动点的轨迹问题

1、动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映

2、学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含X,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却

3、随另一动点Q（x，y）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点

4、的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A(x,y),B(x,y)并代1122入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。二、注意事项：求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，

5、发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。轨迹方程既可用普通方程F(x,y)=0表示，又可用参数方程J=f(t)(t为参数)y=g(t)来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例题选讲】一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q(2，0

6、)，圆C的方程为x2y2二1，动点M到圆C的切线长与|MQ的比等于常数九(九0)，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N,则|MN|2=MO2-ON2。设M(x,y)，贝yX2+y2-1=九(x-2)2+y2化简得(九21)(x2y2)4九2x(14九2)=0(1)当九=1时，方程为x=5，表示一条直线。4(2)当九鼻1时，方程化为(x-)2+y2九2-11+3九2（九2-1）2表示个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式-如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM

7、=2PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以OO的中点O为原点，OO所在的1212直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O（2,0）,O（2,0）12由已知PM二2PN可得：PM2=2PN2因为两圆的半径均为1,所以PO2-1二2（PO2-1）12设P（x,y），则（x,2）2一1=2（x一2）2,y2一1，即（x一6）2,y2=33所以所求轨迹方程为：（x-6）2+y2=33（或x2+y2-12x+3=0）评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要

8、说明轨迹是什么。二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，OOz切直线l于点A,又过B、C作0,异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.O【解析】设过B、C异于l的两切线分别切0,于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|,|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=1

9、86=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系,可求得动点卩的轨迹方程为：81+=1练习：已知圆0的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6,0）,M为圆0上任一点，AM的垂直平分线交0M于点P,求点P的方程。解：由中垂线知，PAPM故PA+POPM+POOM10,即p点的轨迹为(x+3)2y2以A、0为焦点的椭圆，中心为(-3,0)，故P点的方程为兀+”1252516评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。代入法题型：例3如图，从双曲线x2-y2=l上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线

10、段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(X,y)则N(2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2即x-y+y-X=0yy又PQ垂直于直线x+y=2，故11，x一x1由解方程组得x2X+2y-1,y2X+2y-1,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y

11、)=0)四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。TOC o 1-5 h z解：A(-2p,0),设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k丰0).与抛物线方程联立方程组可解得B2p2p1点的坐标为C-2p,)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y-(x+2p)，与抛k2kk物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p-2p,，2kp)

12、，又M为BC中点，设M(x,y),p_x+k2p一2p则kp，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。y一kprk巩固与提高：1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO丄BO(如图4所示).求AAOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；解析】解法一：以0A的斜率k为参数由A(k,k2).oB：y=,kx由TOA丄OB,1y=，xky=x2(i解得B-ki(x=匚设厶AOB的重心G(x,y),则3y=30）的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。（考例5）2)解1（交轨法）：点A、B在抛物线y2二4px（

13、p0）上,y2y2设A（】p，y），B（4p，叮所以k由OA垂直OB得kOAkOB=-1，4pOA=yA得yAyB=-16p2，4pk=koByB又AB方程可求得y-yA=y/y2、B(X，A)，y24pByAy2A，4p4p2)2)y=yA+yBx，4P即(yA+yB)y-4Px-yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得ab方程（yA+yB）y-4px+i6p2=0又om的方程为由消去得yA+yB即得x2+y2-4px二0，即得（x2p）2+y2=4p2。所以点M的轨迹方程为（x-2p）2+y2二4p2，其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆,除去点（0,0：。说明：用交轨法求交点的

14、轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。所以方程为（x-2p）2+y2二4p2，除去点（0,0）。六、点差法：例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y=1x2上一点，直线l过点P且与抛物线厶C交于另一点Q。若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。解：设P(x,y),Q(x,y)

15、,M(x,y),依题意知，x0,y0,y01122001121由y=2x2(1)厶得y/二x，过点P的切线的斜率k=x，切11111直线1的斜率k=一=一，直线1的方程为yx2=一(xx)lxx21x11112方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y得，X2,x-x2-20 x11M为PQ的中点,0 x+x1122x111x2-(x-x)21x0111消去x,得yx2,1(x丰0).1002x200PQ中点为M的轨迹方程为y=x2+1+1(x丰0)2x2方法二（点差法）由yi1x+xx2,yx2,x12,122202得y1-y211=x2一x22122(x+x)(x-x)=

16、x(x-x)1212012y-y则x120 x一x121将上式代入（2）并整理，得yx2,1（x丰0）.002x200.PQ中点为M的轨迹方程为yx2+J+1（x丰0）2x2说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。七、向量法：例7、（1995全国理）已知椭圆如图6，x2y22416=1,直线L：xy12+8=1，P是L2上一点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足IOQIIOPI=IOR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线2图6解：由OQ,OR,OP共线，设ORmOQ,OP=nOQ,OQ=(x,y)则OR(mx,my),OP=(nx,ny)，由丨OPI.IOQ1=1ORI2,得n=m2.(l)TOC o 1-5 h zR在椭圆上,叱,容=1,-2416又点P在L上譽,罟=1.与兰=丄二,2=1代入(1得三,兰=兰,22416m2128n24161281即为所求的轨迹为椭圆。.(x-1、,(y-1)2十2本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如果用常规方法求解，其过程曲折，运算繁杂，而利用向量作形与数的转化，由此展开思路，不仅减少运算量，其过程也就变得平坦自然总结：以上给出了处理轨迹问题的