初中数学冲刺九年级初三之中考赢在起跑线相似三角形

1、相似三角形 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 相似三角形 一、知识要点 1相似三角形的概念： 2相似三角形的判定 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 小结：判定三角形相似的方法：（1）相似三角形的定义；（2）由平行线得相似. 思考：对比三角形全等判定的简单方法（SSS，SAS，ASA，AAS），看是否也有简便的方法？ 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简 单说成：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这 两个三角形相似.可简单说

2、成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 3三角形相似的判定的应用 4相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比. （2）相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比. 二、总结归纳： 1、相似三角形的判定： （1）相似三角形的定义； （2）平行得相似； （3）三边的比相等； （4）两边的比相等，夹角相等； （5）两角对应相等. 三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择. 2、全等与相似的类比： 三角形全等 两角夹一边对应相等（ASA） 两角一对边对应相等（A

3、AS） 两边及夹角对应相等（SAS） 三边对应相等（SSS） 直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL） 三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 第 1页 3、相似三角形的常见图形及其变换： 4、证明四条线段成比例的常用方法： （1）线段成比例的定义 （2）三角形相似的预备定理 （3）利用相似三角形的性质 （4）利用中间比等量代换 （5）利用面积关系 证明题常用方法归纳： （1）通过横找竖看寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母， 并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明

4、这两个三角形 相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. （2）若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母 在同一条直线上），则需要进行转移（或替换），常用的替换方法有这样的三种：等线 段代换、等比代换、等积代换. （3）若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步 骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 三、典型例题 例 1：根据下列条件，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由： （1） A=120，AB=7cm，AC=14cm； A=120，AB=3cm，AC=6cm. （2）AB=4cm，AC=6

5、cm，AC=8cm； AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm. 例 2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6，另一个三 角形的一边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？ 第 2页 例 3：已知：如图，在 RtABC 中，CDAB 于点 D. （1）求证：ABCCBDACD； （2）求证：CD2=ADBD；AC2=ADAB；BC2=ABBD（此结论称之为射影定理） （3）若 AD =8，BD=2，求 AC，BC，CD. （4）若 CB=6,AD=9，求 BD，CD，AC. 例 4：如图，已知ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，点

6、P 在 AC 上，（与点 A、C 不重合）， Q 点在 BC 上. （1）当PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长. （2）当PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长. （3）在 AB 上是否存在点 M，使得PQM 为等腰直角三角形？若存在 请画出图形，若不存在说明理由。 四、强化训练 第一部分 一、选择题 1一个三角形三边的长分别为 3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是 21，则其它两边的和 是（ ）A19 B17 C24 D21 2下列说法中不正确的是（ ）A位似图形一定是相似图形 B相似图形不一定是位似图形 C位似图形上任意一对对应点

7、到位似中心的距离之比等于位似比 D位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 3如图，由下列条件不能判定ABC 与ADE 相似的是（ ）A AE = AC BB=ADE AD AB C AE = DE DC=AED AC BC 4如图，ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，若 AB=2，BC=3，则 CD 的长是（ ）82A B 3345C D 33 第 3页 5如图，若1=2=3，则图中相似的三角形有（ A1 对 C3 对 6下列说法不正确的是（ ）A所有的矩形是相似的 ）B2 对 D4 对 B含 30 直角三角形与含 60 角的直角三角形是相似的 C所有边数相等的正多边形是相似的 D所

8、有的等边三角形都是相似的 7如图 1，ADE ABC ，若 AD = 2, BD = 4 ，则 ADE 与 ABC 的相 似比是（ ）A12 B13 C23 D32 点连结 BP， 以下条件中， 不能判定 ABP ACB 的是 （8 如图 2， P 是 ABC 的边 AC 上一点， AB = AC AP AB BP AB C ABP = C D APB = ABC 9如图，图中的 x 是（ ）A1 B2 C 2 D 2 2 A B BC = AC 10如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2

9、 米，已知王华的身高 是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于（ ）A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米 二、填空题： ）11如图所示，铁道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m，当短臂的端点下降 0.5m 时，长臂端点应升高 _； 11 图 12 图 12如图所示，AD 是ABC 的中线，ADC=45，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，则 BC BC 的值为_； 13如图所示，D 是ABC 的边 AC 上的点，过 D 作直线 DE，与 AB 交于点 E，若ADE 与ABC 相似，则这样的直线 DE 最多可作_条 第 4页 13 题图 14 题图 14如图所示，为了测量一棵树 AB 的高度，测量者在 D 点立一高 CD=2 米的标杆，现测量者从 E 处 可以看到杆顶 C 与树顶 A 在同一直线上，如果测得 BD=20 米，FD=4 米，EF=1.8 米，则树的高度为 _； 15若 a = b = c （ abc 0 ） ，则 235 a + b + c =_； a b+c 16把长度为 20cm 的线段进行黄金分割，则较短线段的长是_cm； 17两个相似三角形的一对对应边长分别为 20cm、25cm，它们的周长差为 63cm，则这两个三角形的 周长分别是_； 三、解答题： 18如图， ABCD 中，M 是 A