同角三角函数的基本关系知识点与题型归纳

1、 高考明方向1.懂得 同角三角函数的基本关系式：sin 2cos 21,sin costan. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导 出 2, 的正弦、余弦、正切的 诱导公式 备考知考情同角关系式和诱导公式中的 , 2 是高考的热点 ,题型既有挑选题、 填空题,又有解答题, 难度为中低档题 ,主要是诱导公式在三角式求值、 化简的过程中与同角三角函数的关系式、 和差角公式及倍角公式的综合应用,一般不单独命题, 在考查基本运算 的同时,留意 考查等价转化的思想方法 . 一、学问梳理 名师一号 P47学问点一 平方关系：商数关系：同角三角函数的基本关系sin2cos 2;1tansin cos留意：名

2、师一号 P50 问题探究 问题 1 在利用同角三角函数的基本关系中应留意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时,涉及两个同角基本关系 sin 2cos 21 和 tansin cos,它们揭示同一角 的各三角函数间的关系 ,需要在复习中通过解题、懂得、把握特殊是 利用 sin 2cos 21 及变形形式 sin 21cos 2或 cos 21sin 2 进行开方运算时,要留意符号判定学问点二 诱导公式记忆口诀 : 奇变偶不变,符号看象限 . 留意：名师一号 P50 问题探究 问题 2诱导公式的记忆口诀 “ 奇变偶不变,符号看象限 ” 中的 “ 符号 ” 是否与 的大小有关？无关,只是把

3、 从形式上看作锐角 ,从而 2kkZ, , 2, 2分别是第一、三、四,二、一、二象限角二、例题分析：（一 求值例 11 名师一号 P50 对点自测 4（09 全国卷文）sin585o的值为 D 3A 2 B2 C32222答案： A 例 1 补充 （2）cos17的值为3答案：12例 1 补充 （3） tan1665的值为答案：1留意： 补充 求任意角的三角函数值：负化正 正化主 0,2 主化锐例 1.4 名师一号 P51 高频考点 例 21 2022 安徽卷 设函数 fxx R满意 fx fxsinx.当 0 x 时, fx0,就 f 23 6 A.1 2 B. 3 2 C0 D1 2解:

4、1由题意得 f 23 6f 17 6sin17 6f 116sin11 6sin17 6f 5 6sin5 6sin11sin17 601 21 21 21 2. 练习 : 补充 （2022 重庆卷文）以下关系式中正确选项（）cos1000sin1680 Bsin1680sin1100 cos10Asin110C0sin110sin1680 cos10 Dsin168cos100sin110【答案】 C sin168sin18012 sin12 ,cos10cos9080 sin80由于正弦函数 y sin x 在区间 0 ,90 上为递增函数,因此sin11 sin12 sin80 ,即 s

5、in11 sin168 cos10 ；练习： 如下列图的程序框图,运行后输出结果为 A1 B2680 C2022 D1340 答案：C 例 2.1 名师一号 P51 高频考点 例 11 已知 ,3 2,tan2,就 cos_. 解:依题意得 tansin cos2,sin 2cos 21,由此解得 cos 21 5；又 ,3 2,因此 cos5 5 . 法二 :. 利用直角三角形求解留意： 补充 三角函数求值中直角三角形的运用先依据所给三角函数值, 把角看成锐角构造相应的直角三角形,求出该锐角的各三角函数值, 再添上符号即可变式 1: 已知 是第三象限角, tan2,就 cos_.变式 2:

6、已知 tan2,就 cos_. 留意： 补充 利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响练习： 已知cos12,求 sin和 tan；513【答案】当5 ,tan135 ,tan13是第一象限时,sin125当是第四象限时,sin12k21k例 2.2 名师一号 P51 高频考点例 31 1记 cos80k,那么 tan100 等于 A.2 1kB2 1kC.kDkk2 1k解析由于 cos80cos80k,所以 sin80 1cos 2801k 2,所以 tan100 tan80 sin80 cos802 1kk. 例 3（1）名师一号 P51 高频

7、考点例 22 已知 tan 6 3,就 tan 5 6 _. 例 3（2） 补充 已知 cos 41 4,就 sin2A7 8B. 7C31 32D. 31 328答案： A留意： 补充 关注已知角与待求角是否满意练习 1: 已知cos6kk3Z或是倍半关系；2,3答案：就cos5sin266233练习 2: 已知 cos5 12 1 3,且 2,就 cos 12_. 答案：2 23练习 3: 已知 sin 6 1 4,就 sin 62 _. 答案 78解析 sin 62 cos 2 62 cos 32 12sin 2 6 7 8. 练习 4: 对任意的 a,0,总存在 x0使得 acosxa

8、0成立,就 sin2x0 6的值为 _答案：12例 4名师一号 P52 特色专题【典例】1已知 sincos1 8,且 5 4 3 2,就 cossin 的值为 A2 3B. 2 3 C3 4 D.3 4【规范解答】15 4 3 2；cos0, sin0 且|cos|0. 又cossin 212sincos121 83 4,cossin2 . 32已知 sin cos 3 2 ,就 sincos_. 【规范解答】2由 sin cos 2 3 . 2 得 sincos2 3,将两边平方得12sincos2 9,故 2sincos7 9. sincos 212sincos1 7 916 9 . 又

9、 20,cos0. sincos4 3. 【名师点评】解 决 此 类 问 题 的 关 键 是 等 式 sincos12sincos.但要特殊留意对 sincos 符号的关注sincos,sin cos,数学思想系列之 三 sincos 及 sincos 间的方程思想 对于 sincos,sincos,sincos 这三个式子,已知其中的一个式子的值,可利用公式sincos 212sincos,求其余两式的值,表达了方程思想的应用6 月 19 日 15 班讲解至此例 5 补充 （2）已知sincos5,2就tan1tan答案：8留意： 补充 （1）sincos212sincos（2）利用tans

10、in,进行 切化弦cos ,sin涉及 sincos,sincos的问题cos常采纳平方法求解例 4（3）名师一号 P51 高频考点 例 3（2）已知 sin 5aa 1,a 0求 cos14 5tan 11 5cos26 tan 9 5 5 的值解 cos14 5tan 11 5cos26 tan95 5 cos 5tan 5tan 5 cos 5 sin 5cos sin 2 55 a1a a2a1a 32a2. 练习： 已知 x 0,sin x cos x 12 5求 sin x cos x 的值；2求 sin 2 x 2sin x 的值1 tan x答案： 7 245 175练习： 已

11、知 s i n , c o s是方程 4 x 24 m x 2 m 1 的两个根,3 2,求角2答案：m123或m123（舍去）53法二：x2x112x2 m10 x1,m22例 5（1）名师一号 P50 对点自测 2 如 tan2,就sincos sincos的值为 A1 3 B5 3 C.1 3 D.5 3解析 sincossincostan1tan121211 3. 例 5（1）名师一号 P51 高频考点 例 12 已知sin3cos 3cossin5,就 sin 2sincos 的值是 A.2 5 B2 5 C 2 D2 解:由sin 3cos 3cossin5,得 tan3 3tan

12、5,即 tan2. 所以 sin 2sincossin sin 2sincos2cos 2tan 2tantan 21 2 5. 留意： 补充 知 tan 的值,求关于 sin、cos 齐次式的值2 2（1）利用 sin cos ;1将关于 sin、cos 齐次整式化为关于 sin、cos齐次分式 ,如asinbcos等；csindcos（2）利用tansin,进行 弦化切 ,cos、cos 齐次分式的分子、分母即将 关于 sin同除以cos2、cos等转化为关于 tan的表达式求解；周练 15-16 （2）16、（本小题满分12 分）已知 tan2 1 求 tan4的值；2 求sin2sinsin 2cos21的值cos（二化简例 1. 补充 化简：1sin1sin 1sin 1cos1cos1cos1sin1cos分析： “ 脱” 去根号是我们的目标,这就希望根号下能成为完全平方式,留意到同角三角函数的平方关系式, 利用分式的性质可以达到目标解析：原式1sin cos 221sin2cos 21cos sin 221cos2sin 21sin |cos|1sin |cos|1cos |sin|1cos |sin|2sin |cos|2cos留意：名师一号 P48 高频考点例 2 规律方法留意：名师一号 P51 问题探究 问题 3 三角函数