初中数学培优竞赛讲座第18讲-乘法公式

1、 初中数学培优竞赛讲座第18讲乘法公式第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；根据待求式的特点，模仿套用公式；对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式.例题【例1(1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是.(江苏省竞赛题)(2)已知(2000a)(1998a

2、)=1999,那么(2000a)2+(1998一a)2=(重庆市竞赛题)思路点拨(1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000一a)(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形.注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律公式.从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法.乘法公式常用的变形有：a2+b2=(ab)2+2ab9ab二+疔一仗+，)=(/+，)_(疔.(a+b)2+(a-b)，=2a+2b2；(q+疔_(a-b)2=

3、4ab；必二+仍_(a_b),a2+c2=a+i)+cy-2ab-bc+ac)4【例2】若x是不为0的有理数，已知gs+i)(+i),N(X?+x+1)(，X+1),则M与N的大小是()AMNB.MNCM=ND.无法确定思路点拨运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小.【例3】计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(天津市竞赛题)(2)1.345X0.345X2.691.3452一1.345X0.3452.(江苏省竞赛题)思路点拨若按部就班计算，显然较繁.能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2),由于数字

4、之间有联系,可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征.【例4】已知x、y满足X2十y2十5=2x十y,求代4数式亠的值.(“希望杯”邀请赛试题)x+y整数X，y满足不等式x2+y2+10,bo),丙商场：第一次提价的百分率为b,第2二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多？说明理由.(河北省竞赛题)思路点拔对于(1),(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小.注：有些问题常常不能直接使用公式，而需要

5、创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式.常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等.完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)；a2土2ab+b2=(a土b)20*揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题(2)a2+b2二2ab应用于代数式的最值问题代数等式的证明有以下两种基本方法：由繁到简，从一边推向另一边；相向而行,寻找代换的等量.【例5】已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数.证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨从a2+b2=C2的变形入手；a2=C2-b2，运用质数、奇偶数性质证明.学力训练1观察下列各式：（x一

6、1）（x+1）=x2一1；（X一1）（X2+X+1）=X3一1；（X一1）（X3十X2+X+1）=X4一1(杭根据前面的规律可得（X一1）（xn+xn-1+X+1）=（武汉市中考题）2已知a2+b2+4a-2b+5=0，则凹=_TOC o 1-5 h z州市中考题）Z3计算： HYPERLINK l bookmark16 o Current Document （1）1.23452+0.76552+2.469X0.7655:；（2）19492一19502+19512一19522+19972一 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 19982+1999

7、2=；199919972+199919992-24如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式（大原市中考题）5已知6已知1999199821，则a4+a2+1=a+5a-:3,b+e-5，则代数式B一2Cac-be+a2-abA一15（扬州市中考题）7乘积（1-1-+2232A1299B庆市竞赛题）（1-丄）（1-丄）等于（19992200022001C1999200040008若x-y=2,x2+y2=4，则x2002+y2002的值是（A4B20022C22002（荷泽市中考题）D6（第4题）.D20014000）D.420029

8、若x2-13x+1=0，则x4+丄的个位数字是（）x4才B3C5D7A1（重图10题）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（Aa2-b2=（a+b）（a-b）C（a一b）2=a2一2ab+b2西省中考题）（1）设x+2z=3z,）.B（a+b）2=a2+2ab+b2D（a+2b）（a一b）=a2+ab一2b2（陕判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由已知x2一2x=2,将下式先化简，再求值：（x1）2+（x+3）（x一3）

9、+（x一3）（x一1）（上海市中考题）12.一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数.13观察：1.2.3.4+1=52+1=112+1=192请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1）,计算2000X2001X2002X2003+1的结果（用一个最简式子表示）.（黄冈市竞赛题）14.你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析n=1,n=2,n=3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论.(1

10、)通过计算，探索规律.152225可写成100X1X(1+1)+25；252=625可写成100X2X(2+1)+25；352=1225可写成100X3X(3+1)+25；452=2025可写成100X4X(4+1)+25；752=5625可写成；852=7225可写成.从第(1)-题的结果，归纳、猜(10n+5)2=19952根据上面的归纳猜想，请算出.(福建省三明市中者题)15已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0X+y16z=(天津市选拔赛试题)若x+y=10，x3+y3=100，则x2+y2=若a-b=3，则a3-b3-9ab=171,2,3,98共98个自然数中，能够表示成

11、两整数的平方差的个数是（初中数学联赛）18已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=（）A4B0C2D一219.方程x2-y2=1991，共有（）组整数解.A.6B7C8D920已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4（2b-a），则2的大小关系是（）AxWyBxMyCxy（大原市竞赛题）21已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2一abbc-ac的值为（）（全国（西安A0B1C2D3初中数学竞赛题）22设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.市竞赛题）23已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+“的值（

12、河北省竞赛题）24-若x+y=a+b，且b，求证x2+y2=a2+b2x1997+y1997=a1997+b1997*（北京市竞赛题）25.有10位乒乓球选手进行单循环赛（每两人间均赛一场），用xl,卩顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证：.x2+x2+x2=y2+y2+y226.（1）请观察：1210121025=52,1225=352,112225=3352,1122225=33352写出表示一般规律的等式，并加以证明(2)26=52+12,53=72+22,26X53=1378,1378=372+3

13、2.任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平注：有人称这样的数“不变心的数”数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘.瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广.他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和.即(a2+b2+C2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2这就是著名的欧拉恒等式.第十八讲乘法公式参考答案案法公式【例题求解】1止=工岀旳”9.1仁】设购牛it母哉数为小$且上歹肌得jr+y=1QCH成上+$=LOdO、解福(工.巧=49?同I)或lxJ-

14、2(-501+-499),(2)4002提示tt2(KI12选B例3(B原式=7-lH7+l(尸丄1了*+1H尹十l)+i=严1.2St】.345=则粽式=乂仆一1)2jr-iJ-xti-1!=-z=-L345例J(1提示：田已知得Sl+(yi)=0,得才=1.$=*,酿式匸寺fJrl用0(2)原不尊式可化为为群散所U可能有的结果是或(x11(il=0ijI(t=-2ft-=0ti1fj=l,戒t丄，解稈用品严貝p+y=或2或31芒一I爭一1=士1y1I1I1Iyf2ly=0Q甲、乙*丙三伞商场两抚提价后*价格甘刖为门十GH+如=1十4斗$+血N1+字1P爭)=+5+时+(申八fi卄”i+i-

15、i-u+H血咽f岁y-w疗九.所加晋必故乙商场厨战提術二价格垠亀瀏5(1)丙“+加3-时=川又十由与u由同奇同偶虫+仍一乩故不可能为-fflfl&tt2泄应为奇质数y+A与d同奇同偶与r愿为一奇一偶.(2)c+6a!两式相莎，祖2A=a!-L于是234+1)=加斗裁+2=2口+/】42=(口+1F为完全平方歌【学力训练】2.一*3.(1)4i3897326,(3)+I.5十bF4u6=(aIf)2AD雄示；逆用平方菱公式分解相约乱C捉示|由已知条件得刃=0久D提示：工工4由秉件得工十=1氛工十*=(土十卡)2=(丁十+)一2畫10-A1定値为0捉示三由番:件得*3jr=原式=03$(wJ)=8

16、9X1U+44-h2frt+m=89_fn=45从而*解得(加上尿为自然SD故j-=4S?-4-1=18Lnm=-llm=44fl对于自辆数s有-F3#f1:-iE略-(弟由门得匝式=鹽如护十20加十1严=400讯肌L)|(1(1X7X(7+lJ+25f100X9Kg+l)+25,2)(10n+5)I)0n(M+D+2S(3)【99丄5尸=ioxigmx1朋+1)+亦=3開ocj曲2Iti.Cl)40提示；jtj+jf1=r+y)Czy+yJ=f_r十叨匸(z十一3xjJ:(2)2?.17,?35ESt1J,=Tims(ii-i-nt)(rtm)(x-=1X1991=11X181=(-1)X(-199=(-111X(-181)B提示ijr-y=(a+2)I+4-4)10D提示=frV十fb+3c)琴提示2由a十总二】卫工+呼趴得+利用a4-1+frT41Ca-+AKa+fr)u6(fl*J+fT_:1)可分別求得显+卅一号心十“厶用十护罟心十肚寥23.4S提示1由a!-a-i-Ora-a-L.ja而屮+口7=氛口“+口4=7.所十九“匕亍0/+竹+21=九+7a_,-l=7(a+IX.Q1解