高中数学必修二 专题6.5 平面向量的坐标表示-同步培优专练

1、 专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示知识储备一平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y).2.在直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).【思考】点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？【答案】区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角

2、坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同二平面向量加、减运算的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点

3、的坐标减去起点的坐标.三 .平面向量的坐标运算:（1）若，则；（2）若，则；（3）设，则，.【注意】向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.四 平面向量数量积的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.则abx1x2y1y2.(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a(x2x1，y2y1)，(2)abx1x2y1y20.(3)【思考】若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝

4、角吗？【答案】不一定，当cos 0时，两向量的夹角可能是钝角，也可能是180.能力检测姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021天津高二学业考试）已知向量则的坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】.2（2021贵州黔东南苗族侗族自治州高一期末）已知平面向量，且，则下列正确的是（ ）AB或4CD【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.3（20

5、21江西上饶市高三一模（文）已知向量，若，则x的值为（ ）A2BCD【答案】D【解析】因为，所以，解得.故选：D4（2020江西吉安市高三其他模拟（文）已知，若，则（ ）ABC2D【答案】D【解析】，则，故选：D.5（2020四川省绵阳南山中学高三月考（文）已知向量，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】因为向量，所以,又因为,所以,故选B.6（2020全国高三其他模拟（文）在中，为的中点，都在线段上，且，则（ ）ABC-2D2【答案】A【解析】如图，建立直角坐标系，则，所以，所以，故选A7（2021陆良县中枢镇第二中学高二期末）设，向量，若，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】，所以，

6、解得或，故选C8（2021山东高三专题练习）已知向量则的模的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9（2020全国高一单元测试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（ ）ABCD【答案】AD【解析】，A选项， ，故满足题意D选项，故满足题意B、C选项中的不与平行，故选：AD10（2020全国高三其他模拟）已知向量，则（ ）ABCD与的夹角为【答案】ACD【解析】因为，所以，所以，故A正确；因为，所以与不平

7、行，故B错误；又，故C正确；因为，所以与的夹角为，故D正确.故选ACD11（2021江苏高一）已知向量，若，则（ ）A或B或C或D或【答案】AC【解析】因为向量，所以，若，则，即，解得或，故A正确，B错；当时，；当时，；故C正确，D错.故选AC.12（2020黄梅国际育才高级中学高三期中）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则（ ）A最小值为B最大值为C无最小值D无最大值【答案】AD【解析】建立如图所示的直角坐标系则，.设，则，所以，所以当，时，取得最小值，无最大值.故选AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2021四川南

8、充市高一期末）已知向量，且，则_【答案】1【解析】因为，所以.14（2021安徽阜阳市高三期末（文）已知向量满足，且，则_【答案】【解析】根据题意得：因为，由于，所以15（2021北京房山区高一期末）已知，则与方向相同的单位向量的坐标为_【答案】【解析】设与方向相同的单位向量坐标为，则，解得 或因为与的方向相同，所以，与同方向的单位向量是.16（2021山东高三专题练习）已知平面向量，.若，则实数x的值是_；若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是_.【答案】 【解析】， 因为与的夹角为锐角，所以, , 三、解答题（本大题共4小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

9、或演算步骤）17（本小题满分10分）（2020山东德州市高一期末）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐标（2）若，且与垂直，求的值.【解析】（1），设，即 ，则.，或.（2），即即则18（本小题满分12分）（2021南昌市江西师大附中高一期末）已知向量，.（1）求向量的长度的最大值；（2）设，且，求的值.【解析】（1）由题意，向量，可得，则.因为，所以，即.即当时， 的最大值为3.（2）由，则，又由，得，因为，所以，即，解得，可得，所以.19（本小题满分12分）（2021江苏高一）已知向量，（1）若点，三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值【解析】（1），点，三点共线，和共线，解得；（2）为直角三角形，且为直角，解得20（本小题满分12分）（2021江苏高一）如图所示，在矩形ABCD中，点M为边BC的中点，点N在边CD上.（1）若点N为线段CD上靠近D的三等分点，求的值;（2）若，求此时点N的位置.【解析】（1）如图建系，则，（2）设，则，解得因此，此时点为线段上靠近的三等分点21（本小题满分12分）已知向量，kt为正实数，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在kt使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为向量，kt为正实数，所以.因为所以， ，当且仅当