高中数学必修二 高一（下）期末测试卷（A卷 基础巩固）（含答案）

1、高一（下）期末测试卷（A卷 基础巩固）数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2021浙江金华市高三三模）复数(i是虚数单位)，则z的共轭复数（ ）A-1B-iC1Di【答案】B【分析】首先化简复数，再求的共轭复数.【详解】，所以.故选：B2（2021浙江高二期末）是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且满足，则以下结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【分析】根据线线、线面、面面平行的位置关系，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：若，则，平行或相交或异面，

2、所以选项A错误；对B：若，则或，又，所以，所以选项B正确；对C：若，则，平行或相交，所以选项C错误；对D：若，则或，所以选项D错误.故选：B.3（2021浙江高一期末）若向量，且，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】本题可根据向量垂直的坐标表示得出结果.【详解】因为，所以，解得，故选：D.4（2021沈阳市辽宁实验中学高三其他模拟）来自澳大利亚的心理学家MichaelWhite设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色：黑白灰，但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同

3、学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为（ ）A0.45B0.55C0.05D0.95【答案】D【分析】结合题意，根据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】因为在所调查的100名调查者中，55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，所以100名调查者中，产生怀特错觉的人数为，

4、因此估计在人群中产生怀特错觉的概率约为，故选：D5（2021重庆八中高三其他模拟）北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） ABCD【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为.故选：B.6（2021全国高考真题（理）

5、在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）ABCD【答案】B【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出7（2021河南安阳市高三三模（理）甲乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的

6、分组方法，用和分别表示甲乙的平均数，分别表示甲乙的方差，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【分析】由平均数和方差的定义和性质判断即可得出结果.【详解】平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即，故选：B.8（2021河南高三月考（文）垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别

7、为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为（ ）ABCD【答案】C【分析】记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，用列举法写出其随机投放的所有基本事件，及恰有一袋投放正确的基本事件，计数后可计算出概率【详解】记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（

8、4，2），（4，3），共12种，所以所求概率.故选：C二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9（2021全国高二单元测试）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）A取出的最大号码X服从超几何分布B取出的黑球个数Y服从超几何分布C取出2个白球的概率为D若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为【答案】BD【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发

9、生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，

10、故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题10（2021浙江高一期末）己知向量，则（ ）ABC向量在向量方向上的投影是D与向量方向相同的单位向量是【答案】ABCD【分析】根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.【详解】，则，故A正确；，故B正确；向量在向量上的投影是，故C正确；与方向相同的单位向量为，故D正确；故选：ABCD11（2021浙江高一期末）下列说法不正确的是（ ）A满足的复数只有B若a、b是两个相等的

11、实数则是纯虚数CD复数的充要条件是【答案】ABC【分析】对于A，可判断错误；对于B找出反例不满足题意，判定错误；对于C若，则其不正确；对于D，则其虚部为0，故正确故可得答案【详解】对于A，故A错误；对于B，若，则不是纯虚数，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，则其虚部为0，故D正确故选：ABC.12（2021全国高一课时练习）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点以下结论成立的是（ ）ABCPCBOM平面ABCC点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【答案】ABCD【分析】利用

12、线面垂直的判定定理可得BC平面PAC，进而判定A；由OMPA，可得OM平面ABC；由BC平面PAC可判定C正确；由M到底面的距离是B到底面距离的一半，利用棱锥的体积公式可知D正确.【详解】因为PA圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以PABC，而BCAC，PAAC=A，所以BC平面PAC，而PC平面PAC，所以BCPC，故A正确;因为点M为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OMPA，所以OM平面ABC，故B正确;因为BC平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确;三棱锥M-PAC和三棱锥P -ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，

13、故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，故D正确故选：ABCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（2021湖南衡阳市八中高三其他模拟）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆某超市在元宵节期间出售2个品牌的黑芝麻馅汤圆，2个品牌的豆沙馅汤圆，若将这4种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为_【答案】【分析】利用捆绑法求出同一种馅料的汤圆相邻的可能排法数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】将2个品牌的豆沙馅汤圆、2个品牌

14、的黑芝麻馅汤圆分别捆绑，形成两个大“元素”，同一种馅料的汤圆相邻的排法种数为，故所求事件的概率为故答案为：14（2021陕西宝鸡市高三三模（文）圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为_【答案】【分析】由圆的方程判定圆心和半径，得到阴影部分由分别以A,B为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，计算其面积，然后除以整个正方形的面积即得所求概率.【详解】圆及分别以和为圆心，半径都是1.连接OC，可知阴影部分由分别以为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为,正方形的面积为，所以质点落在阴影部分区域的概率为,故答案为：.【点睛】本题

15、考查面积几何概型问题，难点是计算阴影图形的面积.15（2021浙江高一期末）如图，正方形的边长为2，是线段上的动点（含端点），则的取值范围是_【答案】【分析】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图：，且，所以，所以.所以的取值范围是.故答案为：16（2021浑源县第七中学校高三其他模拟（文）沈阳方圆大厦是“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其正视

16、图和侧视图如图所示，则其表面积为_.【答案】【分析】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是圆柱体挖去一个直四棱柱而构成，则所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积，从而可得答案.【详解】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是底面直径为100，高为40的圆柱体，挖去一个底面是正方形、高为40的直四棱柱而构成.所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积. 故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（2021陕西西安市西安中学高三其他模拟（理）设向量，（1）若，求实数的值；（2）

17、设函数，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）条件是，由向量模的坐标运算可得的方程，可解得；（2）首先由向量积的定义求得的表达式，并利用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式，再由正弦函数的性质可求得的最大值【详解】（1）由，根据，得又，从而，所以（2），,当，即时，的最大值为.【点睛】根据正弦函数值求解角度时，一定要规定角度的范围，往往多解或少解；求三角函数的性质时，一定要将其函数化为一个三角函数形式.18（2021浙江高一期末）已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位（1）求复数z和；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围【答案】（1），

18、；（2）【分析】（1）设，由已知列关于，的方程组求解；（2）把（1）中求得的代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解【详解】解：（1）设，则，为实数，即为实数，则；所以，（2）由（1）得，依题意得，解得实数的取值范围是19（2021全国高一课时练习）如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点（1）求证：直线AE直线A1D;（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG【答案】（1）证明见解析；（2）G点即为A1点.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DA1平面ABC1D1，然后证得；（2）取CD的中点H，可证DF平面AHE，得到DFAE

19、，进而AE平面DFA1，从而判定G点即为A1点.【详解】（1）连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1=A，所以DA1平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，所以DA1AE（2）如图所示，G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEH=H，可证DF平面AHE，所以DFAE，又DFA1D=D，所以AE平面DFA1，即AE平面DFG20（2021浙江高一期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为平行四边形，为线段的中点，且，平面与棱相交于点F（1）求证：；（2）求证：【答案】（1）证明见解析；（2

20、）证明见解析；【分析】（1）首先证明面，再由线面平行的性质即可得证；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再由线面垂直的性质定理与判定定理得到面，即可得到，从而得到，即可得到面，即可得证；【详解】解：（1）因为底面为平行四边形，所以，因为面，面，所以面，又面面，面，所以；（2）由（1），为线段的中点，所以为的中点，因为，由余弦定理可得，即，解得， 所以，即，又，所以，因为平面，平面，所以，因为，面，所以面，因为面，所以，又，所以因为，面，所以面，因为面，所以21（2021全国高一单元测试）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；【答案】（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）【分析】(1)结合“频率之和为1”即可.(2)结合直方图中位数的求法