函数逼近与曲线拟合

1、函数逼近与曲线拟合第1页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 3.1 函数逼近的基本概念 3.2 单变量数据拟合及最小二乘法 3.3 多变量数据拟合 3.4 非线性数据线性化 3.5 正交多项式拟合第2页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.3.1 函数逼近的基本概念 实际中遇到的问题：（1）反映变量之间内在规律的函数关系f(x)，往往是通过实验或观测得到的一张函数表，其表达式未知；（2）函数存在解析表达式，但由于形式过于复杂而不易使用，不容易计算函数值。 插值法就是函数逼近问题的一

2、种. 第3页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 记作 ， 本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数中求函数 ，使 与 的误差在某种度量要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”. 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等. 第4页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 代数插值是根据给定的数据表，按某些条件构造一个代数多项式近似代替函数条件: 即要求函数经过点 由于数据表中给定的数据是从实验或测量中得到的，难免有一些误差，而且有个别点的误差可能比较大。问题：如果插值节点xi及其上的函数值yi存在误差，对插值函数有什么影响？当个别数据的误

3、差较大时,会得到理想的插值效果吗？为什么？第5页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一曲线拟合示意图 为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图所示。换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其误差按某种方法度量达到最小。这就是曲线拟合问题。 第6页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 在对给出的实

4、验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？ 与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同. 拟合: 在数据点处误差平方和最小 一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的误差的平方和最小，这就是最小二乘原理。第7页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一3.2 单变量数据拟合及最小二乘法用几何描点法或凭经验选择一个近似函数 单变量数据拟合法的一般过程是：先根据给定函数的数据表 通常称为拟合函数，以反映数据表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来

5、确定其中的未知参数，从而得到的近似函数 x x1 x2 xn y1 y2 yn通常称为被拟合函数。第8页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 不一定要经过点定义3.1 若记 ，则称为与在 一般情况下，使用单变量数据拟合法能选择到一个近似函数使，使它与的偏差的平方和达到最小，即使达到最小。而能使偏差的平方和达到最小的函数就是“最好”函数。 定义3.2 以“偏差的平方和达到最小”作为原则来选择近似函数的方法称为最小二乘法。处的偏差。等于0是办不到的，但可以找到一个函数什么是“最好”的函数，“最好”的函数以什么标准来衡量?第9页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一

6、（1）直线拟合 设已知数据点 ,分布大致为一条直线。根据最小二乘原理作拟合直线 ,该直线不是通过所有的数据点 ,而是使误差平方和 故 和 应满足下列条件：为最小。第10页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一即得如下正规方程组 令第11页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 方程组改写为：即按下列公式求 a 和 b 第12页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一（2）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据 寻求次数不超过n(nm )的多项式 来拟合所给定的数据

7、，与线性拟合类似，使误差的平方和为最小。第13页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一由于Q可以看作是关于aj ( j =0,1,2, n)的多元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令得 这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。 第14页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例3-1 已知一组数据如下表所示,用单变量数据拟合法求其拟合函数.解 x -1 0 1 2 3 4 5 6 10 9 7 5 4 3 0 -1先画出散点图.从图中可以看到，点 在一条直线附近，的近似函数.这些点大体上满足直线方程

8、。因此，可以选择线性函数来拟 合这些数据，即可以选取作为和代入正规方程组得 解上方程组得到 于是，求得拟合函数为 把第15页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一3.3 多变量数据拟合若假设这些自变量为和因变量为，则每经过一次，而经过n次实验实验或测量就会得到一组数据或测量就会得到n组数据，由这n组数据构成一个数据表:多变量数据拟合法的一般过程是：先根据 数据表选择变量与变量的一个近似函数 ，以反映的函数关系，然后使用最小二乘法确定近似函数。中的未知参数，从而得到通常称为拟合函数，通常称为被拟合函数。与变量 第m次实验或测量 x1 x2 xk 1 x11 x12 x1k y1

9、2 x21 x22 x2k y2 n xn1 xn2 xnk yn第16页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一假定数据表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数来近似表达与变量的函数关系.把代入线性函数得到从而与在差为而偏差的平方和为 处的偏第17页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一据多元函数求极小值的方法，对分别求关于的偏导数并令其等于0，这样便得到第18页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一整理化简后联立起来得到方程组 K+1个未知数的线性代数方程组，它也称为正规方程组。 第19页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一定理

10、3.2 给定的数据表，若数据表与变量的最小二乘拟合函数，则待定参数可以证明：当时，正规方程组有唯一解。 表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数作为是正规方程组的解。第20页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例3-2 已知一组测量数据如表所示，求其线性拟合函数。据题意，选择线性函数拟合给定数据表中的数据。解为待定参数第m次测量 x1 x2 1 1 1 7 2 1 2 9 3 2 1 10 4 2 2 11 5 2 3 12第21页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一由定理3.2得到正规方程组 而 把它们代入正规方程组得从方程组解得，于是，所求的拟合函数为 第

11、22页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 解正规方程组 和 求出 输出多变量线性拟合法算法 输入数据 计算正规方程组的系数第23页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。 下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系 3.4 非线性数

12、据线性化第24页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 曲线拟合方程 变换关系 变换后拟合方程第25页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 图(a)表示数据接近于直线，故宜采用线性函数拟合； 图(b)数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式 拟合。 (a)(b)几种常见的数据拟合情况:第26页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数或指数型函数 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢,宜采用 或 或 等进行拟合。 ( c ) ( d )或第27页

13、，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例3-3 某炼钢厂出钢时用的钢包（用来装钢水的容器）是用特殊耐火材料制成的，在使用的过程中，由于钢水及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容量随着使用次数的增多而增大。为了找出使用次数与容量15次测试，测试数据如表所示，用数据拟合法找出使用次数与容量之间的函数关系。 i使用次数 xi容 量 yi i使用次数 xi容 量 yi i使用次数 xi容 量 yi 1 26.426 710.0011 1210.60 2 38.207 8 9.9312 1310.80 3 49.588 9 9.9913 1410.60 4 59.509 1010.4914

14、1510.90 5 69.7010 1110.5915 1610.76之间的函数关系,工程技术人员做了第28页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一解 按照图中散点的趋势，凭直观可以画出一条近似曲线，这些点或者在这条曲线上或者在曲线的两侧，而这条近似曲线大致上像一条双曲线，因而我们可以把使用次数与容量之间的关系近似地看作这样的关系：和为待定参数和和，得到由关系式和得到，从而得到一个新数据表:先画出一个散点图。 令其中第29页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 1 26.420.50000.155891010.490.10000.0953 2 38.200.3

15、3330.1220101110.590.09090.0944 3 49.580.25000.1044111210.600.08330.0943 4 59.500.20000.1053121310.800.07690.0926 5 69.700.16670.1031131410.600.07140.0943 6 710.000.14290.1000141510.900.06670.0917 7 89.930.12500.1007151610.760.06250.0929 8 99.990.11110.1001第30页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一由定理3.1得到正规方程组而 把它们代入正规方程组得 从上方程组解得故求得 即有 于是，得到拟合函数 第31页，共33页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例3-4 已知一组数据如表所示，求一个经验函数，形如（为常数）， 使它与表中数据相拟合。 0 1 2 3 41.52.53.5 5 7.5解所以选定拟合函数为据题意，表3-7中的数据大体上满