我校07年全国一等奖《手机“套餐”优惠几何》

1、题目： “套餐”优惠几何摘要以 “套餐”优惠几何为背景，通过对如何建立通话资费模型的假设，应用初等数学中分段函数、不等式；图形结合；对结果进行对比分析的思想与方法，建立了 “套餐”优惠几何的模型，并对此进行一一分析。对于问题一，我们采用建立函数关系式与图形结合的方法，得出了北京和上海套餐方案中的资费计算模型以及不同 量的用户应使用哪种资费更优惠的结论；对于问题二，我们运用题目给出的数据，利用Excel算出各个通话时间各占的比例，用各自的比例算出现行的资费标准的一个表达式，在利用第一问所算出的各种资费方案中通话量的最优时间为评价准则，算出其在套餐中和在现行的资费标准中的值，用其值来进行比较分析，

2、通过分析得出，无论用户的通话量处于何种范围，使用套餐所需费用都比按现行资费标准计费优惠；对于问题三，利用一般的条件对比即可得出该方案的答案，即对于被叫通话量大于125分钟的用户，使用所谓的全球通“被叫全免费”的套餐则会比使用“正常”的计费方式优惠；对于问题四，运用其条件建立不同情况下的不等式并求得其未知数的范围，用此范围作为现行设计的各个套餐资费方案中主叫通话量的基准点，据此得出北京、上海的套餐方案。在模型的评价与改进中，对于问题一可使用编程方法得出各种资费方案的计费方法以及任意通话量的费用。对于问题四可考虑减少资费方案中的收费单价来设计套餐方案。 关键词：套餐模型；通话时间；资费方式；对比分

3、析题目： “套餐”优惠几何一 问题分析由于近几年通信业的发展突飞猛进，市场上也出现了很多打着优惠的招牌但并不是实施真正优惠的套餐出来，欺骗消费者。题目给出了最近北京和上海关于全球通卡的一个优惠套餐和中国移动公司现行的资费标准。问题一，运用分段函数式可以表示在不同套餐中的不同情况，在以通话量作为横坐标，总费用作为纵坐标建立一个直角坐标系，把不同的情况放在一起让其产生交点，其交点就是不同用户在选择套餐不同情况的分界点，以此来对不同用户对不同套餐来选择。问题二，在以这些不同的交点作为各种资费方案的评价准则，运用附录一给出的不同通话时间算出不同的通话时间各占的比例，在用各自的比例算出现行的资费标准的一

4、个表达式，算出这些不同时间量在套餐时和在现行的资费标准时的值，用其值来进行对比分析。问题三中北京最近推出的全球通套餐和现行的资费标准之间就是只有被叫收不收费不同，一个是不收，一个是收，其它收费标准均相同，我们可利用这个惟一不同的点作为比较的条件，在两种收费标准之间进行比较，运用条件进行对比分析得出这个套餐的优劣。问题四，需要我们在现有的套餐上进行改进，使得消费者得到更大的实惠，但运营商的利润又不能少于现有套餐的10%，要设计套餐方案主要是考虑运营商的利润要得到保障与消费者得到实在的优惠，这两个方面进行新套餐的设计，而保障运营商主要是从通话量上设计来考虑，通过利润与通话时间之间的关系可以建立一个

5、保障利润的不等式，在利用利润与通话时间之间的关系，把不等式转化成用通话时间表示，求一个关于通话时间的取值范围，即可扩大优惠条件。在考虑到北京、上海这两个发达城市 量大和长途比较普遍等特点进行设计。二 问题重述随着 的普及，现代社会人们越来越离不开 ，而 资费问题一直是人们关心的热点问题， 多少年来资费方案始终没有实质性变化。题目给出了最近在北京和上海的运营商推出的单向收费套餐（见附录1）和中国移动公司现行的资费标准（见附录2），参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，对以下题目的进行合理的建模和求解。(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费

6、计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通 的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,

7、用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。三 模型假设1.由于北京“畅听99套餐”各方案中IP资费相同，假设第一问我们只考虑通话时间与费用的关系，不考虑其它（如：GPRS流量，短信等）；2.假设上海“全球通68套餐”方案我们只考虑通话时间与费用的关系，不考虑其它；3.假设在运算现行的资费标准表达式的时候， IP长途资费中的国际长途资费单价视为三者的平均；4.假设在运算现行的资费标准表达式的时候，港澳台的通话视为国内长途的一种情况；5.假设在运算现行的资费标准表达式的时候，我只考虑未漫游时，而不考虑漫游时；6.假设不论那种收费方式都是按一月为收一次费；7.假设在运算现行的资费标准表达式的

8、时候，被叫通话时间等于主叫时间，主叫包括（本地通话费、长途通话费、IP等）；8.假设不论是采用那种收费方式的用户都是不需要经常换号和办理停机保号的人，也就是说用户是不需要经常买卡和交一些额外的钱。四 名词解释与符号说明表示在套餐中的通话时间；表示在使用套餐时所需通话费用；表示在现行的资费标准的通话量；表示现行的资费标准的通话费；五 模型的建立与求解通过上面的假设我们针对每一个题进行不同的思考，最后建立了解决每一个问题的模型。第一问：分别对北京和上海的套餐收费标准建立模型求解。（1）北京的全球通“畅听99套餐”中有四种不同的情况，分别把每一种情况用分段函数的方式表示出来。如下： 第一种情况 第二

9、种情况 第三种情况 第四种情况 根据上面的，4个方程在同一坐标系下，以通话时间作为横坐标，总费用作为纵坐标，分别画出每一个分段函数的图象，得到如下图所示： 2805601000200099139199299xy0ABC由图象可看出4分段函数之间有交点，其交点分别为A，B，C，根据函数和、和、和可分别建立方程组，分别解这三个方程组可求得A，B，C三个交点的坐标。函数和建立的方程组 函数和建立的方程组 函数和建立的方程组 分别求解上面三个方程组可得A，B，C三个交点的坐标分别是：A坐标为（394,139），B坐标为（800,199），C坐标为（1500,299）对北京全球通“畅听99套餐”方案中，

10、我们得出：通话时间在394分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第一种方案；通话时间在800分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第二种方案；通话时间在1500分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第三种方案；通话时间超过1050分钟的用户最适宜选用此套餐的第四种方案。检验： 当通话时间为300分钟时，采用第一种方案需要花费106元，要是采用第二种花费就需要139元，所以通话时间在394分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第一种方案，运用类似的方法可检验出上面结果是对的。（2）上海“全球通68套餐”方案有三种不同的情况，分别把每一种情况用分段函数的方式表示出来。如下： 根据上面的，3个方程在同一坐标系下，以

11、通话时间作为横坐标，总费用作为纵坐标，分别画出每一个分段函数的图象，得到如下图所示： xy6812818836080012000由图可以看出这三个分段函数的交点会在后面斜线上，而表示后斜线的三个函数的斜率不一样，所以肯定有交点。同样根据函数和、和可分别建立方程组，分别解这两个方程组可求得E ，F两个交点的坐标（这两个交点不在图上表示不方便）。函数和建立的方程组 函数和建立的方程组 分别求解上面两个方程组可得E，F两个交点的坐标分别是：E坐标为（693，128），F坐标为（1175，188）。对上海全球通“68套餐”方案中，我们得出：通话时间在693分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第一种方案；

12、通话时间在1175分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第二种方案。检验： 当通话时间为500分钟时，采用第一种方案需要花费93.2元，若是采用第二种花费就需要128元，所以通话时间在693分钟以内的用户最适宜选用此套餐中的第一种方案，运用类似的方法可检验出上面结果是对的。第二问：由于在北京和上海的套餐方案中未涉及漫游，即漫游时我们视为按现行的资费标准进行收费，也就是不论我是否采用套餐漫游时收费都一样，因而在运算现行的资费标准表达式的时候未考虑漫游 从第一问中可得出，在北京的“畅听99套餐”方案中，用户的最优通话时间为394分钟、800分钟、1500分钟，在上海的“全球通68套餐”中，用户的最优通

13、话时间为693、1175分钟。据此，我们以这个最优时间段为评价标准，根据题中材料整理可得此表：种类总花费时间占总时间的比例本地通话时间直拨国内长途直拨国际长途拨中国移动为IP（港澳台）拨中国移动为IP（国内）拨中国移动（国际）直拨港澳台被叫表1(1)本地通话费：(2)直拨国内长途： (3)直拨国际长途:(4)拨中国移动为IP（国内，国际）资费:(5)被叫资费：总的通话资费： 即得 将北京的三个值分别代入式中可得： 而如果用户使用套餐则分别为 ： 由上面两组数据对比可知当用户使用套餐时，通话费用明显减少。可见北京推出的套餐政策是可以减少消费者花费开销。将上海的两个值分别代入式中可得： 如果用户使

14、用套餐则分别为： 由上面两组数据对比可知当用户使用套餐时，通话费用明显减少。可见上海推出的套餐政策是可以减少消费者花费开销。第三问： 由题意可知，实行所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，与正常的计费方式相比其区别在于不计被叫资费，因而实行这种计费方式的月基本费50元与实行正常计费中的一定的被叫通话量相当。由此有下面计算式： ，这125分钟便是判定使用“被叫全免费”的计费方式与使用“正常”的计费方式谁更优的标准。若用户每月的被叫通话量大于125分钟，则他使用“被叫全免费”的计费方式较使用“正常”的计费方式更实惠，那用户这个月除缴其它费用

15、外还要缴超过50元的被叫收费，而用户使用套餐也不过就交50元的基本费；用户每月的被叫通话量小于125分钟，则他使用“正常”的计费方式比使用“被叫全免费”的计费方式更实惠，因为此种用户每月的被叫收费还不到50元。在这个套餐中还有一个条件就是要用此套餐必须要用一年以上，而对于平时被叫通话时间不长的用户和平时被叫通话时间在125分钟左右不稳定的用户最好不要使用此套餐，如果用户是长时间接 的情况，采用此套餐会比较实惠。检验： 当一个用户一个月的主叫通话费为n元，被叫通话时间为200分钟时，使用套餐该用户就只需要n+50元，如果不使用套餐那该用户需要n+200*0.4=n+80元，很明显的看出该用户如果

16、使用套餐会给自己节约钱。 当一个用户一个月的主叫通话费为n元，被叫通话时间为100分钟时，使用套餐该用户就只需要n+50元，如果不使用套餐那该用户需要n+100*0.4=n+40元，很明显的看出该用户如果不使用套餐会给自己节约钱。第四问：考虑因素：1.运营商的利润；2.用户的利益；3.北京和上海的实际情况； 4.全球通的主要用户群；1题目要求新的套餐方案在较现在的套餐方案运营商的收入降低不超过10%。2.新的套餐方案肯定要比旧的套餐方案更有利于用户，这样用户才会考虑使用新的套餐。3.北京和上海由于是比较发达城市，所以总通话时间应该比一般的地区要多，特别是长途通话时间会比一般的城市要多很多。4.

17、全球通的用户群主要是上班一族使用，有些还经常出差，应该是通话量最大的群体，而且大多都是有业务联系的，不论是什么样的 都比较多，总的 量就会很多，还有很多人都不会用太多短信。不像动感地带的卡主要针对的是学生，而学生 量不大，短信比较多。对北京、上海地区来说，要使运营商的利润降低不超过10%，即运营商的利润应大于等于原来的90%，可利用现有的套餐计费方式建立关于主叫时间的不等式，根据不等式性质，可解出每个不等式中的范围，这个范围则是满足运营商利润的主叫时间可取范围，无论我们设计的套餐中主叫时间为此范围中任意一个数都满足条件。采用不等式最左边的数为套餐的主叫时间标准，可使运营商的利润达到最大值，但又

18、能使消费者获得的优惠比以前的套餐多。这样运营商的利润空间加大，如果想更加吸引消费者可以把主叫通话时间再加多，或是采用赠送其它数据业务。根据北京现有套餐的计费方式，建立的不等式如下：（1）（2）（3）（4）解这四个不等式，分别得：（1）（2）（3）（4）根据北京的实际情况，由于北京是我国的政治中心， 业务上应该有很多是长途 不论是国际还是国内，原套餐好在给出了长话费用的优惠，IP 只需要0.1元每分钟，这个条件对北京用户提供了很好的优惠条件，我们设计方案时要保留，在加上算得的不等式范围，在参照以前北京全球通套餐准则可把设计方案定为如下表：月基本费 （元/月） 包含本地主叫分钟数 超出套餐部分本地

19、主叫资费（元/分钟）本地被叫资费（元/分钟）包含数据业务*17951国内IP长途资费（元/分钟）99311010M GPRS流量139620010M GPRS流量+ 25条彩信1991115050M GPRS流量2992114050M GPRS流量表2根据上海现有套餐的计费方式，建立的不等式如下：（1）（2）（3）解这三个不等式，分别得：（1）（2）（3）根据上海的实际情况，由于上海是我国的商业中心， 业务上应该有很多是长途 不论是国际还是国内，由此我们在推出套餐是可以考虑上海实际情况对长途花费进行一些相应的优惠，就向北京一样可以设立IP 收费，这样可能会增加很多用 办公的用户。算出得的不等式

20、范围，在参照以前上海全球通套餐准则可把设计方案定为如下表：月基本费 （元）包含本地通话分钟 （分钟）超出后本地通话资费 （元/分钟）17951国内IP长途资费（元/分钟）主叫通话被叫通话683980128887018813530表3六 模型评价对于第一问我们主要是利用分段函数的知识，根据通话量的不同范围列出对应的资费表达式。很具体的表示了不同通话量的用户适合的套餐种类，针对性比较强，特别是针对这个题，不适合每种情况都套用。在模型改进中我们想了一个比较可以普遍套用的方法。从第二个问中我们得到了一个关于现行资费标准的函数关系式，在现行资费标准和各种通话时间不变的情况下可以普遍使用。但只要假设和条件

21、在变化那函数关系式也要随之变化。第三问运用了很简单的对比分析法，这种方法其实可以运用很普遍，这是一种很简单的比较方法，并且可以很清楚的看见对比结果，清晰明了。第四问我们只是从通话量上考虑的，根据我们的假设从单一方面进行考虑，其实还有很多反面可以进行考虑，这个方面考虑不足的地方就是当用户的通话量并不是很多的情况下我们给出优惠不能吸引用户，我们只是针对了北京、上海这样的大都市中 量比较大的一群用户。由于北京、上海的地理因素这样的用户群应该也不会小。总的来说上面几步建立的模型都是根据我们的假设来建立的，比较有针对性，当假设和题目条件变化了，模型也要进行随之的变化，不能僵硬的套用上面的模型，要进行适当

22、的调整。七 模型改进与推广第一问的算法不但可以运用函数表达式来进行运算，还可以采用编程的思想，把不同的约束条件换成不同条件语句，设计出一个程序，可以很简单算出任意大小通话量时用户所要支付的钱的多少，可根据参考流程图2（见图3）进行编程设计。而第二问中我们可以把根据条件得到的比例系数看做不具有稳定性，每年的形式或许会变，在每年的统计数据上不同通话时间所占有的比例不一定和以前的一样，我们设出不同通话时间的比例常数，就可以把在现行资费标准下的总费用公式表示出来，而只要有比例常数这就是一个可以通用的在现行资费标准下的总费用公式。设（主叫）本地通话占总通话总量的比例常数为； 直拨国内长途占总通话量的比例

23、常数为； 直拨国际长途占总通话量的比例常数为； 直拨港澳台的通话量占总通话量的比例常数为； 拨移动IP的国内通话量占总通话量的比例常数为； 拨移动IP的国际通话量占总通话量的比例常数为； 拨移动IP的港澳台通话量占总通话量的比例常数为； 被叫通话量占总通话量的比例常数为。本地通话费（1） 直拨国内长途费（2） 直拨国际长途费（3） 拨IP（国内，国际）资费（4）被叫资费（5）总通话费这个总通话费可直接算出用户在没使用套餐，在现行收费标准情况的总话费。关于问题四，我们想可以从降低套餐赠送通话时间的方面进行考虑，在很多地方的人并不是通话量很大，如果只从赠送通话时间方面考虑不会引起他们的兴趣，而看见

24、套餐后面的收费标准降低，可以更直观的让他们感觉费用降低了，这样更容易引起他们的兴趣。而且现在使用 且通话量大的主要还是上班的这个群体，如果这个卡推出的套餐优惠还想吸引青年人，就可以从短信的赠送上考虑，年轻的这个群体是比较偏爱短信的。开始 输入139输出结束 可以把任意输入运行的程序中，即可看见对应的输出。八 参考文献 1叶孝其.大学生数学建模竞赛辅导材料（三）M.湖南：湖南省教育出版社,19982谭浩强.C语言程序设计M.北京：清华大学出版社，2000九 附录附录1 2006年中国通信业的统计资料2006年全年累计完成通信业务总量15321.0亿元，同比增长25.6%，其中，电信14592.1

25、亿元，增长26.1%；邮政728.9亿元，增长16.9%。完成通信业务收入7120.6亿元，同比增长11.6%，其中，电信6483.8亿元，增长11.7%；邮政636.8亿元，增长10.8%。通信行业增加值完成4641.7亿元，同比增长11.6%。通信固定资产投资2226.8亿元，同比增长7.5%，其中，电信2186.9亿元，增长7.5%；邮政39.9亿元，增长5.3%。2006年全国 用户总数突破8亿户，移动 用户总数突破4亿户。固定 用户新增1736.7万户，总数达到36781.2万户。其中，无线市话用户新增582.7万户，总数达到9112.7万户；公用 用户新增301.1万部，总数达到2

26、982.3万部。移动 用户新增6767.7万户，总数达到46108.2万户。移动分组数据用户新增6728.8万户，总数达到13809.4万户。固定 普及率和移动 普及率分别达到28.1部/百人和35.3部/百人。基础电信运营企业互联网用户中，拨号用户达到2642.0万户，同比减少917.5万户；专线用户达到62136户，同比减少4927户；宽带接入用户达到5189.9万户，同比增加1454.9万户，宽带接入用户中xDSL用户3712.0万户，LAN用户1449.2万户，WLAN用户2.5万户。全社会互联网使用人数新增约2600万，总数达到1.37亿人。2006年，固定 通话量方面：本地网内区间

27、通话量775.7亿次，下降6.2%；区内通话量6019.5亿次，下降3.1%；固定传统国内长途通话时长972.4亿分钟，增长8.8%；国际通话时长5.9亿分钟，增长7.9%；港澳台通话时长6.1亿分钟，下降1.1%；无线市话短信业务量298.0亿条，增长24.2%。2006年移动 通话量方面：本地通话时长15882.7亿分钟，增长34.7%；国内长途通话时长977.8亿分钟，增长37.0%；国际通话时长4.2亿分钟，增长24.5%；港澳台通话时长4.0亿分钟，增长21.1%；移动短信业务量4296.7亿条，增长41.0%。IP 通话量方面：国内长途通话时长1465.6亿分钟，增长11.1%；国

28、际通话时长12.3亿分钟，下降12.0%；港澳台通话时长10.7亿分钟，下降8.1%。固定 互联互通通话时长2647.2亿分钟，增长29.8%；移动 互联互通通话时长3633.5亿分钟，增长19.4%；移动短信互联互通业务量720.1亿条，增长40.3%。2006年全国光缆线路长度新增18.6万公里，达到425.9万公里；光缆纤芯长度新增1296.8万芯公里，达到8893.4万芯公里。固定长途 交换机容量新增76.9万路端，达到1448.5万路端；局用交换机容量新增3066.5万门，达到50262.6万门，其中，接入网设备容量新增2341.4万门，达到23462.2万门。移动 交换机容量新增1

29、2818.1万户，达到61059.9万户。基础电信运营企业互联网宽带接入端口新增1606.7万个，达到6481.4万个。全国互联网国际出口带宽256696M，网站总数为84.3万个，域名总数为410.9万个。注：该数据来自于中国信息产业部“中国通信统计年度报告（2006）”附录2 中国移动 的资费方案北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案月基本费 （元/月） 包含本地主叫分钟数 超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）本地被叫资费（元/分钟）包含数据业务*17951国内IP长途资费（元/分钟）99280010M GPRS流量139560010M GPRS流量+ 25条彩信1991000050M G

30、PRS流量2992000050M GPRS流量注：（1）畅听套餐所包含的免费被叫通话是指北京全球通客户在本地接听的所有来话 （2）畅听套餐所包含的本地主叫通话是指北京全球通客户在北京地区的所有基本通话和所有长途/IP长途 的基本通话部分，客户漫游至外地的主叫不包含在内。 （3）在呼叫转移状态下，按呼叫转移的资费标准收费。 （4）各档套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月。“全球通68套餐”方案3. 中国移动公司现行的资费标准全球通一、基本资费 1、月租费： 50 元（月租日收： 50 元12 / 365 当月在网天数，精确到分） 2、停机保号： 20 元 / 月 ( 按天计算， 20 / 31 停机天数，精确到分。如整月停机则每月交纳停机保号费 20 元） 3、卡费： 50 元；补换卡 ： 20 元 4、计费原则：双向计费 条件 拨叫类型 资费 未漫游 主叫当地 0.4 元 / 分钟 直拨国内长途 0.4 元 / 分钟 +