对多元多维理解分数意义的思考

1、对多元多维理解分数意义的思考分数是一个内涵丰富的数学概念，是人们比较早就认识了的数（次于自然 数），它在数学发展史中具有重要的地位，又是一个核心概念，在小学数学中与 其他的概念有着密切的联系。一、分数学习的阶段性。在小学阶段，教材中安排了2次关于“分数的意义”的学习（教材图），但就分 数意义的前期渗透和后续的延伸，总结梳理出分数的意义的五个学习阶段。第一阶段：要经历“平均分”的活动，为学生初步认识分数积累经验。第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生直观认识部分与整体的关系，感 受分数意义的丰富性。第三阶段：在分数意义的教学中，借助直观操作，从不同的角度认识分数，完善 对分数意义的理解。第四

2、阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义 理解的多个维度。第五阶段：在比的学习中，沟通分数、除法和比的关系。这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了 某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这五个阶 段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学 生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。二、本单元主要教学内容最大公因数对分数的学习是学生对数的认识的重大飞跃。五年级是继平均分、倍、除 法以及分数初步认识的基础上对分数开展系统的学习，为后续的学习比的意义和 分数运算及解决问题奠定基础。分数的意义是本单

3、元的核心概念，是本单元教学 的重点。分数意义的理解和运用对于学生来说也是一个难点。由于分数意义自身 的丰富性，所以需要学生从多种维度来体会。本单元的其他概念的学习都是在帮 助学生从不同方面加深对分数意义的理解。三、多元多维认识分数意义，丰富对分数意义理解。分数的意义：学生在三年级初步认识分数后知道可以把一个物体看成一个整体，这是一种 感性的认识。到了五年级分数的意义丰富了学生对单位“1”的认识，建立了单 位“ 1”的概念，知道不仅可以把一个物体看成一个整体，一些物体也可以看成 一个整体，这个整体叫单位“ 1”。在完善单位“1”的过程中，学生对于分数意 义的理解也有了新的认识。学生在三年级初步认

4、识分数后知道把1个圆平均分成4份，每份是4。这个 4，既是分率也是数量。它既表示1份与整体的关系是4，也表示每一份的数量 是4个圆。但五年级学生学习分数意义时，与三年级初步认识分数不同的是，单位“1” 不再是一个物体，而是把几个物体看作一个整体，作为一个“单位”。所取的“一 份”也不是一个，可能是“几个”作为“一份”。如：8个圆平均分成4份，表 示这样的1份，既可以用4表示，也可以用2个圆表示，4是1份所对应的分率， 2个圆是1份的数量。J是从整体、单位1的角度来看其中的某个部分的，表示 部分是整体的几分之几，不是看“个数”，而是看“份数”与总份数之间的倍比 关系，即分率。1所对应的数量可能是

5、1个也可能是多个。在分数意义教学中教师为学生精心设计了不同的学习活动，从不同的角度 让学生深入的认识单位“ 1”，平均分谁，谁就是单位“1”，完善单位“ 1”的概 念。例如：请学生拿走一堆圆的1，再拿走剩下的1，问这两个2各表示什么， 有什么不同？有三盒小棒，从第一盒拿出一根小棒，这一根小棒是整体的1 ；从第二盒拿出两根小棒，这两根小棒是整体的1;从第三盒拿出三根小棒，这三根小棒是整 体的5 ?能说出每个盒子里原来有多少根小棒吗？这些活动都是在引导学生体会单位“1”的变化，以及体会单位“1”的变化 带来的分率所对应的数量的变化。在活动中体会部分与整体的关系；学生在对单 位“ 1”的认识过程中，

6、也完善对分数意义的理解。史宁中教授说，就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作 为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出 现的数。而后者是小学分数教学的重点。带单位名称的是量，不带单位名称的是 率，这只是直观识别的标志，其本质在于率表示了关系，每一份的大小是随着单 位“ 1”的变化而变化，但是与单位“1”的关系不变。量表示的是一个具体的数， 不会随着单位“1”的变化而变化。学生在对分率的理解中，逐步体会到分率表示的是2个量之间的倍数关系， 有的学生就联想到了以前学习求两个数量之间的倍数关系，沟通了分率与倍数之 间的联系。建议：示部分与部分的关系。（1）通

7、过补充不同类型的问题强化对分率的理解和认识。P28填空（5）o的个数占全部图形个数的（），考察的是用分率表示部分与整体的关系。教师可以把此 题的功能拓展，请学生看图提出部分与部分关 系的问题，如o的个数是A的：）等，引导学生关注到长的2米，谁用去的多?分率既可以表示部分与整体的关系，也可以表甲乙两条绳一样长，如果甲绳用去全长的2，乙绳用去全先请学生猜猜谁用去的多，可能会出现一样长、甲长、乙长等多种情况，那为什 么会有不同的猜测呢，可以引导学生画图表示一下，当绳长1米时，从图中看出 两根用去的一样多。再继续演示比1米长、比1米短，从图中看出甲用去的 长度会随着绳长的变化而变化，而乙用去的长度是固

8、定不变的。在论述过程中， 也加深了学生对分率的认识，分率表示的是部分与整体之间的倍数关系，会随着 单位“ 1”的变化而变化。（2）引导学生利用不同的解题策略解决问题，强化对量率的认识。P34 5如果每班的图书总数是100本，五一班的图书箱中有20本科技书，五二 班的科技书占总数的1，哪个班的科技书多？分析：一个是量，一个是率，不能直接比较，可以引导学生分别从2个方面进行 比较，既可以都转化为量也可以都转化为率。在转化过程中也巩固了对一个数是 另一个数的几分之几类型题目方法的掌握。（3）引导学生在对比中体会量率的特点。学探诊P30（5）有15条鱼共4千克。平均分给5个小伙伴，平均每个小伙 伴分到

9、几千克？（用分数表示结果）我分到这些鱼的几分之几？是几条鱼？ 先请学生独立解答。然后再引导学生观察比较这3个问题，第1、3问的是具 体数量，而且是同一件事，只不过是同一件事的2个方面，第2问问的是分率。 如果鱼的总数（单位1）发生变化，那么1、3问的结果也会随之变化，但只要 小伙伴的数量不变，第2问的结果就不变。通过对比辨析中加深学生体会量率的特点，即单位“1”的数量变化，引起 对应的分率的数量也会发生变化，但部分与整体的关系（分率）是不变的。分数与除法的关系分数的产生，不仅是分物与测量的需要，也是数学本身发展的需要。在整数 除法中，两个数相除，有时不能得到整数商，为了使除法运算可以施行，就需

10、要 引进新的数一一分数，充分体现引进分数的必要性。分数与除法的关系作为分数教学的第二级台阶十分重要，在这一板块中，分 数被赋予商的意义，从分数就是表示部分与整体的关系的强烈认知到分数还可以 表示某个具体的数量大小，这是学生认识上的一次飞跃，也是认知上的难点，是 对学生的抽象思维的一种挑战。教学侧重点在经历以平均分为连结点的分物活 动，以平均分为桥梁再次认识分数，体会分数与除法间的关系，学会用分数表示 商。分数与除法关系从除法角度加深对分数意义的理解，体现计算产生分数，这 是分数的数学价值。有研究表明，学生可以从比、度量、运作、商的角度来理解分数，通过分数 一R一 1与除法关系教学后，学生对于蓝

11、 的理解，既可以看成8个正 的累积，也可以理 解为8份与15份的关系，8 + 15，以及8 + 15的商。真分数假分数是分数意义即分数概念的引申，也是认识分数的一次思维跨越。其 重点是理解真分数、假分数和带分数的意义，认可假分数、带分数也是分数。这 种认可不仅是外在形式上的，重要的是意义上的理解。在教材的安排中，虽然在多处安排了有关分数“度量意义”的线索，但是线 索并不明确，教师对此也比较容易忽视。以往对于分数单位的教学大多停留在教 学定义和分辨谁的分数单位是谁上，没有体现出分数单位的价值，以及其对于分 数“度量意义”的作用。同时，分数单位与整数计数单位在学生的认识过程中似 乎不同，学生认为整

12、数是数出来的，因此整数计数单位的重要性不言而喻，而分 数是分出来的，似乎无法建立分数与分数单位的联系。因此，在教学中引导学生I 2 I把1个圆作为单位“1 ,（I ）4个寻是几分之几？在右图中涂色表示。（2）分别涂色表示下面各分数.并比较每个分 数中分子和分母的大小。3711345（这些分数比1大还，比1 有、a.数分数，帮助学生进一步从分数单 位累加的角度认识分数，同时活动 中促进学生对于分率的理解应该 是这节课的教学重点。新版教材与旧教材不同的是，提示 学生“把1个圆作为单位“1”，4个1是几分之几，在右图中涂色表示，借助图形的直观帮助学生表示假分数，学 4生要想正确的表示出3，必须以分数

13、的意义和分数单位的累加作为基础。通过分数单位个数的累加可以得到任何分数，包括分子比分母大的假分数， 这在逻辑上是没有问题的，但如果联系分数的具体含义，学生会产生理解上的困 难。在这部分教学时，以分数单位累加得到新分数作为逻辑基础，结合图示直观， 并回答具体至关重要解释假分数的意义表示，突破学生理解的困难与障碍，并为 学生正确理解分数意义打下基础。分数基本性质是描述在分数的大小不变的情况下，分子分母的变化规律。学习分 数的基本性质的价值是什么？核心就是找到相等的分数，构建分数的等价类。分 数基本性质是对分数意义的支撑。姚健老师和薛克君老师从发现路线和猜测路线 都曾经执教过此课，老师们可以在研修网

14、上下载课例进行学习。四、加强直观操作教学，在体验中建立数学概念。1、以直观操作作为对分数意义理解的主要学习方法。在小学阶段主要学习“行为的分数”，往往以学生熟悉的事物与操作活动为 模型建立分数的概念。学生在认识、学习分数时，常常以分数的产生入手，既从 “行为”（平均分物体）入手，在平均分物体时得不到整数，就用新的数一一分数 表示。从行为的角度看，分数的产生、变化是以动态、活动的方式出现的，借助 大量的操作活动，通过把一个物体、一些物体、一个计量单位、一条线段、一个 面积模型等分一分、画一画、涂一涂、折一折，从而认识分数。这样的学习方式 符合小学生的思维规律与认知特点，通过动手操作、具体形象来学

15、习抽象的数学 概念，激发了学生的学习兴趣与热情，丰富了学生认知活动体验，借助生动形象 的物体或图形表象来认识理解抽象的数学概念。学生理解分数可以借助于多种 “模型”。不仅是分数意义的学习，本单元其他知识的学习都离不开直观操作，（像分 数与除法的分饼活动）说明直观操作是本单元非常重要的一种认知方式，教师要 重视通过直观操作理解概念的活动设计。2、选择有针对性的操作材料，帮助学生理解分数的意义。直观操作离不开操作的学具，什么样的学具有利于学生的操作和概念的学习 呢。从教材的编排看主要的模型有面积模型、集合模型、数线模型。每个模型都有各自特点，我们一起来看一下：（1）分数的面积模型：用面积的“部分一

16、整体”（部分和整体的关系）表示 分数。教材常用的圆形、正方形、长方形、三角形等，这些我们把它们统称为“面 积模型”，其特点是，用面积的“部分整体表示分数。这是因为儿童最早 接触分数概念及其术语可能与“空间”有关，而且更多的是3维的，如一杯牛奶， 一个苹果等，而不是二维的。儿童的这些丰富的经验为他们从部分整体的角度认识分数打下坚实的 基础。因此也可以看出我们在教学分数的意义时，面积模型是操作模型的重要种 类之一。（2）分数的集合模型：用集合的“子集一全集”（子集和全集的关系）来表 示分数。表示部分整体的另一种形式，就是分数的集合模型，换句话说就是我 们所说的单位“1”不再一个物体，而是把几个物体

17、看作的一个整体，作为一个 “单位”，所取的“一份”也不是一个，可能是“几个”作为“一份”学生理解 上难度更大，需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看做“整体 1”。这一模型的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比“。（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数。对这个模型的理解需要学生更高水平的抽象能力。它脱离开具体的事物，把 分数化归为抽象的数，用数线上的点表示分数。这个模型与前面介绍的面积模型 有着密切的联系。一个分数可以表示“单位面积”的一部分（二维），也可以表 示“单位长度”的一部分（线性的，1维）。通过操作可以看到分数是填在自然 数之间的“新”数，位置在两个

18、相邻自然数之间，并和分数大小比较、通分、约 分以及运算相呼应。应该让学生知道，真分数是密密麻麻地分布在【0,1】区间 上的。通过对以上几种模型的分析后，既可以为我们设计理解分数意义的操作活动 中选择什么材料提供理论依据，也使我们明白学生使用每种模型的重点和难点在 什么地方，在指导学生操作中可以做到有的放矢。分数的意义一一面积模型和集合模型真分数、假分数一一面积模型和数线模型 分数和除法的关系一一面积模型和集合模型 分数的基本性质一一面积模型或者集合模型 分数比大小一一面积模型和数线模型（4）巧妙借助“分数墙”，突出变化的本质，帮助学生理解分数的基本性质。分数墙是学生学习分数知识的好帮手，在很多

19、地方都能发挥它的神奇作用。如利用分数墙可以直观比较两个分数的大小，可以直观理解分数的基本性质，可 以学习同分母和异分母分数加减法。如在分数基本性质一课结合分数墙，引导学生观察出相等的分数并尝试进行 证明。还可以引导学生观察分数单位及分数单位的个数分别是怎样变化的，使学 生直观感受，分数的分子、分母发生变化，实际上就是分数单位和分数单位的个 数发生了变化。3、课例介绍。真分数、假分数一面积模型和数线模型介绍真分数假分数课例：教师首先呈现一张长方形小纸条，用1表示，在此基础上表示2、3，体会 2是2个1,3是3个1。这时教师再出示一个更长的纸条问学生这是几，引导学 生体会用1去计量可以确定它的大小

20、。引导学生思考，除了整数以外，还有哪些数可以这样表示？在学生思考的 基础上，教师呈现更小的纸条（3），问这是几，学生通过与“1”比较，认识这 2 345. . 、 是四分之一，在此基础上认识3 , 3，3，3， （可以表示无数个三分之几） 体验这些分数都是通过3来进行度量。这一活动帮助学生感受到了分数单位的作 用，帮助学生感受分数与整数相同，可以通过分数单位的累积得到。在认识3的 基础上，进一步认识四分之几、六分之几。并将表示分数的点标到数轴中，可以 通过数轴模型看出数的等价性，从数轴模型的稠密性（无数个点的集合）体会数 的无穷多等。学生通过活动直观形象地感受到单位是可以累加的，不同的自然数是由不同 个“ 1”组成的，分数单位的累加得到一个新的分数，体会单位在数的建立过程 中所起的重要作用。真分数假分数的教学就是是帮助学生从单位的角度认识分 数，把分数看成是单位的累积得到的。五、增加学生两个意识和两个能力。1、养成用分数表示商的意识。用分数表示商历来是学生的难点，障碍在于学生认为得到分数“还没有计算 完”，一直要得到小数为止。因此在分数与除法的关系建立后，要通过用分数表 示商和用小数表示商的比较，一是使学生认可两种表示商的方法都可以，二是感 受到用分数表示上的便捷性，可以直接写出商，而不需要再算了。2、训练学生养成