高中数学必修二 第七章 7.2 7.2.1VIP

1、7.2.1复数的加、减运算及其几何意义知识点一复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(abi)(cdi)eq o(,sup4(01)(ac)(bd)i.(2)复数加法的运算律复数的加法满足eq o(,sup4(02)交换律、eq o(,sup4(03)结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2eq o(,sup4(04)z2z1；(z1z2)z3eq o(,sup4(05)z1(z2z3)知识点二复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义设eq o(OZ1,sup16()，eq o(OZ2,sup16()分别与复数abi，cdi对应，则eq o(OZ1,sup16()(a，b)，e

2、q o(OZ2,sup16()(c，d)由平面向量的坐标运算法则，得eq o(OZ1,sup16()eq o(OZ2,sup16()(ac，bd)这说明两个向量eq o(OZ1,sup16()与eq o(OZ2,sup16()的和就是与复数(ac)(bd)i对应的向量因此复数的加法可以按照向量加法来进行(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量eq o(OZ1,sup16()，eq o(OZ2,sup16()的eq o(,sup4(01)终点，并指向被减向量的向量eq o(Z2Z1,sup16()所对应的复数设z1x1y1i，z2x2y2i，则d|Z1Z2|eq o(Z2Z1,sup16(

3、)|z1z2|(x1y1i)(x2y2i)|(x1x2)(y1y2)i|eq r(x1x22y1y22).(3)复平面内的两点间距离公式：deq o(,sup4(02)|z1z2|.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离如图：设复数z1，z2对应向量分别为eq o(OZ1,sup16()，eq o(OZ2,sup16()，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是eq o(,sup4(03)eq o(OZ,sup16()，与z1z2对应的向量是eq o(,sup4(04)eq o(Z2Z1,sup16().复数模的两个重要性质(1)|z1|z

4、2|z1z2|z1|z2|；(2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()(4)两个共轭虚数的差为纯虚数()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)计算：(35i)(34i)_.(2)(56i)(22i)(33i)_.(3)已知向量eq o(OZ1,sup16()对应的复数为23i，向量eq o(OZ2,sup16()对应的复数为34i，则向量eq o(Z1Z2,sup16()对应的复数为_答案(1)6i(2)11

5、i(3)1i题型一 复数的加、减运算例1计算：(1)(35i)(4i)(34i)；(2)(7i5)(98i)(32i)解(1)原式(343)(514)i410i.(2)原式(593)(782)i1i.复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部这种运算类似于初中的合并同类项计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)(i2i)|i|(1i)解(1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)(12i)2.(2)原式(1i)eq r(012)(1i)1i1(1i)12i.题型二 复数加、减运算的几何意义例2已知

6、四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数解解法一：设点D对应的复数为xyi(x，yR)，则D(x，y)又由已知得A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)，AC中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，BD中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，f(y1,2).平行四边形对角线互相平分，eq blcrc (avs4alco1(f(3,2)f(x,2)，,2f(y1,2)，)eq blcrc (avs4alco1(x3，,y5.)即点D对应的复数为35i.解法二：设点D对应的复数为xyi

7、(x，yR)则eq o(AD,sup16()对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又eq o(BC,sup16()对应的复数为(2i)(i)22i.由已知得eq o(AD,sup16()eq o(BC,sup16()，(x1)(y3)i22i，eq blcrc (avs4alco1(x12，,y32，)eq blcrc (avs4alco1(x3，,y5，)即点D对应的复数为35i.条件探究若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为13i，i,2i，求第四个顶点对应的复数解设13i，i,2i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则当四边形ABCD是平行四边形时，点D对应的复数是35

8、i.当四边形ABDC是平行四边形时，点D对应的复数为13i.当四边形ADBC是平行四边形时，点D对应的复数为1i.(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量eq o(BA,sup16()对应的复数为12i，向量eq o(BC,sup16()对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解(1)因为向量eq o(BA,sup16()

9、对应的复数为12i，向量eq o(BC,sup16()对应的复数为3i，所以向量eq o(AC,sup16()对应的复数为(3i)(12i)23i.又eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(AC,sup16()，所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i.因为eq o(AD,sup16()eq o(BC,sup16()，所以向量eq o(AD,sup16()对应的复数为3i，即eq o(AD,sup16()(3，1)，设D(x，y)，则eq o(AD,sup16()(x2，y1)(3，1)，所以eq blcrc (avs4alco1(x23，,y11，)解得eq

10、 blcrc (avs4alco1(x5，,y0.)所以点D对应的复数为5.(2)因为eq o(BA,sup16()eq o(BC,sup16()|eq o(BA,sup16()|eq o(BC,sup16()|cosB，所以cosBeq f(o(BA,sup16()o(BC,sup16(),|o(BA,sup16()|o(BC,sup16()|)eq f(32,r(5)r(10)eq f(1,5r(2)eq f(r(2),10).所以sinBeq f(7,5r(2)eq f(7r(2),10)，所以S|eq o(BA,sup16()|eq o(BC,sup16()|sinBeq r(5)eq

11、 r(10)eq f(7r(2),10)7.所以平行四边形ABCD的面积为7.题型三 复数加、减运算的几何意义的应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1.|z1z2|eq r(ac2bd2)eq r(a2c2b2d22ac2bd)eq r(3).解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱

12、形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC|eq r(|OA|2|AC|22|OA|AC|cos120)eq r(3).掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形若复数z满足|zi|zi|2，求|zi1|的最小值解解法一：设复数i，i，(1i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以复数z对应的点Z的集合为

13、线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设zxyi(x，yR)因为|zi|zi|2，所以eq r(x2y12)eq r(x2y12)2，又eq r(x2y12)2eq r(x2y12)0，所以0 eq r(x2y12)2，因为eq r(x2y12)2eq r(x2y12)，所以两边平方可得1yeq r(x2y12)，即(1y)2x2(y1)2，且01y2.所以x0且1y1，则zyi(1y1)所以|zi1|1(y1)i|eq r(12y12)1，等号在y1即zi时成立所以|zi1|的最小值为1.1复数z13i，

14、z21i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析z1z2(3i)(1i)22i，z1z2在复平面内对应的点位于第一象限2已知|z|3，且z3i是纯虚数，则eq o(z,sup6()等于()A3i B3iC3i D4i答案A解析设zxyi(x，yR)，由z3ix(y3)i为纯虚数，得x0，且y3，又|z|eq r(x2y2)|y|3，y3，z3i，eq o(z,sup6()3i.故选A.3非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量Oeq o(A,sup16()，Oeq o(B,sup16()，若|z1z2|z1z2|，则()AOeq o(A,su

15、p16()Oeq o(B,sup16() B|Oeq o(A,sup16()|Oeq o(B,sup16()|COeq o(A,sup16()Oeq o(B,sup16() DOeq o(A,sup16()，Oeq o(B,sup16()共线答案C解析如图，由向量的加法及减法法则可知，Oeq o(C,sup16()Oeq o(A,sup16()Oeq o(B,sup16()，Beq o(A,sup16()Oeq o(A,sup16()Oeq o(B,sup16().由复数加法及减法的几何意义可知，|z1z2|对应Oeq o(C,sup16()的模，|z1z2|对应Beq o(A,sup16()的模又|z1z2|z1z2|，所以四边形OACB是矩形，则Oeq o(A,sup16()Oeq o(B,sup16().4复数z满足z(1i)2i，则z等于()A1i B1iC1i D1i答案A解析z2i(1i)1i.故选A.5如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,32i，24i.求：(1)向量eq o(AO,sup16()对应的复数(2)向量eq o(CA,sup16()对应的复数(3)向量eq o(OB,sup16()对应的