北师大版高中数学选修45不等式选讲教案

1、课题：不等式的基本性质目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系；列子 .汤问中脍炙人口的 “ 两小儿辩日”：“ 远者小而近者大”、“ 近者热而远者凉”,就从侧面说明白现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题,如“ 自来 水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢 .” 、“ 电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“ 用一块正方形 白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子；要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大 的小正方形？” 等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关学问才能得到解决；而且,不等式在数学研 究中也

2、起着相当重要的作用；本专题将介绍一些重要的不等式（含有确定值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的 证明,数学归纳法和它的简洁应用等；人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的外形结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这 说明现实世界中的量,不等是普遍的、确定的,而相等就是局部的、相对的；仍可从引言中实际问题动身,说明 本章学问的位置和作用；生活中为什么糖水加糖甜更甜呢.转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖 ab0,如再加 mm0 克糖,就糖水更甜了,为什么. ,只要证bmb 即可；怎么证呢 a. 分析：起初的糖水浓度为b ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ab

3、mamam二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小次序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知：abab0abab0abab0得出结论：要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可；2、不等式的基本性质：、假如 ab,那么 ba,假如 bb； 对称性 、假如 ab,且 bc,那么 ac,即 ab,bc ac；、假如 ab,那么 a+cb+c,即 ab a+cb+c；a+cb+d推论：假如 ab,且 cd,那么 a+cb+d即 ab, cd 、假如 ab,且 c0,那么 acbc；假如 ab,且 c0,那么 acb 0,那么anbnbnN,

4、且 n1、假如 ab 0,那么anN,且 n1；nn三、典型例题 ：例 1、已知 ab,cb-d 例 2 已知 ab0,ca ,对一切实数x 都成立,求实数三、小结 ：四、练习 ：解不等式1、2 x11 .4. 2、413 x10. 6 .3、32xx4、x12x. 5、x22x416、x21x27、xx248、x1x39、xx1210、xx42 .五、作业 ：链接：不等式的图形借助图形的直观性来争论不等式的问题,是学习不等式的一个重要方法,特殊是利用确定值和确定值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式,往往能使问题变得直观明白,帮忙我们快速而精确地查找到问题的答案；关键是在遇到相关问题时,

5、能否精确地把握不等式的图形,从而有效地解决问题；我们再来通过几个详细问题体会不等式图形的作用；1解不等式 x 1 x 2 x 1；题意即是在数轴上找出到 1 1 与 2 2 的距离之和不大于到点 3 1 的距离的全部流淌点 x ；第一在数轴上找到点 1 1,2 2,3 1（如图）；3 x 1 1 2 x 2 x-1 0 1 2 3 从图上判定,在 1与 2之间的一切点显示都合乎要求；事实上,这种点到 1与 2的距离和正好是 1,而到3的距离是 2 x 1 1 x 1 x 2 ；现在让流淌点 x 由点 1向左移动,这样它到点 3的距离变,而到点 1与 2的距离增大,明显,合乎要求的点只能是介于

6、3 1 与 1 1 之间的某一个点 x ；由 1 x 1 2 x 1 x 1 1 , 可得 1x 2 .3再让流淌点 x 由点 2向右移动,虽然这种点到 1与 2的距离的和及到 3的距离和都在增加,但两相比较,到1与2的距离的和增加的要快；所以,要使这种点合乎要求,也只能流淌到某一点4.x 而止；由x21 x22x21 ,可得x24 .从而不等式的解为2x32画出不等式xy1 的图形,并指出其解的范畴；先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情形；在第一象限内不等式等价于：x0,y0,xy1. y1 的图形是以原点O 为中心,四个等点分别其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成；同样可画出

7、二、三、四象限的情形；从而得到不等式x在坐标轴上的正方形；不等式解的范畴一目了然；探究： 利用不等式的图形解不等式1. x1x11 ; 2x2 y1.A 组 1解以下不等式：（1）23x1（2） 13x471130 .2（3）2 x4x1（4）x22x1x22解不等式：（1）2x1x1（2）x2x13解不等式：（ 1）x1x23（2）x2x4利用确定值的几何意义,解决问题：要使不等式x4x31 ,画面的上、下各留 8cm的空白,左、右各留 5cm的空白；怎样确定画面的高与宽尺才,能使宣扬画所用纸张面积最小？2022 年全国文科高考题 解：设画面的宽为x cm ,就画面的高为4840cm,设纸张

8、面积为2S 30256760 x S=x10484016500016x3025500016xxxx当且仅当 x3025 ,即 x= 55 cm ,此时高 x484088555551888答：画面高为88cm,宽为 55cm时,能使所用纸张面积最小；评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时,应留意：课设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内,求函数的最大值或最小值；正确写出答案；题：不等式的证明方法之一：比较法目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质

9、：abab0abab0abab0二、典型例题 ：例 1、设ab,求证：a23 b22 ba4b；xx22.例 2、如实数1x1,求证：31x2x证明：采纳差值比较法：2 4 2 23 1 x x 1 x x 2 4 2 4 2 3= 3 3 x 3 x 1 x x 2 x 2 x 2 x4 3= 2 x x x 1 2 2= 2 x 1 x x 1 = 2 x 1 2 x 1 2 3 .2 42 1 2 3x ,1 从而 x 1 0 , 且 x 0 ,2 42 x 1 2 x 1 2 3 0 ,2 43 1 x 2x 4 1 x x 2 2 .争论 ：如题设中去掉 x 1 这一限制条件,要求证

10、的结论如何变换？a b b a例 3、已知 a , b R , 求证 a b a b .此题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行；证明： 1 差值比较法：留意到要证的不等式关于ba,b对称,不妨设ab0 .ab00,从而原不等式得证；aabbabbaabbbaabbab2）商值比较法：设ab,01.故原不等式得证；a,1ab0 ,aabbaababbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法；用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判定符号；例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点；甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度

11、m 行走,另一半路程以速度 n 行走；假如 m n,问甲、乙两人谁先到达指定地点；分析：设从动身地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t 1,t 2；要回答题目中的问题,只要比较 t 1,t 2 的大小就可以了；解：设从动身地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t 1,t 2,依据题意有t 1m t 1n S,S St 2,可得 t 1 2 S,t 2 S m n ,2 2 2 m 2 n m n 2 mn2 2从而 t 1 t 2 2 S S m n S 4 mn m n S m n ,m n 2 mn 2 m n mn 2 m

12、 n mn其中 S , m , n 都是正数,且 m n；于是 t 1 t 2 0,即 t 1 t 2；从而知甲比乙第一到达指定地点；争论 ：假如mn,甲、乙两人谁先到达指定地点？b,恒有b20.例 5、设fx2x2,1pq0 ,pq1 .求证；对任意实数a,pfaqfb fpaqb.（1）（2）证明考虑（ 1）式两边的差；pfaqfb fpaqb.p2a21 q2 b21 2paqb212p1pa22q1q b24pqabpq1.pq,1 pq0 ,22pqa22pqb24pqab2pqa即（ 1）成立；三、小结 ：四、练习 ：五、作业 ：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2 x 与

13、x2x1；（2）x2x1与 x1 2. 2已知ab1 .求证：（1）a2bc2 a;1（2）12a21 .a3如ac0,求证aabcabcabc3.4比较 a4-b4 与 4a3a-b的大小解：a4-b4 - 4a 3a-b=a-ba+ba2+b 2 -4a3a-b= a-ba3+ a 2b+ab2+b3-4a 3 = a-ba2b-a3+ab3-a3+b3-a3= - a-b23a3+2ab+b2 = - a-b23ab22b20当且仅当db 时取等号 4a33a4-b43a-b；5比较 a+3a-5 与a+2a-4的大小6已知 x 0,比较 x2+12 与 x 4+x2+1 的大小与a2a

14、1a2a1的大小7假如 x0 ,比较x12与x12的大小8已知 a 0,比较a22a1a22a19设 x1,比较 x3 与 x 2-x+1 的大小说明：“ 变形” 是解题的关键,是最重一步；因式分解、配方、凑成如干个平方和等是“ 变形” 的常用方法；阅读材料：琴生不等式例 5 中的不等式pfaqfbfpaqb有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系,也是琴生（Jensen）不等式的特例；琴生在 1905 年给出了一个定义：就称设函数fx 的定义域为 a,b,假如对于 a,b内任意两数x 1,x2,都有x1, x2, 有fx 12x2fx 12fx2.（1）fx为a,b 上的

15、凸函数；如把（ 1）式的不等号反向,就称这样的fx为 a,b上的凹函数；凸函数的几何意义是：过yf x曲线上任意两点作弦,就弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上；其推广形式是：如函数fx 的是 a,b上的凸函数,就对a,b内的任意数x 1,x2,xn,都有fx 1x2nx nfx 1fx2fx n.（2）n当且仅当x 1x2xn时等号成立；一般称（2）式为琴生不等式；更 为 一般 的 情形 是： 设fx是 定 义在 区 间 a,b 上 的函 数 ,如 果 对于 a,b 上的 任 意两 点pf x 1 qf x 2 f px 1 qx 2 ,其 中 p , q R , p q 1, 就 称 f x

16、 是 区 间 a,b 上 的 凸 函 数 ； 如 果 不 等 式 反 向 , 即 有pf x 1 qf x 2 f px 1 qx 2 , 就称 f x 是a,b 上的凹函数；其 推 广 形 式, 设 q 1 , q 2 , , q n R , q 1 q 2 q n 1,f x 是 a,b 上 的 凸 函 数 , 就 对 任 意x 1 , x 2 , , x n a , b , 有 f q 1 x 1 q 2 x 2 q n x n q 1 f x 1 q 2 f x 2 q n f x n ,当且仅当 x 1 x 2 x n 时等号成立；如 f x 是凹函数,就上述不等式反向；该不等式称为

17、琴生（Jensen）不等式；把琴生不等式应用于一些详细的函数,可以推出很多闻名不等式；课题：不等式的证明方法之二：综合法与分析法目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法；由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以熟悉、学习,以便于对比争论两种思路方法的特点；所谓综合法, 即从已知条件动身,依据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等式；而分析法,就是由结果开头,倒过来查找缘由,直至缘由成为明显的或者在已知中；前一种是“ 由因及果”,后一种是“ 执果索因” ；打一个比方：张三在山里迷了路,救

18、援人员从驻地动身,逐步查找,直至找到他,这是“ 综合法”；而张三自己找路,直至回到驻地,这是“ 分析法”；2 2以前得到的结论,可以作为证明的依据；特殊的,A B 2 AB 是常常要用到的一个重要不等式；二、典型例题 ：例 1、a,b都是正数；求证：2ab2 .ba证明：由重要不等式A2B2.2AB可得ab2abbaba本例的证明是综合法；例 2、设a0 b0,求证a3ab3a2bab2.ab成立,证法一分析法2ab32bab成立 . 要证a3bb只需证aa2abb2证法二综合法又因ab0,ab,b2ab只需证a2abb2ab成立,又需证a22 abb20成立,即需证ab20成立 . 而ab2

19、0明显成立 . 由此命题得证；ab20a22abb20a2留意到a0 b0,即ab0,b由上式即得aba2abb2aba从而a3b3a2bab2成立；议一议： 依据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且a.b求证：ama.（1）bmb证法一要证（ 1）,只需证bam abm （2）（3）要证（ 2）,只需证bmam要证（ 3）,只需证ba（4）已知（ 4）成立,所以（1）成立；上面的证明用的是分析法；下面的证法二采纳综合法；证法二由于ba,m是正数,所以bmamP 推出）,那么采纳分析P两边同时加上 ab 得bam abm 两边同时除以正数bb

20、m 得（ 1）；读一读： 假如用PQ或QP表示命题 P 可以推出命题Q（命题 Q 可以由命题P,那么我们就说命题法的证法一就是（1）234 .而采纳综合法的证法二就是4 3 2 1 .假如命题 P 可以推出命题Q,命题 Q 也可以推出命题P,即同时有PQ,Q与命题 Q 等价,并记为PQ.在例 2 中,由于b ,m ,bm都是正数,实际上1 23 4 .例 4、证明：通过水管放水,当流速相同时,假如水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大；分析：当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小；设截面的周长为 L ,就周长为 L 的2 2圆 的半 径为 L,

21、截 面积 为 L； 周长 为 L 的 正方 形为 L , 截 面积 为 L； 所以 此题 只需 证明2 2 4 42 2L L；2 42证明：设截面的周长为 L,就截面是圆的水管的截面面积为 L,截面是正方形的水管的截面面积为22 2 2L；只需证明：L L；4 2 42 2为了证明上式成立,只需证明 L2 L；4 16两边同乘以正数 42,得：1 1；L 4因此,只需证明 4；2 2上式明显成立,所以 L L；2 4这就证明白： 通过水管放水, 当流速相同时, 假如水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大；例 5、证明：a2b2c2abbcca；cbc（2）22

22、（5）0,证法一由于a2b22abb2c22bcc22 ab（3）c2a22ca（4）所以三式相加得2a2b2ca1ca2两边同时除以2 即得（ 1）；ca1a21bcb 证法二由于a2b2c2abbc222所以（ 1）成立；0dbd2.（1）例 6、证明：a2b2c2d2ac0（3）证明（ 1）a2b2c2d2acbd2（ 2）a2c2b2c2a2d2b2d2a222abcdb2b2c2a2d22abcd033 abc.（4）（5）bcad20c（ 5）明显成立；因此（1）成立；例 7、已知a,b,c都是正数,求证a3b3并指出等号在什么时候成立？分析：此题可以考虑利用因式分解公式a3b3c

23、33 abcabc a2b2c2abbcca着手；证明：a3b3c33 abcc 2cca 20,3,会得到=abca2b2c2abbcca=1abcab2bc2ca 2.2由于a,b,c都是正数,所以abc0 .而ab2b可知a3b3c33 abc0a,b,来代替,并在两边同除以即a3b3c33 abc（等号在abc时成立）探究 ：假如将不等式a3b3c33 abc中的a3,b3,c3分别用怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： 1ab 1bc1ca27,其中a,b,c是互不相等的正数,且abc1. 三、小结 ：解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上（或减去）一

24、个数或代数式,移 项,在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原先的不等式等价；这 些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式经常常用到的技巧；四、练习 ：1、已知x0,求证：x12.x4y.2b2a3b38a3b3.x2、已知x0,y0,xy,求证11xy3、已知ab0 ,求证abab.ba4、已知a0 b0.求证：a（1）aba1b14.（2）5、已知a ,b ,c,d都是正数；求证：（1）acb2cdabcd;（2）abcd4 abcd.46、已知a ,b ,都是互不相等的正数,求证abcabbcca9 abc五、作业 ：课题：不等式的证明方法之三：反证法

25、目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法；也就是说,直接从题设动身,经过一系列的规律推理,证明 不等式成立；但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采纳间接证明的方法；所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的；其中,反证法是间接证明的一种基本方法；反证法在于说明：如确定命题的条件而否定其结论,就会导致冲突；详细地说,反证法不直接证明命题“ 如p 就 q” ,而是先确定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的规律推理,而得到冲突,从而确定原来的结论

26、是正确的；利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；其次步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定动身,应用证确的推理方法,推出冲突结果；第四步 确定产生冲突结果的缘由,在于开头所作的假定不正确,于是原证不等式成立；二、典型例题 ：例 1、已知ab0,求证：nanb（nN且n1）fa3b32冲突,所以,原不例 1、设a3b32,求证ab.2证明：假设ab2,就有a2b,从而a3812 b6 b2b3,a3b36 b212 b86 b122 .由于6b1 222,所以a3b32,这与题设条件等式ab2成立； 3 中至少有一个不小于1. 例 2

27、、设二次函数fxx2pxq,求证：f 1,f2 ,2证明：假设f,1f2 ,f 3 都小于1 ,就 2（1）f 12f 2 f 3 2 .另一方面,由确定值不等式的性质,有f 1 2f22f3 pf1 2f2 f32（2）1pq 42q93pq（1）、（2）两式的结果冲突,所以假设不成立,原先的结论正确；留意 ：诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满意某个不等式时,通常采纳反证法进行；议一议 ：一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、 定理或已知条件、 已证不等式, 以及与暂时假定冲突等各种情形；方法有什么特点？试依据上述两例,

28、 争论查找冲突的手段、例 3、设 0 a, b, c 1, 1 bc 1, 1 ca 1, 444就三式相乘： ab 1 ab.1 bc.1 ca 164又 0 a, b, c 0,ab + bc + ca 0,abc 0,求证： a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0, 就 b + c = a 0 ab + bc + ca = ab + c + bc 0 冲突,必有 a 0 同理可证： b 0, c 0 三、小结 ：四、练习 ：a m a1、利用反证法证明：如已知 a,b,m 都是正数,并且 a b,就 .b m b2、设 0 a, b, c 0,且 x + y 2,就 1 y 和

29、1 x 中至少有一个小于 2；x y提示：反设 1 y2,1 x2 x, y 0,可得 x + y 2 与 x + y 2 冲突；x y五、作业 ：课题：不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小）,使之得出明显的不等量关系后,再应用不等 量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法；这种方法是证明不等式中的常用方法,特殊在今后学习高等 数学时用处更为广泛；下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的基本思想；二、典型例题 ：1例 1、如 n 是自然数,求证11112.2 12232n2证明：1k11

30、 k111,k2 ,3 ,4 ,n .k2kk111111112 12232n211223n1 n=11111n11111223n=212 .n留意 ：实际上,我们在证明11112的过程中,已经得到一个更强的结论2 12232n211121,这恰恰在肯定程度上表达了放缩法的基本思想；122232n2n例 2、求证：11112113121n3 .123证明：由121k1212211,（ k 是大于 2 的自然数）32k得11112113121n12311111111113113 .n 2122 23 2n 21n 22例 3、如 a, b, c, dR+,求证：1aadbbaccbddc2bcd

31、a证：记 m =aadbbaccbddcbcdaa, b, c, dR+ logmabacdabbcaccabnd2dbc1nn221damaababbccdddc2log1 11 m 2 时,求证：lognn1lognn2logn1 证： n 2 lognn1 0,lognn1 02nn1 lognn1lognn1 2lognn1 22n 2 时, lognn1 lognn1 1三、小结 ：四、练习 ：1、设 n 为大于 1 的自然数,求证n12n1213n11.1.1n2n22、设 n 为自然数,求证213 n52122nnnn .五、作业 ：A 组1、对于任何实数x ,求证：（1）x2x

32、13；（2）1xx211.4aba2b2.442、设ab,求证：（1）a23b22bab；（2）a46 a2b2b43、证明不等式a4b4a3bab3. .4、如a,b ,c都是正数,求证：abca3b3c3a2b2c225、如abc0 ,求证a2ab2bc2cabcbaccab. 6、假如a,b同号,且均不为0. 求证：ab2,并指出等号成立的条件ba7、设a,b ,c是互不相等的正数,求证：bcacababc3.abc8、已知三个正数a,b,c的和是 1,求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、如02,就1sincos2. 10、设x,yR,且xy,1求证：11119 .xy11、已知x

33、0,求证：（1）x2x111；（2）x232. 2x2212、设a,b是互不相等的正数,求证：b2a2ba11.89a2b2. ababab13、已知a,b都是正数,求证：ab2ab2a2b （1） 1ab 1a2b29ab;（2）a2b14、已知a2b2c2,1x2y2z2,1求证：axbycz1.bcca15、已知a2b2,1x2y2,1求证：axby.116、已知a,b,c,d都是正数,且有xa2b2,yc2d2求证：xyacbdadbc an1,2ab17、已知a 1,a2,a 3,a n都是正数,且a1a2a3求证：1a 1 1a2 1a31an2na2b2c218、设ABC 的三条

34、边为a ,b ,c,求证abbcca19、已知a,b,x ,y都是正数,设ab,1uaxby ,vbxay.求证：uvxy .20、设 n 是自然数,利用放缩法证明不等式n111112 .n2n33 n21、如 n 是大于 1 的自然数,试证1n1111111.22232n2nB 组22、已知a,b,c ,x,y ,z都是正数,且xyz,求证：xxyzz c.abcaabc23、设ab0,试用反证法证明asinxb b不能介于ab b与ab之间；asinxaab24、如 n 是自然数,求证11117.122232n24链接：放缩法与贝努利不等式里在用放缩法证明不等式时,有时需要 “ 舍掉几个正

35、项”以便达到目的； 就是说, 假如在和式acbcded和e都是正数,可以舍掉d和e,从而得到一个明显成立的不等式abcdeab. 例如,对于任何x0和任何正整数n ,由牛顿二项式定理可得1xn1nxn n1 x2nn1 n2 x2xn.12123舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式： 1xn1nx. 在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性；该不等式不仅当 n 是正整数的时候成立,而且当 n 是任何大于 1 的有理数的时候也成立；这就是闻名的 贝努利不等式 ；在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设 x 1,就在 1或 0时, 1 x 1 x

36、,在 0 1 时, 1 x 1 x .阅读材料：贝努利家族小史在数学进展史上,17-18 世纪显现了一个闻名的数学世家贝努利（Bernoulli ）家族（瑞士）,这个家族中的三代人中共显现了 8 位数学家, 它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的奉献；其中, 又以第一代的雅各布.贝努利（ Jacob Bernoulli ,1654.12-1705.8 ）、约翰 .贝努利（ Johann Bernoulli ,1667.8-1748.1 ）兄弟和其次代的丹尼尔 .贝努利（ Danial Bernoulli ,1700.2-1782.3,约翰 .贝努利的儿子）最为闻名；在数学的多个分支中,以“

37、 贝努利” 命名的定义、定理、公式数不胜数；除了我们前面提到的“ 贝努利不等式” 之外,将来会有机会学习到微积分中的“ 贝努利方程”、“ 贝努利级数判别法”,解析几何中的“ 贝努利双纽线” ,概率论中的“ 贝努利定理”（即“ 大数定律” 的早期形式）、“ 贝努利数”、“ 贝努利多项式” 等等；特殊是,丹尼尔 .贝努利制造性地将数学方法应用到物理学的争论中,取得了卓著的成就,被推崇为数学物理方法的奠基人；贝努利家族之所以取得如此大的数学成就,至少有以下几个方面的主要缘由：（ 1）对数学的真挚喜爱；考察贝努利家族的8 位数学家,可以发觉一个共同的特点：都是从父辈不同意他们争论数学,而要求他们经商、

38、从医或做律师开头,到最终走上从事数学的生涯；这一过程中,个人对数学的极 大热忱和爱好起到了打算性的作用；当然,家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素；（ 2）广泛的学术沟通；贝努利家族的成员们,都留意与当时的数学家和科学家进行广泛的学术沟通和争论,以此相互促进和提高；如雅各布 .贝努利、 约翰.贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之 间,丹尼尔 .贝努利与当时欧洲数学界的中心人物欧拉的频繁通信沟通成为数学史上的美谈；（ 3）继承基础上的大胆创新；在继承已有数学争论成果的基础上大胆开拓、创新,是贝努利家族成员从事争论的又一个共同特点；贝努利家族的主要成员正处于数学

39、思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折；他们不仅善于接纳新思想、新方法,更是进行了大胆地改 进、突破,取得了很多开创性的成就；亲爱的同学们,你能从贝努利家族的胜利中得到哪些启示呢？课题：几个闻名的不等式之一：柯西不等式目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：除了前面已经介绍的贝努利不等式外,本节仍将争论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等闻名不等式；这些不等式不仅形式美丽、应用广泛,而且也是进一步学习数学的重要工具；1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c ,d均为实数,就a2b2c2d2acbd2,其中

40、等号当且仅当adbc时成立；证明：几何意义：设,为平面上以原点O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为A（a,b）, B（c,d）,那么它们的数量积为.acbd,|.|,而|a2b2,|2 cd2所以柯西不等式的几何意义就是：|其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立；2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设,为平面上的两个向量,就|.|,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立；3、定理 3：（三角形不等式）设x 1,y 1,x 2,y 2,x3,y3为任意实数,就：y 1y32x 1x22y 1y222x 1x 32x2x 32y 2y3分析：

41、摸索：三角形不等式中等号成立的条件是什么？就：4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n 为大于 1 的自然数,a , ib i（ i1,2, , n ）为任意实数,inai2inb i2inaibi2,其中等号当且仅当b 1b2b n时成立（当ia0时,商定ib0,i1,111a1a2an2, , n ）；证明：构造二次函数：fxa 1xb 12a2xb22anxbn2, i1,2, , n ）；即构造了一个二次函数：fx nai2x22 naibixnbi20i1i1i1由于对任意实数x ,fx0恒成立,就其0 ,即：4naib i24nai2nb i20,i1i1i1即：na ib

42、i2nai2nb i2,ibi1i1i1等号当且仅当a 1xb 1a2xb2anxbn0,即等号当且仅当b 1b 2bn时成立（当ia0时,商定a 1a2an假如ia （1in）全为 0,结论明显成立；柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设aiR ,bi0 i,12 ,n,inai2inai2,等号成立当且仅当b 1b2bn；1bibib iai1inaiai2,等号成立当且仅当变式 2 设 ai,bi 同号且不为0（i=1 ,2, ,n）,就：1b ia ib i二、典型例题 ：例 1、已知,a2,b21,x2y2a21,求证：|ax2by|1；c2bd2；例 2、设ab2cb,cdR,求

43、证：2da例 3、设,为平面上的向量,就|；例 4、已知a,b,c均为正数,且abc1,求证：1119；abc方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）例 5：已知a ,a , ,a 为实数,求证：ina i21inai2；1n1分析：推论：在 n 个实数a , 2 a , ,a 的和为定值为S 时,它们的平方和不小于1 S n2,当且仅当a 1a2an时,平方和取最小值1 S n2；三、小结 ：四、练习 ：1、设 x1,x2, ,xn 0, 就inx ix inx ii111n1n1xixi1求证 : in1x i2ijxixj2、设xiR（i=1,2, , n）且i11n3、设 a 为实常数

44、,试求函数fx sinx acosxxR的最大值4、求函数fxasinxbcosx在0,2上的最大值 ,其中 a,b 为正常数五、作业 ：1、已知：a2b21,m2n22, 证明：2ambn2；提示：此题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明；2、如x,y,zR,且xyz=a ,x2y2z2=1 a 22a0 ,求证：x,y ,z都是不大于2a的非负3实数；证明：由zaxy代入x2y2z2=1 a 228y2ay21 2a20可得2x22ayxay21a202xR 0 即4ay2化简可得：3y22 ay00a00y2 3ax2a,2 3a同理可得：0z3由此可见,在平常的解题中,一些证明定理、公

45、理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能敏捷运用,就 能收到事半功倍的成效；3、设 a b 为不相等的正數,试证：aba3b3a2b22；4、设 x,y,z 为正实数,且x+y+z=10 ,求419 z的最小值；x,y,z,求 x2+y2+z2 的最xy5、设 x,y,z R,求2 xy2zz2的最大值；x22 yP,P 到三边的距离分別为6、 ABC 之三边长为4,5,6,P 为三角形內部一点小值；课解： s=45615ABC 面积 =s sasbsc 157531572222224C且 ABC=PAB+PBC+ PAC 15714x5y6z4x+5y+6z=1574226FzPyE由柯西不

46、等式4x+5y+6z2x2+y2+z242+52+62 51527x2+y2+z2 77x2+y2+z2225AxD4B4447、设三个正实数a,b,c 满意a2b2c222 a4b4c4,求证：a,b,c 肯定是某三角形的三边长；1；8、求证n n3 个正实数 a1,a2, ,an 满意a 12a 22a n22 n1 a 14a24a n49、已知x ,y,zR,且2xx1求证 : 2x2x2y2y2z2z10、设x,y,zR,求证 : y2x2yzz2y2zxx2z2xy1；2 zx2y211、设x,y,zR,且 x+2y+3z =36,求123的最小值xyz题：利用柯西不等式求最大（小

47、）值目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入 ：1、柯西不等式：inai2inbi2inaib i2；111二、典型例题 ：例 1、把一条长是 m 的绳子截成三段,各围成一个正方形；怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？例 2、如图,等腰直角三角形 AOB 的直角边为 1,在这个三角形内任意取一点 P,过 P 分别引三边的平行线,与各边围成以 P 点为顶点的三个三角形（图中阴影部分）,求这三个三角形面积和的最小值,以及取到最小值时点 P 的位置；B分析：三、小结 ：DPECGA四、练习 ：FOJ五、作业 ：课题：几个闻名的不等式之二：排序不等式目的要求 ：重点难点 ：教学过程 ：一、引入

48、 ：1、问题 ：如某网吧的 3 台电脑同时显现了故障,对其修理分别需要 45min,25 min 和 30 min,每台电脑耽误 1 min,网吧就会缺失 0.05 元；在只能逐台修理的条件下,按怎么样的次序修理,才能使经济缺失降到最小？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地,设有两组数：a a a ,b b b ,我们考察这两组数两两对应之积的和,利用排列组合的学问,我们知道共有 6 个不同的和数,它们是：对 应 关 系 和 备 注（a ,a ,a ）同序和S 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）乱序和S 2 a 1 b 1 a 2

49、b 3 a 3 b 2（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）乱序和S 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a 3 b 3（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）乱序和S 4 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）乱序和S 5 a 1 b 3 a 2 b 1 a 3 b 2（b ,1b ,b ）（a ,a ,a ）反序和S 6 a 1 b 3 a 2 b 2 a 3 b 1（b ,b ,b ）依据上面的猜想,在这 6 个不同的和数中,应有结论：同序和 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 最大,反序和 a 1 b 3 a 2 b 2 a 3 b 1 最小；2、对引例的验证：对 应 关 系S 1a1 b 1和a3b 3220备注（1,2, 3）a2b2同序和（25, 30,45）（1,2, 3）S2a 1b 1a2b 3a3b 2205乱序和（25, 45,30）（1,2, 3）S 3a 1b 2a2b 1a3b 3215乱序和（30, 25,45）（1,2, 3）S 4a 1b 2a2b 3a 3b 1195乱序和（30, 45