几个典型的代数系统

1、几个典型的代数系统第1页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 定义6.1 设 V=是代数系统， 为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V 为半群。 如果半群V=中的二元运算是可交换的，则称V为可交换半群。 如果半群V=中的二元运算含有幺元，则称V为含幺半群，也可叫作独异点。有时将独异点记为。 半群的子代数叫作子半群，独异点的子代数叫作子独异点。 6.1 半群与群第2页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例1 (1) ,是半群，+是普通加法, 其中除外都是独异点. (2) 设n是大于1的正整数,和都是半群和独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法. (3) 为

2、半群，也是独异点，其中为集合的对称差运算. (4) 为半群，也是独异点，其中Zn=0,1, , n1， 为模n加法. (5) 为半群，也是独异点，其中为函数的复合运算. (6) 为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义如下：x, yR*, xy = y. 第3页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 是T 的单位元，T 本身可以构成独异点，但不是V2 的子独异点，因为V2的单位元是 e. 例2 设半群 V1=，独异点 V2=. 其中为矩阵乘法，e 为2阶单位矩阵, 且 ，则TS，且T 是V1=的子半群. 第4页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.3 (1)

3、 设V1=，V2=是半群，f :S1S2. 若 对任意的 x, yS1有 f (xy) = f (x)f (y) 则称 f 为半群V1到V2的同态映射，简称同态. (2) 设V1=，V2=是独异点，f :S1S2. 若对任意的 x, yS1有f(xy) = f(x)f(y) 且 f(e1)= e2, 则称 f 为独异点V1 到V2 的同态映射，简称同态. 定义6.2 设V1=，V2=为半群，则V1V2=也是半群，且对任意,S1S2有 = ,称V1V2为V1和V2的积半群。第5页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一则 f 是半群V1=的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为 f

4、(e)e. 例3 设半群 V1=，独异点 V2=. 其中为矩阵乘法，e 为2阶单位矩阵, 且 令第6页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.4 设是代数系统， 为二元运算。如果 运算是可结合的，存在幺元 eG，并且对 G 中的任何元素x，都有x1G，则称 G 为 群。实例:(1) ,都是群；和不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群，为对称差运算. (4) ，也是群. Zn= 0,1, , n1，为模 n 加第7页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一Klein四元群设 G = e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群 e

5、 a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 运算表特征： 对称性-运算可交换 主对角线元素都是幺元 -每个元素是自己的逆元 a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素. 第8页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一若群 G 是有穷集，则称G是有限群，否则为无限群。群 G 中的元素个数称为群G的 阶，有限群 G 的阶。记作|G|。若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群，也叫作阿贝尔(Abel)群。例： 和 是无限群 是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群是 4 阶群 n 阶 (n2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成

6、的群 是非交换群. 都是交换群第9页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为：实例： 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6 第10页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 设G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元。若不存在这样的正整数k，则称 x 为无限阶元。 实例 ： 在中， 2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元 0 是 1 阶元 在中，0 是

7、1 阶元，其它整数的阶都不存在. 第11页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定理6.1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) xG，(x1)1 = x. (2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. (5) 若G为交换群，则(xy)n = xnyn.证：略第12页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定理6.2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有唯一解. 证： a1b 代入方程左边的 x 得 a (a1b) = (a

8、 a1) b = eb = b所以 a1b 是该方程的解. 下面证明唯一性. 假设 c 是方程 ax = b 的解，必有 ac = b，从而有 c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证 ba1 是方程 ya = b 的唯一解. 例：设群 G=，其中为对称差. 群方程 aX=， Ya,b=b的解：X=a1=a=a， Y=ba,b1=ba,b=a 第13页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定理6.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意 a,b,cG 有 (1) 若ab=ac，则b=c. (2) 若ba=ca，则b=c. 证：略定理6.4 G为有限群，

9、则G的运算表中的每一行（每一列）都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同。 这就是说，在G的运算表的每一行里，G的每个元素都出现一次且仅一次。这样就可以很容易判断出哪些代数系统不是群。第14页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.5 设 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关于G中的运算*构成群，则称 H 是 G 的子群, 记作 HG。 若 H 是 G 的子群，且 HG，则称 H 是 G 的真子群，记作 HG。例如： nZ（n是自然数）是整数加法群 的子群。 当 n1 时，nZ 是 Z 的真子群。同样0也是 的子群。在Klein四元群G=e,a,b,c

10、中，有5个子群。对任何群 G 都存在子群。G 和e都是 G 的子群，称为G的平凡子群。 第15页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一怎样判定G的子集H能构成子群呢？定理6.5 设 G 为群，H 是 G 的非空子集。 H 是G 的子群当且仅当 a,bH 有 ab1H.证： 只证充分性. 由于 H 非空，必有 xH。 由已知有 xx1H，从 而得到eH。 任取 H 中元素 a, 由 e,aH 得 ea 1H，即a1H。 任取 a,bH, 必有 b1H，从而得到a(b1)1H， 即 abH。 第16页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一几个重要子群的实例生成子群：设

11、G 为群，aG，令 H = ak | kZ ，则 H 是 G 的子群，称为由 a 生成的子群，记作。证：首先由 a 知道. 任取am,al，则 am(al)1 = amal = aml 根据判定定理可知G.例：整数加群，由2生成的子群是=2k|kZ = 2Z 群中，由2生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群G = e, a, b, c 的所有生成子群是： = e , = e, a , = e, b , = e, c 第17页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一群G 的中心C：设G 为群, C = a | aGxG(ax=xa)，则 C 是 G的子群，称为 G 的中心.

12、 证: eC. C是G的非空子集. 任取 a, bC，只需证明 ab1与 G 中所有的元素都可交换. xG，有: (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知CG.对于阿贝尔群G，G的中心就等于 G. 对某些非交换群 G，它的中心是 e . 第18页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.6 设 G 是群，若存在 aG 使得 G = ak | kZ 则称 G 是循环群，记作G=，称 a 为 G 的生成元。实例 整数加法群 G = = = 模 6

13、 加法群 G = = = 第19页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一循环群 G = ，根据生成元 a 的阶可以分成两类： n 阶循环群和无限循环群。设 G = 是循环群，若a 是 n 阶元，则 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群. 若 a 是无限阶元，则 G = a0=e, a1, a2, 这时称 G 为无限循环群.第20页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一一般地，G的生成元at当且仅当t与n互质。例 (1) G=是无限循环群，生成元是1或-1。对于自然数mN，1 的 m 次幂是 m，m 生成的子群是

14、 mZ，mN. 即 = 0 =0Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12阶循环群，生成元是1,5,7,11。 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6 和12，因此G 的子群是： 1 阶子群 = = 0 2 阶子群 = 0, 6 3 阶子群 = 0, 4, 8 4 阶子群 = 0, 3, 6, 9 6 阶子群 = 0, 2, 4, 6, 8, 10 12 阶子群 = Z12 第21页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.7 设 S = 1, 2, , n , S上的任何双射函数 :SS构成了S上n个元素的置换，称为 S上的 n元置换。一般将 n

15、元置换 记为： 例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 则 都是 5元置换.第22页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一设：是 S = 1, 2, , n上的 n 元置换. 若(i1)=i2 ,(i2)=i3, ,(im1)=im(im)=i1， 且保持 S 中的其他元素不变，则称为 S上的 m 阶轮换，记作 (i1i2im)。例如 5元置换 分别表示为=(1 2 3 4 5),=(1 3)(2)(4)(5)。通常为了表达式简洁，可去掉1阶轮换，则又可写成=(1 3) 。第23页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例: 设 S=1, 2, , 8, 分析：

16、从中分解出来的第一个轮换式 (1 5 2 3 6)；第二个轮换为(4)；第三个轮换为 (7 8)。则的轮换表示式：=(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8) 用同样的方法可以得到的分解式： =(1 8 3 4 2) (5 6 7) 注意：在轮换分解式中，1阶轮换省略不写。 如何将n元置换分解为轮换?第24页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 对于n元置换,Sn，表示与的复合，显然 也是S上的n元置换。 逆置换：例：设求 ， ， -1 第25页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn ： S

17、n关于置换的复合是封闭的，置换的复合满足结合律。 恒等置换(1)是 Sn 中的幺元。对于任何 n元置换Sn，逆置换1是 的逆元。 这就证明了Sn关于置换的复合构成一个群，称为 n元对称群。n元对称群的子群称为n元置换群。 例： 设 S = 1, 2, 3，3元对称群 S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)第26页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一S3 的运算表 (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2) (1) (1 2)

18、(1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3) 第27页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一6.2 环与域定义6.8 设是代数系统，+和是二元运算. 如果 (1) 构成交换群（即阿贝尔群）， (2

19、) 构成半群， (3) 运算关于+运算适合分配律，则称是一个环。 为了叙述的方便，通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.。环中加法幺元记作0，乘法幺元（如果存在）记作1。 对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x。 若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.。因此在环中写xy意味着x+(y). 第28页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例： (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2) n（n2）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3) 设Z0,1,.

20、,n1，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环. 第29页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一几个特殊环：设是环， (1) 若环中乘法适合交换律，则称R是交换环. (2) 若环中乘法存在幺元，则称R是含幺环. (3) 若a, bR，ab=0 a=0b=0，则称R是无零因子环. 零因子实例：在模6整数环中，有32=0，而3和2都不是乘法的零元. 这时称3为左零因子，2为右零因子. 这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环. 定义 6.9 若环是交换、含幺和无零因子的，则称R为整环.第30页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一若环至少含有2个元

21、素且是含幺和无零因子的，并且aR（a0）有a-1R，则称R为除环。若环既是整环，有是除环，则称R是域。例如：有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。 整数环Z是整环，而不是域。 对于模n的整数环Zn，若n是素数，那么Zn是域。 第31页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例： (1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。 (2) 令2Z=2z|zZ，则构成交换环和无零因子环。 但不是含幺环和整环。(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺

22、环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。(4) 构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。 可以证明对于一般的n, Zn是整环当且仅当n是素数。 第32页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 下面是域的性质：定理6.6 设是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0 (2) a, bR，(a)b = a(b) = (ab) (3) a, bR，(a)(b) = ab (4) a, b, cR，a(bc) = abac， (bc)a = baca 例： 在环中计算(a+b)3, (ab)2解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+

23、b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2 第33页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一 (2) 不是环, 关于加法不封闭. 例： 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. 如果不构成, 说明理由. (1) A= a+bi | a,bQ, 其中i2= 1, 运算为复数加法和乘法. (2) A=2z+1 | zZ, 运算为实数加法和乘法. (3) A=2z | z Z, 运算为实数加法和乘法. (4) A=x | x0 xZ, 运算为实数加法和乘法. (5) , 运算为实数加法和乘法.

24、解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元. (5) 不是环, 关于乘法不封闭. (4) 不是环, A关于加法不构成群. 第34页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一6.3 格与布尔代数定义6.10 设是偏序集，如果x, yS，x,y都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序构成一个格。 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求x,y的最小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算和，即xy 和 xy 分别表示x与y的最小上界和最大下界. 注意：这里出现的和符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义.第35页，共49页，2022年，5月20日，

25、9点2分，星期一例： 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合。 D为整除关系，则偏序集构成格。 x,ySn，xy是 lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数；xy是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例：第36页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例： 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由。 (1) ，其中P(B)是集合B的幂集。 (2) ，其中Z是整数集，为小于或等于关系。 (3) 偏序集的哈斯图分别给下图： 解: (1),(2)是格，(3)中的都不是格。第37页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一格的性质对偶原理设 f 是含有格中元素以及符号=,

26、, ,和的命题。令f*是将 f 中的替换成、替换成、替换成、替换成所得到的命题。 称 f* 为 f 的对偶命题。例如在格中令 f 是 (ab)cc, 则f*是 (ab)cc 。 那么 f 与 f* 互为对偶命题。格的对偶原理 设 f 是含有格中元素以及符号=、和等的命题，若 f 对一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真。例如, 对一切格L命题“a,bL, aba”都成立， 根据对偶原理，对一切格L，命题 “a,bL, aba”也为真。 第38页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定理6.7 设是格, 则运算和适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即 (1) a,bL

27、 有 ab=ba ，ab=ba (2) a,b,cL 有 (ab)c=a(bc) ， (ab)c=a(bc) (3) aL 有 aa=a ，aa=a (4) a,bL 有 a(ab)=a ， a(ab)=a 第39页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一证明：只证 (1) (2). 根据对偶原理，只证其中一个等式即可. (1) ab是a, b的最小上界，ba是b, a的最小上界. 由于a, b=b, a, 所以 ab=ba. (2) 根据最小上界定义，有下述不等式： (ab)caba (ab)cabb (ab)cc 由式 和 (ab)cbc 由式和有 (ab)ca(bc). 同理

28、可证 (ab)ca(bc). 根据偏序的反对称性得 (ab)c=a(bc). 第40页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一格的另一个等价的定义： 设是具有两个二元运算的代数系统，若 * 和运算满足交换、结合、吸收律，则可以适当定义 S 中的偏序 ，使得 构成一个格，且a,bS 有 ab=a*b ，ab=ab。 和定理6.7相比，这里没有提到幂等律，这是因为只要吸收律成立，则幂等律就一定成立。 证明如下： aS有 aa=a(a*(aa)=a 同理可证a*a=a第41页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.11 设是格，若a, b, cL有 a(bc) = (

29、ab)(ac) a(bc) = (ab)(ac) 成立，则称 L 为分配格。可以证明，这两个等式中只要有一条成立，另一条一定成立。 例如 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac) 证： (ab)(ac) = (ab)a)(ab)c) 对的分配律 = a(ac)(bc) 吸收律、对的分配律 = (a(ac)(bc) 结合律 = a(bc) 吸收律第42页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一例： 指出下图中哪些格是分配格？解： L1和L2是分配格, L3和L4不是分配格。 在L3中有 b(cd)=be=b，(bc)(bd)=aa=a在L4中有 c(bd)=ca=c

30、，(cb)(cd)=ed=d 称L3为钻石格, L4为五角格。 这两个5元格在分配格的判别中有着重要的意义。 第43页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.12 若在格中存在一个元素a，使得bL有ab（或ba ）, 则称a为L的全下界（或全上界）。 格L若存在全下界或全上界,一定是唯一的。一般将格L的全下界记为0，全上界记为1。具有全上界和全下界的格,称为有界格, 记作。 实例：有限格 L=a1,a2,an是有界格, 其中a1a2an是L的全下界, a1a2an是L的全上界。 一般地，有限元的格都是有界格。 幂集格P(B)是有界格，即使它是无穷集合。第44页，共49页，2022年，5月20日，9点2分，星期一定义6.