复合函数单调区间的求法_第1页
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1、复合函数单调区间的求法浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平一、复合函数单调性的判断：设yf(x),ug(x),xea,b,uem,n都是单调函数，则y=fg上也是单调函数。若yf(x)是m,n上的增函数，则y=fgG)与定义在a,b上的函数u=g(x)的单调性相同。若yf(x)是m,n上的减函数，则y=单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。二、复合函数单调区间的求解步骤:求复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本函数；分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性

2、；由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.1例1.求函数y的单调区间x2解：由x2丰0，得x0令tx2(t0)，则y1y1在(0,+s)上为减函数tt而tx2在(-8,0)上为减函数，在(0,+s)上是增函数；由“同增异减”可得，函数yx2在(一2,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数。例2求函数yx2-4x+3的单调区间.解：由x2-4x+30nx3函数的定义域是(一8,1U3,+8).1令ux2-4x,3，贝0yu2yu2在b,+）是增函数，而u在（-,1上是减函数，在b,炖）上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是3,+）,函数的减区间是（-,1例3已知f(X)8+2

3、xx2,试确定y=f(2x2)的单调区间.解：令t2x2，则yf(t8,2tt2(t12,9，得fC)在(,1上为增函数，在k+)上为减函数；由t2x21，解得x1，由t2x21，解得1x1；而函数t在（-,一1和L1,0上是增函数，在b,1和1,+）上是减函数；由复合函数求单调区间的方法得，g（x）的单调递增区间为（-,-1和b,1,g（x）的单调递减区间为1,+）和匸1,0.例4若函数f（x）在（-,+）上是减函数，试判断yfCx-x2）的单调区间。解：原函数的定义域为R令u2xx2，贝yyfC）,函数f（x）在（,+）上是减函数，而u2xx2在（-,1上是增函数，在1,+）上为减函数，在（-,1上为减函数，在1,+）上为增函数，即原函数的单调减区间为（-8,1，单调增区间为1,+）.评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原贝判断复合函数的单

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