高中数学必修二 9.2.1总体取值规律的估计9.2.2总体百分位数的估计

1、9.2.1总体取值规律的估计9.2.2总体百分位数的估计一二三四一、频数与频率1.将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本中所占比例的大小.2.做一做容量为100的样本数据被分为6组,如表:第5组的频率是()A.0.15B.0.16C.0.18D.0.20答案:B解析:由表可知,第5组的频数为100-14-17-18-20-15=16,第5组的频率为 =0.16.故选B.一二三四二、频率分布表1.思考(1)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在

2、本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?你认为为了较为合理地确定出这个标准需要做哪些工作?提示a定为大部分居民的月均用水量比较合理.为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.一二三四(2)一般地,列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行?提示第一步,求极差.第二步,决定组距与组数.第三步,确定分组点,将数据分组.第四步,列频率分布表.一二三四(3)你能

3、列出下列100个数据的频率分布表吗?100位居民的月均用水量(单位:t)一二三四提示100位居民月均用水量的频率分布表如表所示. 一二三四2.填空为了能直观地显示样本的频率分布情况,通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中,这张表叫做频率分布表.一二三四三、频率分布直方图1.思考(1)为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来,常画出频率分布直方图.画图时,应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值,以各个组距为底,以各频率除以组距的商为高,画成小长方形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.(2)为了直观反映样本数据在各组中的分布情况,你能根据上面的频率分布表

4、画出频率分布直方图吗?提示频率分布直方图为:一二三四(3)绘制频率分布直方图的步骤. 提示 一二三四2.做一做(1)在样本频率分布直方图中,某个小长方形的面积是其他小长方形的面积之和的14,已知样本量是80,则该组的频数为()A.20B.16C.30D.35答案:B解析:设该组的频数为x,则其他组的频数之和为4x,由样本量是80,得x+4x=80,解得x=16,即该组的频数为16,故选B.一二三四(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.频率分布直方图中的纵轴表示频率.()频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率.()频率分布直方图中所有小长方形的面积和等

5、于1.()答案:一二三四四、第p百分位数1.思考现有一组数据3.1,2.4,2.0,1.6,1.8.则这组数据的中位数是多少?第50百分位数是多少?若数据变为3.1,2.4,2.0,1.6结论又如何?你能发现其中的规律吗?提示第一组数据的中位数为2.0,第50百分位数2.0;第二组数据的中位数为2.2,第50百分位数为2.2.从以上过程可以归纳出一组数据的中位数其实就是第50百分位数.一二三四2.填空一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数:第1

6、步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=np%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.一二三四3.做一做(1)数据1,3,8,5的中位数是,第50百分位数是,第75百分位数是.答案:446.5(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的.()第25百分位数也可以称为第一四分位数或上四分位数.()答案:探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练频率分布直方图的绘制与应用例1一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况,在一块试验

7、地里抽取了100个麦穗,量得长度如下(单位:cm):6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.65.85.56.06.55.16.55.35.95.55.86.25.45.05.06.86.05.05.76.05.56.86.06.35.55.06.35.26.07.06.46.45.85.95.76.86.66.06.45.77.46.05.46.56.06.85.86.36.06.35.65.36.45.76.76.25.66.06.76.76.05.66.26.15.36.26.86.64.75.75.75.85.37.06.06.05.95.46.05.26.06.35

8、.76.86.14.55.66.36.05.86.3探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直方图,并估计长度在5.75,6.05)cm之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比.分析依据步骤画出频率分布直方图;用样本中的百分比(即频率)来估计长度在5.75,6.05)cm之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比.解:步骤是:(1)计算极差,7.4-4.0=3.4(cm).(2)决定组距与组数.若取组距为0.3 cm,由于 ,需分成12组,组数合适.于是取定组距为0.3 cm,组数为12.(3)将数据分组.使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微减小一点.则

9、所分的12个小组可以是3.95,4.25),4.25,4.55),4.55,4.85),7.25,7.55.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(4)列频率分布表.对各个小组作频数累计,然后数频数,算频率,列频率分布表,如下表所示:探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(5)画频率分布直方图,如图.从表中看到,样本数据落在5.75,6.05)之间的频率是0.28,于是可以估计,在这块地里,长度在5.75,6.05)cm之间的麦穗约占28%.反思感悟 本题画频率分布直方图时,小长方形的高易错用该组的频率的大小来表示.其原因是不清楚频率分布直方图纵轴的

10、意义.由于画频率分布直方图的步骤比较烦琐,因此在实际操作的过程中要有足够的耐心.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:10.75,10.85),3;10.85,10.95),9;10.95,11.05),13;11.05,11.15),16;11.15,11.25),26;11.25,11.35),20;11.35,11.45),7;11.45,11.55),4;11.55,11.65,2.(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图;(3)根据上述图表,估计数据落在10.95,11

11、.35)范围内的可能性是百分之几;(4)估计数据小于11.20的可能性是百分之几.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)频率分布表如下: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图:(3)由上述图表可知数据落在10.95,11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在10.95,11.35)范围内的可能性是75%.(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,则(x-0.41)(11.20-11.15)=(0.67-0.41)(11.25-11.15),所以x-0.41=0.

12、13,即x=0.54,从而估计数据小于11.20的可能性是54%.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练对折线图、扇形图、条形图的识读例2某中学初中部共有120名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.128B.144C.174D.167分析根据女教师的百分比,分别计算初中部和高中部女教师的人数即可.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:B解析:初中部女教师有12070%=84(人),高中部女教师有150(1-60%)=15040%=60(人),则女教师共有84+60=144(人).反思感悟 对于折线图、扇形图、条形图一定要注意每种图示的作用和含

13、义,其次要看清所标记数据和单位,最后要抓住各种图示中所体现的信息“密码”.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2调查机构对某高科技行业进行调查统计,得到该行业从业者学历分布扇形图、从事该行业岗位分布条形图,如图所示.给出下列三种说法:该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上;该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%;该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生.其中正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:C解析:在中,由该行业从业者学历分布扇形图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%,故正确;在中,由从事该行

14、业岗位分布条形图知该高科技行业中从事技术岗位的人数占39.6%,超过总人数的30%,故正确;在中,由题中的两个图无法得到从事运营岗位的人员主要是本科生,故错误.故选C.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练频率分布直方图中的相关计算问题例3在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是()A.210B.205C.200 D.195分析由频率分布直方图先求出在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率,由此能求出在该次测验中成绩不低于100分的学生人数.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:C解析:由频率分布直

15、方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)10=0.4,在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为5000.4=200.故选C.反思感悟 1.因为小长方形的面积=组距 =频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.4.在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究在例3中若将“不低于100分”改为“不高于120分”结论又如何?解:由图

16、可知成绩不高于120分的频率为1-0.00610=1-0.06=0.94.满足要求的学生人数为5000.94=470(人).探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在15,18)内频数为8.(1)求样本在15,18)内的频率;(2)求样本量;(3)若在12,15)内的小矩形面积为0.06,求在18,33)内的频数.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由样本频率分布直方图可知组距为3.(3)在12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在12,15)内的频率为0.06,故样本在15,33)内的频数为50(1-0.06)=47.又

17、因为在15,18)内的频数为8,故在18,33)内的频数为47-8=39.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练总体百分数的应用例4有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.解:(1)i=50%11=5.5,第50百分位数是第6项的值3520.(2)i=0.7511= =8.25,第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 1.可以通过下面的步骤计算一组n个数据

18、的第p百分位数:第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=np%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.2.若题目与统计图表相联系,且各个数据信息不太清晰时,则要根据比例进行估算.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由题意知分别落在各区间上

19、的频数为在80,90)上有600.15=9,在90,100)上有600.25=15,在100,110)上有600.3=18,在110,120)上有600.2=12,在120,130上有600.1=6.从以上数据可知第50百分位数一定落在区间100,110)上,综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练不能正确理解频率分布直方图中纵轴的意义致错典例有同型号的汽车100辆,为了了解这种汽车的耗油情况,现从中随机抽取10辆在同一条件下进行耗油1 L 所行驶路程的试验,得到的数据(单位:km)频率分布表如下:试画出频率

20、分布直方图.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练错解频率分布直方图如图所示: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正解频率分布直方图如图所示:探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案:D解析:自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)2.5