高中数学人教A版高中必修1（新课标）第三章函数的概念与性质-第六讲数列综合题

1、第六讲 数列综合题 数列常常与其他知识结合在一起，例如函数、三角函数、不等式、解析几何等.1.已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项.(1)求数列的通项公式；（2）若，求使成立的正整数的最小值.第七讲 三角函数的概念与性质一、知识要点和基本方法考虑角的终边上的点，当点在终边上移动时，点的两个坐标和（这里）之间的一些比值保持不变.从此特性出发，我们引入了三角函数，其中：，从上述定义出发，我们不难把握三角函数的定义域和对应法则.除此之外，还能得到如下的一些重要性质：1.正余弦函数的有界性对任意的角，都有，.这一性质表明正余弦函数都是有界函数.解题中还经常用到，等性质.2.奇偶性与图象的对称性：

2、利用函数奇偶性的定义，结合三角函数的概念和诱导公式可知：正弦函数、正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于轴对称.此外，函数的图象还关于直线对称，函数的图象关于直线对称.3.单调性：由三角函数的概念和性质可以写出三角函数的单调区间，例如：函数在上单调递增，在上单调递减，这里.4.周期性：周期性是三角函数具有而前面所学的二次函数、幂函数、指数函数和对数函数不具备的一个性质.一般地，对于函数，如果存在一个正常数，使得对于定义域内的任意实数、也是定义域内的实数，且，那么称是一个周期函数，为的一个周期.显然，若是一个以为周期的函数.则都是的周期.如果周期函数的

3、所有周期中存在一个最小的正实数，那我们称该数为的最小正周期（注意，并非每个周期函数都有最小正周期，例如常数函数是一个以任意正实数为周期的函数，它没有最小正周期） 三角函数都是周期函数，并且他们都有最小正周期.1.求函数的值域.2.设都是实数，满足，求的值.第八讲 三角恒等变形一、知识要点和基本方法三角恒等变形是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练掌握各种三角公式及它们之间的内在联系，还需要一种驾驭和处理复杂代数式的能力，更需要化归的意识和统一的思想.三角恒等变形涉及化简与求值、恒等式证明等内容，如何恰当的利用各三角公式显得尤为重要.经常用到的都是我们应该熟悉的一些公式：同角三角函数关系式

4、、两角和与差的三角函数关系式、倍半角公式、和差化积与积化和差公式等.1.求证下述恒等式：.其中.第九讲 三角不等式在处理与三角有关的不等式问题的过程中，经常需要将三角函数的性质恰当的融合到证明不等式的一般方法中去.在求解三角不等式问题时，我们要善于利用三角公式变形，善于利用三角函数的有界性和单调性.在处理与三角形有关的三角不等式时，有时还需用到正弦定理、余弦定理以及边和角对应的不等量关系.另外，下面的不等式也是与三角函数有关的一个重要不等式，经常在解题中用到.当时有：，此不等式可以利用三角函数线证明.1.已知是一个锐角三角形，证明：.第十讲 三角函数的最大值和最小值问题一 知识要点和基本方法相

5、对于第7讲中涉及的一些函数最值问题而言，三角函数的最值问题有其特殊性，这是由三角函数的单调性、周期性和有界性所决定的.函数最值往往需要包含两个方面：一方面是一个不等式的证明，另一方面要说明所证明的上界或下界是可以取到的.三角函数的最值也不例外，并且在求等号成立的条件时，还需结合周期性来处理.从众多的三角关系中，寻找到恰当的变形，将问题化归至最简单、本质的式子是处理三角最值问题中的基本方法.第十一讲 反三角函数与三角方程一、知识要点与基本方法三角函数是周期函数，它不是一一对应，因此，在其定义域上并不存在反函数.所谓反三角函数只是三角函数在其定义域内的某个单调区间上的反函数（实质上是对三角函数限制

6、在某个区间后得到的函数的反函数），所以，在处理反三角函数的问题时，我们要对其值域予以足够的重视.具体而言，反三角函数的基本概念与性质可以列表如下：函数名称定义域值域单调性单调递增单调递减单调递增单调递减此外，反正弦函数和反正切函数还是奇函数.各反三角函数之间还成立如下一些等式：（1），；（2），；（3），；（4），.注意到反三角函数的值域是某个角的范围，因此在解题中我们经常将反三角函数的值看作一个角来处理.这为解三角方程带来便利.处理三角方程的基本思想是“化归”，想方法将方程转化为最基本的三角方程去解.下面列出最基本的三角方程的解的情况：设为给定的实数，（1）方程在时无解；在时，方程的解为；（

7、2）方程也仅当时，方程的解为；（3）方程和在时都有解，解分别为. 第十二讲 正弦定理与余弦定理一、知识要点与基本方法三角函数是数学中的一个重要工具，被广泛应用在数学的各个分支.中学阶段，主要在平面几何、复数、解析几何等内容中用到.这一讲主要讨论三角在平面几何中的一些应用，常见思路是利用正弦定理和余弦定理将平面几何中一些涉及长度、面积等问题转化三角问题去求解.这里正弦定理和余弦定理起到过渡和桥梁的作用.1.设点为内或边界上一点，点到三边的距离为、.求证：，当且仅当为正三角形且为其中心时等号成立.第十三讲 向量的概念与运算1.向量的概念与基本属性向量：既有大小又有方向的量，始点为，终点为的向量记作

8、，在不计始点和终点的情况下，也可记作.规定了起点的向量称为位置向量，否则称之为自由向量.向量的模：的长度叫做向量的模，记作：或.相等向量：若两个向量有相同的模和方向（始点和终点不必相同），则它们相等（因此，模和方向是向量的基本量）.特殊向量：模为1的向量叫做单位向量；模为0的向量叫做零向量，记为，是唯一方向不确定的量.2.向量的运算：向量加法的平行四边形法则：以为邻边作一个平行四边形，过共同始点的对角线对应的向量就是的和向量，记作：.向量的减法规定为加法的逆运算，适用三角形法则，将平移至同一始点，由的终点指向的终点的向量就是差向量.向量的数乘：实数与向量的乘积是一个向量，它的模为，当时，与同向；当，与反向.特别地，如果，则就是同向的单位向量.向量的内积：向量的内积（亦称点积或者数量积）定义为：，我们有：.3.向量的坐标表示：4.向量运算的基本性质：（1）满足交换律，结合律：，（2）数乘满足分配律：，（3）点积满足交换律和对加法的分配律：，5.向量在几何中的应用：通过引入向量可以将一些几何问题转化为向量运算，从而将几何