，主要就是考察倍角模型模块二

16、等腰三角形与轴对称变换演练3如图，在ABC中，BAC80，ABAC，O为ABC内一点，且OBC10，OCA20，求BAO的度数eqoac(,?)ABEOBC，得BOBA，BAO(18040)70解法一：如图，作AEBC于E，延长CO交AE于F，连接BF，则BAFCAF40，FBFC，FBCFCB30，得FBO20FBA，FOB40FAB，又BFBF，得AFBeqoac(,?)OFB，1BOBA，从而BAO(18040)702解法二：如图，以BC为边作等边BEC，连接AE，则BECE，ABAC，AEAE，得ABEACEAEBAEC30，ABAC，BAC80，ABC50，EBA10OBC，又AEBOCB30，BCBE，12初二数学.秋第4讲目标名校直升班教师版55模块三构造特殊角形成特殊的三角形演练4如图所示，在四边形ABCD中，