2.3数学归纳法-高二下学期数学人教A版选修2-2

1、 2.3 数学归纳法新课标人教版 选修2-2 第二章 推理与证明1、掌握数学归纳法证题的两个步骤;2、初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式,不等式及整除问题等) 一、情境引入1、史料情境费马 费马(1601-1665)法国伟大的业余数学家。形如 (1)猜想起因：(2)合情推理：不完全归纳法(3)推翻猜想：半个世纪后，欧拉发现了 欧拉(17071783)，瑞士数学家及自然科学家。 (4)思考方法：不完全归纳法得出的结论未必可靠，需另寻方法. 不是质数. 猜想:的数都是质数.2、游戏情境：(多米诺骨牌游戏)现象分析： 第一排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰

2、倒第3块，以此类推，骨牌相继全部倒下； 第二排骨牌发生了什么情况？从第2块倒下，碰倒第3块，再碰倒第4块，以此类推，除第一块骨牌外，其余骨牌相继全部倒下. 第三排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰倒第3块，但中间抽走部分骨牌，以致不能连续碰倒，造成后面骨牌不再倒下.(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？(4)提示点拨： 第1块骨牌倒下的必要性；前后相邻两块骨牌倒下的关联性.(5)提炼数学问题：利用相似性，类比数学问题. 分析问题的基础之源；分析问题的延续之理.我们的猜想一定是正确的吗？不完全归纳法验证：逐一验证，不现实!能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有的正整数都成立。

3、3、数学情境：一般地证明一个与正整数 1.（归纳奠基)证明当 2.（归纳递推）假设当 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 这种证明方法叫做 数学归纳法.二、知识建构这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的.有关的命题，可按下列步骤进行：取第一个值 时命题成立；时命题成立，时命题也成立.开始的所有正整数 都成立.证明当证明：（1）当n=1时，猜想成立那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.凑出目标利用假设(2)假设当n=k 时猜想成立,即数学归纳法 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证

4、明它们的正确性：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，(2)假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做 数学归纳法三、方法运用证明：（1）当 左边 右边所以等式成立.(2)假设当 那么,当 即当 根据(1)和(2),可知等式对任何 例2、用数学归纳法证明：需要证明的式子是?时，时等式成立,即时等式也成立.都成立.证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例3、用数学归纳法证明:证

5、:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例4、证明不等式:整除性问题例5、证明 42n+1+3n+2(nN* )能被13整除。证明：1）n=1时：4 21+1+31+2=91，能被13整除。 2）假设当n=k(kN)时, 42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-133k+2 ()42k+1+3k+2及133k+

6、2均能被13整除,()式能被13整除。 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。核心步骤多退少补（密诀）课堂练习 D非以上答案 成立时，起始值至少应取为.C81若则为()A.B.C.2.用数学归纳法证明不等式3用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推理时，左边应增加的项数是.4.用数学归纳法证明 证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立（2）假设当n=k时，等式成立，即递推基础递推依据那么当n=k+1时，5.如果 是等差

7、数列，已知首项为 ，公差为 ，那么对一切 都成立证明：（1）当n=1时，等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立递推基础递推依据1.数学归纳法的一般步骤：若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤 一个结论缺一不可归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）(1)完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法(2)不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法，比如合情推理归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法