小波变换与傅里叶变换

1、百度空间|百度首页 |登录在狂风中摇曳我的学习BLOG主页博客相册个人档案好友查看文章转小波变换与傅里叶变换2009-09-22 09:59如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否 能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我，如果第一代小波变换 没学好，能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我， 没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代 小波，能否操作二代小波变换，答案是肯定的。，一、基的概念我们要明确的是基的概念。两者都是基，信号都可以分成无穷多个 他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说 是投影。展开系数大的，说明信号和

2、基，是足够相似的。这也就是相 似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是H2pi标准正交基， 而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里 叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标 准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是 PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。二、二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步 把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时 间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我 们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。

3、第三步， 考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众 所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义 的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为 零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组 函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量 和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。 也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积， 所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后 小波系数的线性组合。这就

4、叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫 无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜 特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续 小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。 一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。 第二步，离散b。怎么离散化呢？ b取多少才合适呢？于是，叫小波采 样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间 隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以 b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移 量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在

5、满 足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完 美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不集中， 所以只是近似二分的）。这时的小波变换，称为离散二进小波变换。第 三步，引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有 什么不等式关系。满足稳定性条件后，也就是一个小波框架产生成了 可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件，就是 0A=B+INF，并且小波函数线性无关，此时小波基称为Reisz基。并 且，如果变换后能量守恒，（A=B=1），并且线性无关，这就是标准离散 正交小波基。这种分解也就是大家熟知的直和分解。若A和B不相等， 且相差很大，我们就

6、说小波不是紧框架的，所以双正交，对偶小波也 就自然而然引进来了。若A和B不相等，但又相差不大，这时稳定重 构也是可能的，这时成为几乎紧框架的。（好像说这样小波有橹棒性特 点，也就是粗略分解，但却精确重构。）经过3步，我们最终地得到了 一个二进离散化稳定的小波变换，这正是我们要的结果。三、三、快速算法如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始 祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN， 那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。这里我不想解释过 多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂 基之类，我想说的就是一种时频对应关系。也就是

7、算法的来源。我们 首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可 以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。这里 要注意，实际我们在玩DSP。因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅 里叶变换，是一家子。快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此， 我们实现离散线性卷积，先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然 后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。当然， 如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。 这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这 里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。小波的快速算法。MALLET算法，是一

8、个令人振奋的东西。它实质 给了多分辨率分析（多尺度分析）一个变得一发而不可收的理由。它 实质上，讲了这样一个意思。也就是。我在一个较高的尺度（细节） 上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果（小波系数），我若是 想得到比它尺度低的小波系数（概貌），我不用再计算内积，只是把较 高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是，所有 这些证明的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但 这仍不是我们想要的。还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积， 才可以使用此算法。因此，我们开始简化，并扩展此理论。第一，我 们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。（这是可以 的，因为小

9、波很瘦时，和取样函数无异）。第二，我们把原来的卷积， 换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢？他的物理意义，就是把信号 作周期延拖（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。这种算法令 我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。正变 换Y=AX；反变换X=AY； 一般对于标准正交基，A是A的共轭转置， 对于双正交A是A的对偶矩阵。但不管如何，我们可以大胆的写， AA=AA=I。这里I是单位矩阵。那怎样操作才是最快的呢？我们来分析A的特点，首先A是正交阵， 其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的 循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2 为循

10、环的。为什么，因为你做了2抽取。所以我们可以，实现小波变换 用快速傅里叶变换。这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.2)下降 到O(NlogN)。(这个程序我已经传在了研学上，在原创区)。但还有一 点，我们忘了 A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的， 也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以，快速傅里叶是不快的，除非 你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波变换是O(N)复杂度的。 这是它的优势。但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵 存储和稀疏矩阵乘法。第二个方法，因子化。因子化，是一个杰出的 贡献。它在原有的O(N)的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度 降低一半。但量级

11、仍然是O(N)。四、四、时频分析对于平稳信号，傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时 间段的特点。在频率上，是点频的。而对于非平稳信号，它就无能为 力了。而小波恰好对此派上用场。小波是反映信号，某个时间段的特 点的。在频域上，是某个频率段的表现。但小波，作为频谱分析确实 存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家 可以看冉启文的小波变换与分数傅里叶变换书，这里我不再赘述。 还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最 近我也在思考。五、压缩、消噪、特征提取傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。它的简化版本就是DCT 变换。而小波包的提出，也就使DCT有些相

12、形见拙。首先，它提出代 价函数，一般就是熵准则。其次，一个自适应树分解。再次，基于矩 阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。 小波包是从频域上实现的。从时域上，我们也可采用类似的分裂和并 算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。记 住，压缩是小波最大的优势。消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。 两者各有优缺点。而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组 成。我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波， 或用什么小波。这点上，小波的优势并不是很明显。特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值 和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问 题也是很多。首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。 再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或 者改用叫多孔算法的东西来做。这点，我没任何体会，希望大家多讨 论吧。这里，我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确：1。你要对小波概念有着明确的理 解。对诸如多分辨率，时频窗口与分